The graph of f and the graph of f′

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה שחוזרת בבגרות: קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת, ונמקו.

f′(x)>0f'(x)>0

הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx: ff עולה

f′(x)<0f'(x)<0

הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx: ff יורדת

f′(x0)=0f'(x_0)=0

הגרף של f′f' חוצה את ציר ה-xx: ל-ff יש קיצון

לפי הגרף התחתון, באיזה תחום ff יורדת?

Show the answer and the solution

כאשר x<0x<0: שם f′(x)=xexf'(x)=xe^x שלילית. שימו לב: ב-x<−1x<-1 הגרף של f′f' יורד, ובין −1-1 ל-00 הוא עולה, אבל בשניהם הוא מתחת לציר, ו-ff יורדת.

לבחור את הגרף של הנגזרת

למה גרף I לא יכול להיות הגרף של f′f'?

Show the answer and the solution

גרף I מתאפס ב-x=0x=0. אבל הנגזרת מתאפסת ב-x=1x=1, במקסימום של ff. גרף I הוא ff עצמה.

שלוש בדיקות מהירות: איפה f′f' מתאפסת, מה הסימן שלה בכל צד, וערך אחד קל, למשל f′(0)f'(0).

פעולות על פונקציות: f + k, −f, |f|

f(x)+kf(x)+k

הזזה ב-kk למעלה: האסימפטוטה y=0y=0 עוברת ל-y=ky=k; הקיצון באותו xx

−f(x)-f(x)

שיקוף בציר ה-xx: מקסימום נהיה מינימום

∣f(x)∣|f(x)|

החלקים מתחת לציר ה-xx עולים למעלה, כמו במראה

−3−2−11−11xyfy = 0I
−3−2−11−11xy|f|y = 0II
בגרף I: f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x, עם מינימום (0,−1)(0,-1). בגרף II: ∣f(x)∣|f(x)|. החלק שהיה מתחת לציר עלה למעלה: המינימום נהיה מקסימום (0,1)(0,1), ובנקודה (1,0)(1,0) נוצר מינימום חדש.

לגרף של ∣f(x)∣|f(x)| יש אסימפטוטה אופקית? איזו?

Show the answer and the solution

כן, y=0y=0, כמו ל-ff. הערך המוחלט של מספר קרוב ל-00 גם הוא קרוב ל-00.

גם הנגזרת משתנה: (f+k)′=f′(f+k)'=f', אותה נגזרת, כי kk קבוע. ו-(−f)′=−f′(-f)'=-f': הסימנים מתהפכים.

ל-ff ול-g(x)=f(x)+3g(x)=f(x)+3 יש אותן נקודות קיצון?

Show the answer and the solution

אותו xx, כי לשתיהן אותה נגזרת. אבל ה-yy של gg גבוה ב-33.

שתי טעויות בקריאת גרפים.

f′↓  ⇒  f↓f' \downarrow \;\Rightarrow\; f\downarrow
f′<0  ⇒  f↓f'<0 \;\Rightarrow\; f\downarrow

ff יורדת כאשר הנגזרת שלילית, לא כאשר היא יורדת.

min⁡∣f∣=∣min⁡f∣\min|f|=|\min f|
min⁡∣f∣=0\min|f|=0

ל-f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x: min⁡f=−1\min f=-1, אבל הערך הכי נמוך של ∣f∣|f| הוא 00, בנקודת החיתוך עם ציר ה-xx.

Exercises

Exercise 1

−3−2−11−112xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). באיזה תחום ff עולה?

  1. לכל xx
  2. x>1x>1
  3. x<1x<1
  4. x>0x>0
Show the answer and the solution

Answer: B x>1x>1

Worked solution:

x>1: f′(x)>0x>1:\ f'(x)>0

שם הגרף מעל ציר ה-xx

x<1: f′(x)<0x<1:\ f'(x)<0

שם הוא מתחת לציר

x>1x>1. שואלים איפה הגרף של f′f' מעל הציר, לא איפה הוא עולה.

Check the answer on elev

Exercise 2

−112341xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(−1)=0 f′(1)=0\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \\ \ f'(1) &= 0\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר פעמיים

+→−, −→++\to- ,\ -\to+

בשתיהן הסימן מתחלף

שתיים. סופרים חציות של ציר ה-xx, לא את נקודות הקיצון של הגרף של f′f'.

Check the answer on elev

Exercise 3

−112341xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)f'(x). מה יש לפונקציה ff בנקודה שבה x=1x=1?

  1. חיתוך עם ציר ה-xx
  2. נקודת מקסימום
  3. אין שם נקודה מיוחדת
  4. נקודת מינימום
Show the answer and the solution

Answer: D נקודת מינימום

Worked solution:

x<1: f′<0x<1:\ f'<0

משמאל ff יורדת

x>1: f′>0x>1:\ f'>0

מימין ff עולה

מינימום: ירידה ואחריה עלייה. f′(1)=0f'(1)=0 לא אומר ש-f(1)=0f(1)=0.

Check the answer on elev

Exercise 4

אם הגרף של f′f' יורד בתחום מסוים, אז ff יורדת באותו תחום.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=xex −3<x<−1\begin{aligned}f'(x) &= xe^x \\ \ -3<x<-1\end{aligned}

דוגמה: f′f' יורדת שם

f′(x)<0f'(x)<0

אבל מה שקובע הוא הסימן

לא נכון. את העלייה והירידה של ff קובע הסימן של f′f'. נגזרת חיובית שיורדת אומרת ש-ff עדיין עולה, רק לאט יותר.

Check the answer on elev

Exercise 5

−3−2−11−112xyy = 0I
−3−2−11−112xyy = 0II
−3−2−11−112xyy = 0III
−3−2−11−112xyy = 0IV

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. קבעו איזה מן הגרפים I-IV מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  1. III
  2. IV
  3. I
  4. II
Show the answer and the solution

Answer: A III

Worked solution:

f′(x)=(x−1)exf'(x)=(x-1)e^x

גוזרים

f′(1)=0 f′(0)=−1\begin{aligned}f'(1) &= 0 \\ \ f'(0) &= -1\end{aligned}

מתאפסת ב-11, ושלילית ב-00

גרף III. גרף I הוא ff עצמה (מתאפס ב-22). גרף IV מתאפס ב-11, אבל עם סימנים הפוכים.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x, ו-g(x)=f(x)+3g(x)=f(x)+3. מהי האסימפטוטה האופקית של gg? כתבו את yy.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x→−∞: f(x)→0x\to-\infty:\ f(x)\to 0

האסימפטוטה של ff

g(x)→0+3=3g(x)\to 0+3=3

הזזה למעלה

y=3y=3. ההזזה מזיזה גם את האסימפטוטה. מי שענה y=0y=0 שכח אותה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ל-f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x} יש מקסימום (1,1e)\left(1,\frac{1}{e}\right). מה יש ל-g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)?

  1. מינימום (−1,1e)\left(-1,\frac{1}{e}\right)
  2. מקסימום (1,−1e)\left(1,-\frac{1}{e}\right)
  3. מינימום (1,−1e)\left(1,-\frac{1}{e}\right)
  4. מקסימום (−1,−1e)\left(-1,-\frac{1}{e}\right)
Show the answer and the solution

Answer: C מינימום (1,−1e)\left(1,-\frac{1}{e}\right)

Worked solution:

−f: y→−y-f:\ y\to -y

שיקוף בציר ה-xx

max⁡→min⁡\max\to\min

ההר נהיה עמק

ה-xx לא משתנה, רק ה-yy מחליף סימן, והמקסימום נהיה מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 8

ל-f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x יש מינימום (0,−1)(0,-1) ואסימפטוטה y=0y=0 משמאל, והיא חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x=1. כמה פתרונות יש למשוואה ∣f(x)∣=0.5|f(x)|=0.5?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f(x)=0.5f(x)=0.5

מימין ל-11 ff עולה מ-00: פתרון אחד

f(x)=−0.5f(x)=-0.5

בין y=0y=0 למינימום −1-1, ff יורדת ועולה: שני פתרונות

1+2=31+2=3

סך הכל

שלושה. ∣f∣=0.5|f|=0.5 פירושו f=0.5f=0.5 או f=−0.5f=-0.5. מי שפתר רק f=0.5f=0.5 מצא פתרון אחד.

Check the answer on elev

Exercise 9

אם g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, אז g′(x)=f′(x)+kg'(x)=f'(x)+k.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(f+k)′=f′+0(f+k)'=f'+0

הנגזרת של קבוע היא 00

לא נכון. g′=f′g'=f': ההזזה לא משנה את השיפוע בשום נקודה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x, עם אסימפטוטה y=0y=0 משמאל. התאימו כל פונקציה לאסימפטוטה האופקית שלה.

  • f(x)+2f(x)+2
  • f(x)−1f(x)-1
  • −f(x)+4-f(x)+4
  • ∣f(x)∣|f(x)|
  • y=−1y=-1
  • y=0y=0
  • y=2y=2
  • y=4y=4
Show the answer and the solution

Answer: f(x)+2f(x)+2 — y=2y=2 · f(x)−1f(x)-1 — y=−1y=-1 · −f(x)+4-f(x)+4 — y=4y=4 · ∣f(x)∣|f(x)| — y=0y=0

Worked solution:

−f+4→−0+4=4-f+4\to -0+4=4

משקפים, ואחר כך מזיזים

בשיקוף ובערך מוחלט האסימפטוטה y=0y=0 לא זזה. רק ה-+k+k מזיז אותה.

Check the answer on elev

Exercise 11

ל-f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x יש מינימום (0,−1)(0,-1). השלימו את נקודת הקיצון של g(x)=−f(x)g(x)=-f(x).

x=x= ____ ; y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 0 ; y=y= 1

Worked solution:

(0,−1)→(0,1)(0,-1)\to(0,1)

שיקוף בציר ה-xx

min⁡→max⁡\min\to\max

הסוג מתחלף

הנקודה (0,1)(0,1), והיא מקסימום. מי שכתב (0,−1)(0,-1) שכח להחליף את סימן ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 12

−3−2−112−2−112xyy = 0I
−3−2−112−2−112xyy = 0II
−3−2−112−2−112xyy = 0III
−3−2−112−2−112xyy = 0IV

נתונה f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^x. איזה מן הגרפים I-IV מתאר את ∣f(x)∣|f(x)|?

  1. II
  2. IV
  3. I
  4. III
Show the answer and the solution

Answer: A II

Worked solution:

∣f(x)∣≥0|f(x)|\ge 0

הגרף כולו מעל הציר או עליו

∣f(2)∣=0 ∣f(0)∣=2\begin{aligned}|f(2)| &= 0 \\ \ |f(0)| &= 2\end{aligned}

נוגע בציר ב-x=2x=2, ועובר ב-(0,2)(0,2)

גרף II. גרף IV גם הוא מעל הציר, אבל נוגע בו ב-x=1x=1 ולא ב-x=2x=2. גרף III הוא −f-f: הוא יורד מתחת לציר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade