The model f(t)=f(0)·qᵗ

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גדילה ודעיכה הן תהליכים שבהם כמות משתנה באחוז קבוע בכל תקופה: בכל שנה, בכל שבוע, בכל שעה.

אחוז קבוע הוא לא מספר קבוע. הסתכלו על שתי קרנות שמתחילות מאותו סכום.

למה הכתום מוסיף בשנה השנייה 1111 ש״ח, ולא 1010?

Show the answer and the solution

כי 10%10\% נלקחים מ-110110, ולא מ-100100. בכל שנה כופלים ב-1.11.1: 110⋅1.1=121110 \cdot 1.1=121.

המכפיל qq

להוסיף p%p\% זה לכפול ב-1+p1001+\frac{p}{100}. להוריד p%p\% זה לכפול ב-1−p1001-\frac{p}{100}.

את המכפיל של תקופה אחת מסמנים ב-qq. אחרי tt תקופות כופלים ב-qq בדיוק tt פעמים.

f(t)=f(0)⋅qtf(t)=f(0)\cdot q^t
f(0)f(0)

הכמות בהתחלה, כאשר t=0t=0

qq

המכפיל של תקופה אחת

tt

מספר התקופות שעברו

+8% ⇒ q=1.08+8\% \ \Rightarrow \ q=1.08

גדילה: q>1q>1

−15% ⇒ q=0.85-15\% \ \Rightarrow \ q=0.85

דעיכה: 0<q<10<q<1

×2 ⇒ q=2\times 2 \ \Rightarrow \ q=2

הכפלה היא גדילה של 100%100\%

כמות קטנה ב-4%4\% בכל שבוע. מהו qq?

Show the answer and the solution

q=1−0.04=0.96q=1-0.04=0.96. לא 0.040.04: 0.040.04 הוא החלק שהולך, ו-0.960.96 הוא החלק שנשאר.

הגרף

גדילה ודעיכה מאותה נקודה
012345602004006008001000120014001600tכמות
  • גדילה: f(t)=500⋅1.2tf(t)=500\cdot 1.2^t
  • דעיכה: g(t)=500⋅0.8tg(t)=500\cdot 0.8^t
שני הגרפים עוברים ב-(0, 500)(0,\,500): זו הכמות ההתחלתית. הגדילה עולה, וכל שנה מהר יותר. הדעיכה יורדת ומתקרבת ל-00, אבל אף פעם לא מגיעה אליו.
q>1q>1

הגרף עולה

0<q<10<q<1

הגרף יורד, והציר האופקי הוא אסימפטוטה

f(0)f(0)

נקודת החיתוך עם הציר האנכי

האם כמות בדעיכה יכולה להגיע ל-00?

Show the answer and the solution

לא. qt>0q^t>0 לכל tt. הכמות נעשית קטנה מאוד, אבל היא לא 00.

דוגמה: ערך של מכונית

מכונית שמאבדת מערכה

מכונית נקנתה ב-120,000120{,}000 ש״ח. בכל שנה היא מאבדת 12%12\% מערכה. מה ערכה אחרי 5 שנים?

q=1−0.12=0.88\begin{aligned}q &= 1-0.12 \\ &= 0.88\end{aligned}

ירידה, ולכן q<1q<1

f(5)=120,000⋅0.885f(5)=120{,}000\cdot 0.88^5

מציבים t=5t=5

f(5)≈63,327.83f(5)\approx 63{,}327.83

ש״ח

מעגלים רק בסוף. את 0.8850.88^5 משאירים במחשבון כמו שהוא.

tt לא חייב להיות מספר שלם. t=0.5t=0.5 הוא חצי תקופה, ו-t=2.5t=2.5 הן שתי תקופות וחצי.

שתי טעויות שחוזרות.

120,000⋅(1−5⋅0.12)120{,}000\cdot(1-5\cdot 0.12)
120,000⋅0.885120{,}000\cdot 0.88^5

5⋅12%=60%5 \cdot 12\%=60\% היא ירידה בחיבור. אבל בכל שנה ה-12%12\% נלקחים מערך שכבר ירד.

q=0.12q=0.12
q=0.88q=0.88

0.120.12 הוא החלק שהולך. qq הוא החלק שנשאר.

Exercises

Exercise 1

כמות קטנה ב-7%7\% בכל שנה. מהו המכפיל qq?

  1. q=1.07q=1.07
  2. q=0.93q=0.93
  3. q=0.7q=0.7
  4. q=0.07q=0.07
Show the answer and the solution

Answer: B q=0.93q=0.93

Worked solution:

q=1−7100=0.93\begin{aligned}q &= 1-\frac{7}{100} \\ &= 0.93\end{aligned}

ירידה: מחסירים מ-11

q=0.93q=0.93. 0.070.07 הוא החלק שהולך, לא החלק שנשאר. 0.70.7 הוא ירידה של 30%30\%, ו-1.071.07 הוא עלייה.

Check the answer on elev

Exercise 2

במעבדה יש 25002500 חיידקים. מספרם גדל ב-30%30\% בכל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 4 שעות?

Show the answer and the solution

Answer: 7140.25

Worked solution:

q=1.3q=1.3

גדילה של 30%30\%

f(4)=2500⋅1.34f(4)=2500\cdot 1.3^4

מציבים t=4t=4

=2500⋅2.8561=7140.25=2500\cdot 2.8561=7140.25

מי שחישב 2500⋅(1+4⋅0.3)=55002500\cdot(1+4\cdot 0.3)=5500 הוסיף את אותו מספר בכל שעה. אבל ה-30%30\% נלקחים כל פעם ממספר גדול יותר.

Check the answer on elev

Exercise 3

קבעו אם הטענה נכונה: כמות שגדלה ב-10%10\% בכל שנה, גדלה ב-20%20\% בשנתיים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

1.12=1.211.1^2=1.21

שתי שנים: כופלים פעמיים

1.21 ⇒ +21%1.21 \ \Rightarrow \ +21\%

ולא 20%20\%

הטענה לא נכונה. בשנה השנייה ה-10%10\% נלקחים גם מהעלייה של השנה הראשונה. לכן מתקבלים 21%21\%.

Check the answer on elev

Exercise 4

התאימו לכל תיאור את המכפיל qq של תקופה אחת.

  • גדלה ב-5%5\%
  • קטנה ב-5%5\%
  • גדלה ב-50%50\%
  • קטנה ב-50%50\%
  • מוכפלת
  • 0.50.5
  • 0.950.95
  • 1.051.05
  • 1.51.5
  • 22
Show the answer and the solution

Answer: גדלה ב-5%5\% — 1.051.05 · קטנה ב-5%5\% — 0.950.95 · גדלה ב-50%50\% — 1.51.5 · קטנה ב-50%50\% — 0.50.5 · מוכפלת — 22

Worked solution:

+p% ⇒ q=1+p100+p\% \ \Rightarrow \ q=1+\frac{p}{100}

גדילה

−p% ⇒ q=1−p100-p\% \ \Rightarrow \ q=1-\frac{p}{100}

דעיכה

הבלבול הנפוץ: 1.51.5 ו-1.051.05. גדילה של 5%5\% היא 1.051.05. 1.51.5 היא גדילה של 50%50\%.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמות מתוארת על ידי f(t)=f(0)⋅0.92tf(t)=f(0)\cdot 0.92^t. בכמה אחוזים היא קטנה בכל תקופה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

1−0.92=0.081-0.92=0.08

החלק שהולך בכל תקופה

0.08=8%0.08=8\%

התשובה 88, לא 9292: 92%92\% זה מה שנשאר אחרי כל תקופה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מספר התושבים בעיר מתואר על ידי f(t)=3000⋅1.04tf(t)=3000\cdot 1.04^t, כאשר tt בשנים. השלימו.

בהתחלה גרו בעיר ____ תושבים. בכל שנה מספרם גדל ב- ____ אחוז. אחרי שנתיים גרים בעיר ____ תושבים.

Show the answer and the solution

Answer: בהתחלה גרו בעיר 3000 תושבים. בכל שנה מספרם גדל ב- 4 אחוז. אחרי שנתיים גרים בעיר 3244.8 תושבים.

Worked solution:

f(0)=3000⋅1.040=3000\begin{aligned}f(0) &= 3000\cdot 1.04^0 \\ &= 3000\end{aligned}

הכמות ההתחלתית

q=1.04 ⇒ +4%q=1.04 \ \Rightarrow \ +4\%

האחוז

f(2)=3000⋅1.0816=3244.8\begin{aligned}f(2) &= 3000\cdot 1.0816 \\ &= 3244.8\end{aligned}

אחרי שנתיים

מספר תושבים לא שלם הוא תוצאה של מודל, לא של ספירה. מי שכתב 32403240 חישב 3000⋅1.083000\cdot 1.08: הוא חיבר את האחוזים במקום לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו את המכפילים: האם הכמות גדלה או קטנה?

  • גדילה
  • דעיכה
  • q=0.5q=0.5
  • q=0.8q=0.8
  • q=0.97q=0.97
  • q=1.03q=1.03
  • q=1.25q=1.25
  • q=2q=2
Show the answer and the solution

Answer: q=1.03q=1.03 — גדילה · q=0.97q=0.97 — דעיכה · q=2q=2 — גדילה · q=0.5q=0.5 — דעיכה · q=1.25q=1.25 — גדילה · q=0.8q=0.8 — דעיכה

Worked solution:

q>1q>1

גדילה

0<q<10<q<1

דעיכה

ההחלטה היא לפי 11, לא לפי 00: גם 0.970.97 חיובי, אבל הוא קטן מ-11, ולכן הכמות קטנה.

Check the answer on elev

Exercise 8

דנה חישבה כמה יישאר מ-50005000 ש״ח שקטנים ב-20%20\% בכל שנה, אחרי 3 שנים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=1−0.2=0.8\begin{aligned}q &= 1-0.2 \\ &= 0.8\end{aligned}
f(3)=5000⋅0.83f(3)=5000\cdot 0.8^3
f(3)=5000⋅2.4=12,000\begin{aligned}f(3) &= 5000\cdot 2.4 \\ &= 12{,}000\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: f(3)=5000⋅2.4=12,000f(3)=5000\cdot 2.4=12{,}000 → f(3)=5000⋅0.512=2560f(3)=5000\cdot 0.512=2560

Worked solution:

0.83=0.8⋅0.8⋅0.8=0.512\begin{aligned}0.8^3 &= 0.8\cdot 0.8\cdot 0.8 \\ &= 0.512\end{aligned}

חזקה, לא כפל ב-33

5000⋅0.512=25605000\cdot 0.512=2560

ש״ח

בשורה 3 חישבו 0.8⋅30.8\cdot 3 במקום 0.830.8^3. הסימן: בדעיכה התוצאה חייבת להיות קטנה מ-50005000.

Check the answer on elev

Exercise 9

ערך של מניה מתואר על ידי f(t)=800⋅1.21tf(t)=800\cdot 1.21^t, כאשר tt בשנים. מה ערך המניה אחרי חצי שנה?

Show the answer and the solution

Answer: 880

Worked solution:

t=0.5t=0.5

חצי שנה

1.210.5=1.21=1.1\begin{aligned}1.21^{0.5} &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

חזקה של חצי היא שורש

f(0.5)=800⋅1.1=880\begin{aligned}f(0.5) &= 800\cdot 1.1 \\ &= 880\end{aligned}

מי שכתב 800⋅1.212800\cdot\frac{1.21}{2} חילק את המכפיל ב-22. חצי תקופה היא חזקה 0.50.5, כלומר שורש.

Check the answer on elev

Exercise 10

123412345xyI
123412345xyII
123412345xyIII
123412345xyIV

איזה גרף מתאר את f(t)=4⋅0.5tf(t)=4\cdot 0.5^t?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף I
Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

f(0)=4f(0)=4

הגרף עובר ב-(0, 4)(0,\,4)

q=0.5<1q=0.5<1

הגרף יורד

f(4)=4⋅0.0625=0.25>0\begin{aligned}f(4) &= 4\cdot 0.0625 \\ &= 0.25>0\end{aligned}

ולא מגיע ל-00

גרף III גם יורד מ-44, אבל הוא ישר: הוא מוריד את אותו מספר בכל תקופה, ומגיע ל-00. דעיכה היא עקומה שמתקרבת ל-00.

Check the answer on elev

Exercise 11

מחיר של מוצר היה 500500 ש״ח. המחיר עלה ב-6%6\% בכל שנה, במשך 3 שנים. מה המחיר אחרי 3 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 595.51

Worked solution:

500⋅1.063500\cdot 1.06^3

שלוש עליות של 6%6\%

=500⋅1.191016=595.508=500\cdot 1.191016=595.508
≈595.51\approx 595.51

ש״ח

עלייה של 18%18\% הייתה נותנת 590590. ההפרש קטן כאן, אבל הוא גדל ככל שעוברות יותר שנים.

Check the answer on elev

Exercise 12

הגרף של f(t)=200⋅qtf(t)=200\cdot q^t יורד. איזה מהערכים יכול להיות qq?

  1. q=−0.5q=-0.5
  2. q=1.2q=1.2
  3. q=0.85q=0.85
  4. q=1q=1
Show the answer and the solution

Answer: C q=0.85q=0.85

Worked solution:

0<q<10<q<1

זה התנאי לדעיכה

0<0.85<10<0.85<1

q=0.85q=0.85. q=1q=1 נותן כמות קבועה. qq שלילי לא מתאר שום תהליך: 200⋅(−0.5)t200\cdot(-0.5)^t מחליף סימן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade