A function with a parameter

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלה על ee יש לעתים פרמטר: אות כמו aa בתוך הפונקציה. סעיף א נותן נתון, ומהנתון מוצאים את aa.

f′(x0)=mf'(x_0)=m

נתון שיפוע המשיק ב-x0x_0

f′(x0)=0f'(x_0)=0

נתונה נקודת קיצון ב-x0x_0

y=ky=k

נתונה אסימפטוטה

נתון ש«הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5)». איזו משוואה כותבים?

Show the answer and the solution

f(1)=5f(1)=5: מציבים ב-ff עצמה, לא בנגזרת.

נתון: שיפוע המשיק

נתונה f(x)=eax+xf(x)=e^{ax}+x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 44. מצאו את aa.

גוזרים, מציבים, משווים.

f′(x)=a eax+1f'(x)=a\,e^{ax}+1

כלל השרשרת: aa הוא מספר

f′(0)=a+1f'(0)=a+1

e0=1e^0=1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a+1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משווים לנתון

ואם השיפוע ב-x=0x=0 היה 11?

Show the answer and the solution

אז a=0a=0, ו-f(x)=e0+x=1+xf(x)=e^0+x=1+x: סתם ישר. לכן הנתון בבגרות תמיד נותן פונקציה «אמיתית».

נתון: נקודת קיצון

ל-f(x)=(x−a)exf(x)=(x-a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. מצאו את aa ואת סוג הקיצון.

בקיצון הנגזרת מתאפסת.

f′(x)=ex+(x−a)ex=(x−a+1)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-a)e^x \\ &= (x-a+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(2)=(3−a)e2=0⇒a=3\begin{aligned}f'(2) &= (3-a)e^2 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

e2≠0e^2\neq 0

f′(x)=(x−2)exf'(x)=(x-2)e^x

מציבים a=3a=3

x<2: f′<0,x>2: f′>0x<2:\ f'<0 ,\quad x>2:\ f'>0

מינימום (2,−e2)(2,-e^2)

מה ערך הפונקציה f(x)=(x−3)exf(x)=(x-3)e^x בנקודת הקיצון? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

f(2)=−e2≈−7.39f(2)=-e^2\approx -7.39.

אחרי שמצאתם את aa, הציבו אותו וכתבו את ff בלי פרמטר. כל הסעיפים הבאים עובדים עם הפונקציה הזאת.

נתון: אסימפטוטה אופקית

נתונה f(x)=a ex+2ex+1f(x)=\frac{a\,e^x+2}{e^x+1}. כאשר x→−∞x\to-\infty, ex→0e^x\to 0, ולכן f(x)→21=2f(x)\to\frac{2}{1}=2.

כאשר x→+∞x\to+\infty מחלקים מונה ומכנה ב-exe^x: f(x)=a+2e−x1+e−x→af(x)=\frac{a+2e^{-x}}{1+e^{-x}}\to a.

אם נתון שהאסימפטוטה בימין היא y=−1y=-1, מה aa?

Show the answer and the solution

a=−1a=-1: בימין האסימפטוטה היא y=ay=a.

נתון: אסימפטוטה אנכית

ל-f(x)=exex−af(x)=\frac{e^x}{e^x-a} יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡4x=\ln 4. מצאו את aa.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס.

eln⁡4−a=0e^{\ln 4}-a=0

מציבים במכנה

4−a=0⇒a=4\begin{aligned}4-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

eln⁡4=4e^{\ln 4}=4

שתי טעויות עם פרמטר.

f′(2)=0⇒f(2)=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow f(2) \\ &= 0\end{aligned}
f′(2)=0f'(2)=0

קיצון אומר שהנגזרת מתאפסת, לא הפונקציה.

((x−a)ex)′=ex\big((x-a)e^x\big)'=e^x
((x−a)ex)′=(x−a+1)ex\big((x-a)e^x\big)'=(x-a+1)e^x

aa הוא מספר, אבל (x−a)ex(x-a)e^x היא עדיין מכפלה: כלל המכפלה לא נעלם.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=eax−xf(x)=e^{ax}-x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 55. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=a eax−1f'(x)=a\,e^{ax}-1

כלל השרשרת

f′(0)=a−1=5⇒a=6\begin{aligned}f'(0) &= a-1 \\ &= 5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

משווים

a=6a=6. מי שכתב a=5a=5 שכח שהנגזרת של −x-x היא −1-1.

Check the answer on elev

Exercise 2

ל-f(x)=(x+a)exf(x)=(x+a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=−4x=-4. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=(x+a+1)exf'(x)=(x+a+1)e^x

כלל המכפלה

−4+a+1=0⇒a=3\begin{aligned}-4+a+1 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים x=−4x=-4

a=3a=3. מי שכתב a=4a=4 איפס את x+ax+a ושכח את ה-+1+1 מהגזירה.

Check the answer on elev

Exercise 3

ל-f(x)=(x+3)exf(x)=(x+3)e^x יש נקודת קיצון ב-x=−4x=-4. מה סוגה?

  1. אין שם קיצון
  2. מקסימום
  3. מינימום
Show the answer and the solution

Answer: C מינימום

Worked solution:

f′(x)=(x+4)exf'(x)=(x+4)e^x

הנגזרת

f′(−5)<0, f′(−3)>0f'(-5)<0 ,\ f'(-3)>0

יורדת ואחר כך עולה

מינימום. בודקים סימן משני הצדדים; לא מנחשים לפי הסימן של aa.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f(x)=a e2x+1f(x)=a\,e^{2x}+1 עובר בנקודה (0,4)(0,4). מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(0)=a⋅1+1f(0)=a\cdot 1+1

e0=1e^0=1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a+1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משווים

a=3a=3. נתון על נקודה מציבים ב-ff, לא ב-f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 5

ל-f(x)=a ex+5ex+1f(x)=\frac{a\,e^x+5}{e^x+1} יש אסימפטוטה y=−2y=-2 כאשר x→+∞x\to+\infty. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(x)=a+5e−x1+e−xf(x)=\frac{a+5e^{-x}}{1+e^{-x}}

מחלקים ב-exe^x

x→∞: f→a=−2x\to\infty:\ f\to a=-2

e−x→0e^{-x}\to 0

a=−2a=-2. מי שענה 55 חישב את האסימפטוטה בשמאל, ושם f→5f\to 5.

Check the answer on elev

Exercise 6

ל-f(x)=3ex−af(x)=\frac{3}{e^x-a} יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡5x=\ln 5. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

eln⁡5−a=0e^{\ln 5}-a=0

המכנה מתאפס

a=5a=5

eln⁡5=5e^{\ln 5}=5

a=5a=5. מי שענה ln⁡5\ln 5 שכח ש-eln⁡5=5e^{\ln 5}=5.

Check the answer on elev

Exercise 7

בעבור a=ea=e, לפונקציה f(x)=ex−axf(x)=e^x-ax יש נקודת קיצון ב-x=1x=1.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=ex−ef'(x)=e^x-e

הנגזרת

f′(1)=e−e=0\begin{aligned}f'(1) &= e-e \\ &= 0\end{aligned}

מתאפסת

נכון. ex=ee^x=e נותן x=1x=1. כאן aa הוא המספר ee, והנגזרת של exex היא ee.

Check the answer on elev

Exercise 8

ל-f(x)=ex2+axf(x)=e^{x^2+ax} יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa, ואחר כך חשבו את f′(0)f'(0).

a=a= ____ ; f′(0)=f'(0)= ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= -2 ; f′(0)=f'(0)= -2

Worked solution:

f′(x)=(2x+a)ex2+axf'(x)=(2x+a)e^{x^2+ax}

כלל השרשרת

2+a=0⇒a=−2\begin{aligned}2+a &= 0 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

f′(1)=0f'(1)=0

f′(0)=(0−2)e0=−2\begin{aligned}f'(0) &= (0-2)e^0 \\ &= -2\end{aligned}

מציבים

הנגזרת של המעריך x2+axx^2+ax היא 2x+a2x+a. מי שגזר x2+axx^2+ax ל-2x2x איבד את aa.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=(ax−1)exf(x)=(ax-1)e^x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 22. מהו aa?

  1. a=1a=1
  2. a=2a=2
  3. a=3a=3
  4. a=−1a=-1
Show the answer and the solution

Answer: C a=3a=3

Worked solution:

f′(x)=a ex+(ax−1)exf'(x)=a\,e^x+(ax-1)e^x

כלל המכפלה

f′(0)=a−1=2⇒a=3\begin{aligned}f'(0) &= a-1 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

a=3a=3. מי שבחר 22 גזר רק את ax−1ax-1 ושכח את (ax−1)ex(ax-1)e^x.

Check the answer on elev

Exercise 10

ל-f(x)=(x−a)exf(x)=(x-a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=ex+(x−a)exf'(x)=e^x+(x-a)e^x
f′(x)=(x−a+1)exf'(x)=(x-a+1)e^x
f′(1)=(1−a)e=0\begin{aligned}f'(1) &= (1-a)e \\ &= 0\end{aligned}
a=1a=1
Show the answer and the solution

Answer: f′(1)=(1−a)e=0f'(1)=(1-a)e=0 → f′(1)=(2−a)e=0f'(1)=(2-a)e=0

Worked solution:

1−a+1=2−a1-a+1=2-a

מציבים x=1x=1 בסוגריים

a=2a=2

התשובה הנכונה

בהצבה נשמט ה-+1+1. לכן גם a=1a=1 שגוי: התשובה a=2a=2.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל נתון למשוואה שכותבים בעקבותיו.

  • שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 33
  • ל-ff יש קיצון ב-x=2x=2
  • הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5)
  • y=4y=4 אסימפטוטה כאשר x→∞x\to\infty
  • lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x\to\infty} f(x)=4
  • f′(0)=3f'(0)=3
  • f′(2)=0f'(2)=0
  • f(1)=5f(1)=5
Show the answer and the solution

Answer: שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 33 — f′(0)=3f'(0)=3 · ל-ff יש קיצון ב-x=2x=2 — f′(2)=0f'(2)=0 · הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5) — f(1)=5f(1)=5 · y=4y=4 אסימפטוטה כאשר x→∞x\to\infty — lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x\to\infty} f(x)=4

Worked solution:

f(x0) , f′(x0)f(x_0)\ ,\ f'(x_0)

נקודה ואסימפטוטה: ff. שיפוע וקיצון: f′f'

השאלה הראשונה בכל סעיף עם פרמטר: הנתון מדבר על הגובה (מציבים ב-ff) או על השיפוע (מציבים ב-f′f')?

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade