Solving together · Calculus of eˣ · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, וכל אחת נפתרת יחד, שלב אחרי שלב: חקירה מלאה, הגרף של הנגזרת, פרמטר מתוך שיפוע, והסבר למה פונקציה חיובית. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה עם $e$ , הצעד הראשון אחרי הגזירה הוא להוציא את החזקה גורם משותף. מה שנשאר בסוגריים קובע את הסימן.

1 — חקירה מלאה

Interactive activity

נתונה הפונקציה $f(x)=(2-x)e^x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. מצאו את האסימפטוטה האופקית. ה. סרטטו סקיצה.

f(x)=(2-x)e^x

לחצו «להתחיל». כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו.

א. תחום

x\in\mathbb{R}

אין מכנה ואין לוגריתם: כל $x$ .

א. חיתוכים

\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \quad (2-x)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$(0,2)$ ו- $(2,0)$ . $e^x$ לא מתאפס.

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -e^x+(2-x)e^x \\ &= (1-x)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה וגורם משותף.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad f(1) &= e\end{aligned}

משמאל $f'>0$ , מימין $f'<0$ : מקסימום $(1,e)$ .

ג. עלייה וירידה

x<1:\ \nearrow ,\quad x>1:\ \searrow

עולה עד המקסימום, ויורדת אחריו.

ד. אסימפטוטה

x\to-\infty:\ f(x)\to 0

$e^x$ מנצח את $2-x$ : האסימפטוטה $y=0$ , משמאל.

ה. סקיצה

0\nearrow e\searrow -\infty

מעל הציר ליד $y=0$ , עד $(1,e)$ , דרך $(2,0)$ ולמטה.

בדקו את הסקיצה מול החיתוכים: הגרף עובר ב- $(0,2)$ , מתחת למקסימום $e\approx 2.72$ .

Do the activity on elev

האם הגרף של $f(x)=(2-x)e^x$ מתקרב לאסימפטוטה $y=0$ מלמעלה או מלמטה?

Show the answer and the solution

מלמעלה. כאשר $x<2$ , שני הגורמים $2-x$ ו- $e^x$ חיוביים, ולכן $f(x)>0$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — הגרף של הנגזרת

Interactive activity

איזה גרף מתאר את הנגזרת?

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)e^{-x}$ . קבעו איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ונמקו.

מהי $f'(x)$ ?

$-xe^{-x}$

Show the answer and the solution

$e^{-x}-(x+1)e^{-x}=(1-x-1)e^{-x}=-xe^{-x}$ .

$e^{-x}$

Show the answer and the solution

גזרתם רק את $x+1$ . זו מכפלה.

$(x+2)e^{-x}$

Show the answer and the solution

הנגזרת של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ , לא $e^{-x}$ .

f'(x)=-xe^{-x}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת בתוכו.

איפה $f'$ מתאפסת, ומה הסימן שלה?

ב- $x=0$ ; חיובית משמאל, שלילית מימין

Show the answer and the solution

הסימן של $-x$ : חיובי כאשר $x<0$ .

ב- $x=-1$ ; שלילית משמאל, חיובית מימין

Show the answer and the solution

$x=-1$ הוא החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ , לא של $f'$ .

x<0:\ f'>0 ,\quad x>0:\ f'<0

ל- $f$ יש מקסימום $(0,1)$ .

איזה תיאור מתאים לגרף של $f'$ ?

עובר בראשית, מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין, ושואף ל- $0$ כאשר $x\to\infty$

Show the answer and the solution

$f'(0)=0$ , והסימנים מהשלב הקודם.

עובר ב- $(0,1)$ ויורד

Show the answer and the solution

$(0,1)$ היא נקודה על $f$ , לא על $f'$ .

מתחת לציר לכל $x$

Show the answer and the solution

אז $f$ הייתה יורדת בכל מקום, ולא היה לה מקסימום.

f'(0)=0

הנימוק: הנקודה שבה $f'$ חוצה את הציר היא הקיצון של $f$ .

Show the answer and the solution

הגרף של $f'$ עובר בראשית: מעל הציר כאשר $x<0$ ( $f$ עולה), ומתחת לציר כאשר $x>0$ ( $f$ יורדת).

Do the activity on elev

ל- $f(x)=(x+1)e^{-x}$ יש מקסימום ב- $(0,1)$ . מה רואים באותו $x$ בגרף של $f'$ ?

Show the answer and the solution

נקודה על ציר ה- $x$ : $f'(0)=0$ . גובה $1$ שייך ל- $f$ , לא לנגזרת.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר מתוך שיפוע

Interactive activity

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $3$ . א. מצאו את $a$ . הציבו $a=-2$ בסעיפים הבאים. ב. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ג. כתבו את משוואת המשיק ב- $x=0$ .

f(x)=(x+a)e^{-x}

לחצו «להתחיל». $a$ הוא מספר: גוזרים כרגיל.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}-(x+a)e^{-x} \\ &= (1-x-a)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה.

א. הנתון

\begin{aligned}f'(0) &= 1-a \\ &= 3 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

$e^0=1$ .

ב. מציבים

\begin{aligned}f(x) &= (x-2)e^{-x} \\ \quad f'(x) &= (3-x)e^{-x}\end{aligned}

הפונקציה בלי פרמטר.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad f(3) &= e^{-3}\end{aligned}

משמאל $f'>0$ , מימין $f'<0$ : מקסימום.

ג. נקודה

f(0)=-2

נקודת ההשקה $(0,-2)$ .

ג. המשיק

\begin{aligned}y+2 &= 3x \Rightarrow y \\ &= 3x-2\end{aligned}

השיפוע $3$ נתון כבר בשאלה.

בסעיף ג לא גוזרים שוב: השיפוע ב- $x=0$ הוא הנתון של סעיף א.

Do the activity on elev

האם ל- $f(x)=(x-2)e^{-x}$ יש אסימפטוטה אופקית? באיזה צד?

Show the answer and the solution

כן, $y=0$ , מימין: כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}\to 0$ ומנצח את $x-2$ . משמאל $f\to-\infty$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — למה הפונקציה חיובית לכל x

Interactive activity

פונקציה חיובית ופונקציה שנוגעת בציר

נתונה $g(x)=e^{2x}-2e^x+2$ . א. הסבירו מדוע $g$ חיובית לכל $x$ . ב. כמה נקודות משותפות יש לגרף של $h(x)=g(x)-1$ ולציר ה- $x$ ?

איך מתחילים את סעיף א?

מוצאים את הערך הכי נמוך של $g$

Show the answer and the solution

אם המינימום חיובי, כל הערכים חיוביים.

מציבים $x=0$ ומקבלים $1>0$

Show the answer and the solution

ערך אחד לא מוכיח דבר על כל $x$ .

אומרים ש- $e^{2x}>0$ , ולכן הכול חיובי

Show the answer and the solution

יש גם $-2e^x$ , שהוא שלילי.

\begin{aligned}g'(x) &= 2e^{2x}-2e^x \\ &= 2e^x(e^x-1)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף.

איפה $g'=0$ , ומה יש שם?

$x=0$ , מינימום $g(0)=1$

Show the answer and the solution

$e^x=1$ ; משמאל $g'<0$ , מימין $g'>0$ .

$x=1$ , מינימום $g(1)=e^2-2e+2$

Show the answer and the solution

$e^x-1=0$ נותן $e^x=1$ , כלומר $x=0$ .

\begin{aligned}\min g &= g(0) \\ &= 1>0\end{aligned}

א. המינימום חיובי, ולכן $g(x)\ge 1>0$ לכל $x$ .

כמה נקודות משותפות יש ל- $h(x)=g(x)-1$ ולציר ה- $x$ ?

אחת: $(0,0)$

Show the answer and the solution

המינימום של $h$ הוא $1-1=0$ : הגרף נוגע בציר בנקודה אחת.

אף אחת

Show the answer and the solution

$h(0)=0$ : יש נקודה על הציר.

שתיים

Show the answer and the solution

בכל מקום אחר $g(x)>1$ , ולכן $h(x)>0$ .

\begin{aligned}h(x) &= g(x)-1\ge 0 \\ \quad h(0) &= 0\end{aligned}

ב. נקודה אחת.

Show the answer and the solution

א. $\min g=g(0)=1>0$ . ב. נקודה אחת, $(0,0)$ : ההזזה ב- $-1$ מורידה את המינימום בדיוק לציר.

Do the activity on elev

מהי האסימפטוטה האופקית של $g(x)=e^{2x}-2e^x+2$ כאשר $x\to-\infty$ ?

Show the answer and the solution

$y=2$ : גם $e^{2x}$ וגם $e^x$ שואפים ל- $0$ , ונשאר $2$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

שאלה 1. נתונה $f(x)=(x-3)e^x$ . בעבור איזה $x$ יש ל- $f$ מינימום?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-3)e^x \\ &= (x-2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x<2:\ f'<0 ,\ x>2:\ f'>0

יורדת ואחר כך עולה

$x=2$ . מי שענה $3$ מצא את החיתוך עם ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

שאלה 2. נתונה $f(x)=(x+2)e^{-x}$ . איזה תיאור מתאים לגרף של $f'(x)$ ?

חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין
חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-2$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין
מעל ציר ה- $x$ לכל $x$
חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מתחת לציר משמאל, מעל הציר מימין

Show the answer and the solution

Answer: A חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}-(x+2)e^{-x} \\ &= (-x-1)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}-x-1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

הסימן של $-x-1$

$x=-1$ , עם מעבר מ- $+$ ל- $-$ : ל- $f$ מקסימום שם. $x=-2$ הוא החיתוך של $f$ עצמה עם הציר.

Check the answer on elev

Exercise 3

שאלה 3. נתונה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . שיפוע המשיק בנקודה שבה $x=0$ הוא $4$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f'(x)=(1-x-a)e^{-x}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(0) &= 1-a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

$a=-3$ . מי שכתב $a=3$ שכח את המינוס שמגיע מהנגזרת של $e^{-x}$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

שאלה 4. נתונה $g(x)=e^{2x}-4e^x+5$ . מהו הערך הקטן ביותר של $g$ ? (מכאן ש- $g$ חיובית לכל $x$ .)

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= 2e^x(e^x-2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הקיצון

\begin{aligned}g(\ln 2) &= 4-8+5 \\ &= 1\end{aligned}

$e^{2\ln 2}=4$

$1$ , ולכן $g(x)\ge 1>0$ . מי שהציב $x=2$ במקום $\ln 2$ קיבל מספר אחר.

Check the answer on elev

Exercise 5

שאלה 5. נתונה $f(x)=(x-3)e^x$ . השלימו את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____ ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר ה- $x$ : $x=$ 3 ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ -3

Worked solution:

\begin{aligned}(x-3)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

$e^x\neq 0$

\begin{aligned}f(0) &= -3\cdot 1 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $0$

ב- $f(0)$ , $e^0=1$ . מי שכתב $y=0$ חשב ש- $e^0=0$ .

Check the answer on elev

1 — חקירה מלאה

2 — הגרף של הנגזרת

3 — פרמטר מתוך שיפוע

4 — למה הפונקציה חיובית לכל x

Exercises

Keep practising on elev