A function with a parameter · Calculus of ln x · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלה עם פרמטר (למשל $a$ ) נותנים נתון אחד נוסף. ממנו מוצאים את $a$ , ואז ממשיכים כרגיל.

(x_0,\,y_0)\in f

נקודה על הגרף: מציבים, $f(x_0)=y_0$

f^{\prime}(x_0)=0

קיצון ב- $x_0$ : מציבים בנגזרת

m=f^{\prime}(x_0)

שיפוע של משיק: מציבים בנגזרת

x=x_0

אסימפטוטה אנכית: מה שבתוך ה- $\ln$ מתאפס ב- $x_0$

נתון: נקודת קיצון

Interactive activity

לפונקציה $f(x)=x^2-a\ln x$ יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . מצאו את $a$ ואת סוג הקיצון.

\begin{aligned}f(x) &= x^2-a\ln x \\ \quad x_0 &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנתון "קיצון" הולך לנגזרת.

נגזרת

f^{\prime}(x)=2x-\frac{a}{x}

$a$ הוא מספר: גוזרים כרגיל.

הצבה

\begin{aligned}f^{\prime}(2) &= 4-\frac a2 \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת.

הפרמטר

a=8

הפונקציה

f(x)=x^2-8\ln x

כותבים את $f$ מחדש, עם $a=8$ .

הנקודה

f(2)=4-8\ln 2\approx -1.55

סוג

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= -6<0 \\ \quad f^{\prime}(3) &= \tfrac{10}{3}>0\end{aligned}

יורדת ואחר כך עולה: מינימום.

מינימום ב- $(2,\,4-8\ln 2)$ . אחרי שמצאנו את $a$ , זו חקירה רגילה.

Do the activity on elev

בעבור $a=8$ : האם יש ל- $f$ עוד נקודת קיצון?

Show the answer and the solution

לא. $2x-\frac8x=0$ נותן $x^2=4$ , כלומר $x=\pm2$ . אבל $x=-2$ מחוץ לתחום $x>0$ .

f(x)=x^2-a\ln x

בעבור

a=2

ו-

a=8

. כל ערך של

a

נותן פונקציה אחרת, עם מינימום במקום אחר.

נתון: אסימפטוטה

לפונקציה $f(x)=\ln(x^2-a)$ יש אסימפטוטה אנכית $x=3$ . מצאו את $a$ .

אסימפטוטה אנכית של $\ln$ : איפה שמה שבפנים מתאפס.

3^2-a=0

מציבים $x=3$ בביטוי שבפנים

a=9

x^2-9>0 \Rightarrow x<-3 \ \text{או} \ x>3

עכשיו אפשר למצוא את התחום

\begin{aligned}x &= -3 \\ \ x &= 3\end{aligned}

ויש אסימפטוטה שנייה

ואם $a=-4$ ? כלומר $f(x)=\ln(x^2+4)$ . איפה האסימפטוטה?

Show the answer and the solution

אין אסימפטוטה אנכית: $x^2+4\ge 4$ , ולא מתאפס אף פעם.

נתון: שיפוע של משיק

Interactive activity

$f(x)=\ln(ax+1)$

נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(ax+1)$ , ו- $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $3$ . מצאו את $a$ ואת תחום ההגדרה.

מהי $f^{\prime}(x)$ ?

$\frac{a}{ax+1}$

Show the answer and the solution

נגזרת הפנימית, $a$ , חלקי הפנימית.

$\frac{1}{ax+1}$

Show the answer and the solution

$a$ הוא מספר, אבל הוא חלק מהפנימית: $(ax+1)^{\prime}=a$ .

f^{\prime}(x)=\frac{a}{ax+1}

איזו משוואה כותבים?

$f^{\prime}(0)=3$

Show the answer and the solution

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת.

$f(0)=3$

Show the answer and the solution

$f(0)=\ln 1=0$ לכל $a$ . השיפוע נמצא בנגזרת.

\begin{aligned}\frac{a}{0+1} &= 3 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מה התחום?

$x>-\frac13$

Show the answer and the solution

$3x+1>0$ .

$x>-3$

Show the answer and the solution

$3x+1>0$ נותן $3x>-1$ , כלומר $x>-\frac13$ .

3x+1>0 \Rightarrow x>-\tfrac13

Show the answer and the solution

$a=3$ , והתחום $x>-\frac13$ .

Do the activity on elev

שתי טעויות עם פרמטר.

f(2)=0

f^{\prime}(2)=0

"קיצון ב- $x=2$ " הוא נתון על הנגזרת. ערך הפונקציה בקיצון יכול להיות כל מספר.

\big(\ln(ax+1)\big)^{\prime}=\frac{1}{ax+1}

\frac{a}{ax+1}

הפרמטר שבפנים נשאר במונה, כמו כל מספר.

אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו וכתבו את $f$ מחדש. משם זו חקירה רגילה.

Exercises

Exercise 1

לפונקציה $f(x)=x-a\ln x$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f^{\prime}(x)=1-\frac ax

\begin{aligned}f^{\prime}(3) &= 1-\frac a3 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a=3$ . מציבים בנגזרת. מי שהציב ב- $f$ קיבל משוואה עם $\ln 3$ , ולא את הקיצון.

Check the answer on elev

Exercise 2

הגרף של $f(x)=a\ln x+x^2$ עובר בנקודה $(e,\,e^2+4)$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f(e)=a\cdot 1+e^2

$\ln e=1$

\begin{aligned}a+e^2 &= e^2+4 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a=4$ . נקודה על הגרף = הצבה בפונקציה, לא בנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

לפונקציה $f(x)=\ln(2x-a)$ יש אסימפטוטה אנכית $x=3$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

2\cdot 3-a=0

מה שבפנים מתאפס באסימפטוטה

a=6

$a=6$ , לא $a=3$ : מציבים את $x=3$ בכל הביטוי $2x-a$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x)=\ln(ax+2)$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $1.5$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f^{\prime}(x)=\frac{a}{ax+2}

\begin{aligned}f^{\prime}(0) &= \frac a2 \\ &= 1.5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a=3$ . ב- $x=0$ המכנה הוא $2$ , לא $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x)=x^2-8\ln x$ . מהי נקודת הקיצון שלה?

מינימום $(2,\,4-8\ln 2)$
מינימום $(-2,\,4-8\ln 2)$
מקסימום $(2,\,4-8\ln 2)$
מינימום $(2,\,0)$

Show the answer and the solution

Answer: A מינימום $(2,\,4-8\ln 2)$

Worked solution:

\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2x^2-8}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$x=-2$ נפסל

f^{\prime}(1)<0 ,\ f^{\prime}(3)>0

מינימום

מינימום ב- $(2,\,4-8\ln 2)$ . $x=-2$ מחוץ לתחום, ו- $y$ בא מ- $f(2)$ , לא מ- $f^{\prime}(2)=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

אם $a<0$ , אין לפונקציה $f(x)=x^2-a\ln x$ נקודות קיצון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-a}{x}

a<0 \Rightarrow 2x^2-a>0

המונה והמכנה חיוביים

נכון. כאשר $a<0$ הנגזרת חיובית בכל התחום: הפונקציה עולה תמיד. אין קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 7

לפונקציה $f(x)=\ln(x^2-a)$ יש אסימפטוטה אנכית $x=4$ . מצאו את $a$ ואת התחום. השלימו.

$a=$ ____ ; התחום: $x<$ ____ או $x>$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a=$ 16 ; התחום: $x<$ -4 או $x>$ 4

Worked solution:

\begin{aligned}16-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 16\end{aligned}

x^2-16>0

x<-4 \ \text{או} \ x>4

$a=16$ . התחום מחוץ לשורשים. ויש שתי אסימפטוטות: $x=-4$ ו- $x=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה $f(x)=ax-\ln x$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac12$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f^{\prime}(x)=a-\frac1x

\begin{aligned}a-\frac{1}{\frac12} &= a-2 \\ &= 0\end{aligned}

a=2

$a=2$ . $\frac{1}{\frac12}=2$ , לא $\frac12$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

לפונקציה $f(x)=x-a\ln x$ יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . מצאו את $a$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f^{\prime}(x)=1-\frac{a}{x}

\begin{aligned}f^{\prime}(2) &= 1-\frac a2 \\ &= 0\end{aligned}

a=\frac12

Show the answer and the solution

Answer: $a=\frac12$ → $a=2$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac a2 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

כופלים ב- $2$

בשורה 3 חילקו במקום לכפול. בדיקה: $1-\frac22=0$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=a\ln x-x$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ מקביל לציר ה- $x$ . מצאו את $a$ , ואז את ערך הפונקציה בנקודת הקיצון.

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= a-1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

משיק מקביל לציר = שיפוע $0$

\begin{aligned}f(1) &= \ln 1-1 \\ &= -1\end{aligned}

$a=1$ , וערך הפונקציה $-1$ . "מקביל לציר ה- $x$ " פירושו שיפוע $0$ , כלומר נקודת קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה $f(x)=\ln(x^2-a)$ , ו- $a>0$ . כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה?

אין
אחת
שתיים
תלוי ב- $a$

Show the answer and the solution

Answer: C שתיים

Worked solution:

\begin{aligned}x^2-a &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt a\end{aligned}

שני שורשים, כי $a>0$

שתיים: $x=-\sqrt a$ ו- $x=\sqrt a$ . המספר לא תלוי ב- $a$ , רק המקום.

Check the answer on elev

נתון: נקודת קיצון

נתון: אסימפטוטה

נתון: שיפוע של משיק

Exercises

Keep practising on elev