Set 3 — bagrut level · Powers and the exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם: אסימפטוטה, נקודת חיתוך, הצבה.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-4$ . א. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $f$ , ואת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; ציר ה- $x$ : $($ ____ $,0)$

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטה: $y=$ -4 ; ציר ה- $y$ : $(0,$ -2 $)$ ; ציר ה- $x$ : $($ 1 $,0)$

Worked solution:

y=-4

\begin{aligned}f(0) &= 2-4 \\ &= -2\end{aligned}

\begin{aligned}2^{x+1} &= 4 \\ &= 2^2 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1\end{aligned}

האסימפטוטה מתחת לציר ה- $x$ , ולכן יש חיתוך עם ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-4$ . ב. פתרו את אי-השוויון $f(x) \le 4$ .

$x \le 1$
$x \ge 2$
$x \le 3$
$x \le 2$

Show the answer and the solution

Answer: D $x \le 2$

Worked solution:

2^{x+1} \le 8=2^3

מעבירים את $-4$

x+1 \le 3 \ \Rightarrow\ x \le 2

הבסיס $2>1$

הנכונה: $x \le 2$ . $x \le 3$ שכחה את ה- $+1$ במעריך. $x \le 1$ פתרה $f(x) \le 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-4$ . ג. הגרף של $g(x)=|f(x)|$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $A$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $A$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}g(0) &= |f(0)| \\ &= |-2| \\ &= 2\end{aligned}

מסעיף א

$2$ . הערך המוחלט הופך את החלק שמתחת לציר: $(0,-2)$ עולה ל- $(0,2)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה המשוואה $2^{2x+1}-9 \cdot 2^{x}+4=0$ . א. לאיזו משוואה ב- $t$ מגיעים בהצבה $t=2^x$ ?

$t^2-9t+4=0$
$2t^2-9t+4=0$
$2t-9t+4=0$
$4t^2-9t+4=0$

Show the answer and the solution

Answer: B $2t^2-9t+4=0$

Worked solution:

\begin{aligned}2^{2x+1} &= 2 \cdot 2^{2x} \\ &= 2t^2\end{aligned}

$2^{2x}=t^2$ , ועוד גורם $2$

הנכונה: $2t^2-9t+4=0$ . ה- $+1$ במעריך הוא כפל ב- $2$ , לא חזקה $4$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה המשוואה $2^{2x+1}-9 \cdot 2^{x}+4=0$ . ב. פתרו את המשוואה. כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

$x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x_1=$ -1 , $x_2=$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}t &= \frac{9 \pm \sqrt{81-32}}{4} \\ &= \frac{9 \pm 7}{4}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}t &= 4 \\ \ t &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שניהם חיוביים

\begin{aligned}2^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2 \qquad 2^x \\ &= 2^{-1} \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

$t=\frac{1}{2}$ לא נפסל: הוא חיובי, ונותן $x=-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונות הפונקציות $g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3$ ו- $h(x)=3^{x}-3$ . א. מהי נקודת החיתוך של הגרפים של $g$ ו- $h$ ?

$(0,\,-2)$
$(-1,\,0)$
$(0,\,-3)$
$(1,\,0)$

Show the answer and the solution

Answer: A $(0,\,-2)$

Worked solution:

\begin{aligned}3^{-x}-3 &= 3^{x}-3 \ \Rightarrow\ -x \\ &= x \ \Rightarrow\ x \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}g(0) &= 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

הנכונה: $(0,-2)$ . $(0,-3)$ שוכחת ש- $3^0=1$ . $(1,0)$ ו- $(-1,0)$ הן חיתוכים עם ציר ה- $x$ , כל אחת של גרף אחר.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונות הפונקציות $g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3$ ו- $h(x)=3^{x}-3$ . ב. בעבור אילו ערכי $x$ מתקיים $g(x)>h(x)$ ?

$x<0$
$x<-2$
$x>0$
לכל $x$

Show the answer and the solution

Answer: A $x<0$

Worked solution:

3^{-x}>3^{x}

מוסיפים $3$ לשני האגפים

-x>x \ \Rightarrow\ x<0

הבסיס $3>1$

הנכונה: $x<0$ . בגרף: $g$ יורדת ו- $h$ עולה, ולכן משמאל לנקודת החיתוך $g$ מעל.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות הפונקציות $g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3$ ו- $h(x)=3^{x}-3$ . ג. הוכיחו או הפריכו: הגרף של $g$ הוא השיקוף של הגרף של $h$ בציר ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}h(-x) &= 3^{-x}-3 \\ &= \left(\frac{1}{3}\right)^x-3 \\ &= g(x)\end{aligned}

מציבים $-x$

הטענה נכונה. $g(x)=h(-x)$ : מינוס במעריך הוא שיקוף בציר ה- $y$ . לכן גם החיתוך שלהם נמצא על ציר ה- $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $k(x)=|3^{x}-3|$ . א. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $k$ , ואת הנקודה שבה הגרף נוגע בציר ה- $x$ .

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; נקודת המגע: $($ ____ $,0)$

Show the answer and the solution

Answer: אסימפטוטה: $y=$ 3 ; נקודת המגע: $($ 1 $,0)$

Worked solution:

3^x-3 \to -3 \ \Rightarrow\ k(x) \to 3

משמאל

\begin{aligned}3^x &= 3 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1\end{aligned}

האסימפטוטה $y=3$ , לא $y=-3$ : הערך המוחלט הופך גם אותה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $k(x)=|3^{x}-3|$ . ב. למשוואה $k(x)=2$ יש שני פתרונות, ואחד מהם מספר שלם. מצאו אותו.

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

0<2<3

מתחת לאסימפטוטה: שני פתרונות

\begin{aligned}3^x-3 &= -2 \ \Rightarrow\ 3^x \\ &= 1 \ \Rightarrow\ x \\ &= 0\end{aligned}

הענף השמאלי: פתרון שלם

\begin{aligned}3^x-3 &= 2 \ \Rightarrow\ 3^x \\ &= 5\end{aligned}

הענף הימני: $x$ בין $1$ ל- $2$ , לא שלם

$x=0$ . יש שני פתרונות; השני מקיים $3^x=5$ ואינו שלם. בלי ערך מוחלט היה רק הפתרון $3^x=5$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev