The graph of f and of f′

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבגרות נותנים לפעמים ארבעה גרפים, ושואלים: איזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת? ונמקו.

f′(x)>0f^{\prime}(x)>0

הגרף של f′f^{\prime} מעל ציר ה-xx: ff עולה

f′(x)<0f^{\prime}(x)<0

הגרף של f′f^{\prime} מתחת לציר ה-xx: ff יורדת

f′(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0

הגרף של f′f^{\prime} חוצה את הציר: ל-ff יש קיצון

Df′=DfD_{f^{\prime}}=D_f

ל-f′f^{\prime} אותו תחום כמו ל-ff. אם ff מוגדרת רק ל-x>0x>0, גם f′f^{\prime}

לפי הגרף הנכון, באיזה תחום ff עולה?

Show the answer and the solution

x>1x>1: שם הגרף של f′f^{\prime} מעל ציר ה-xx.

מה הסימן של f′f^{\prime} כאשר x<0x<0? מה זה אומר על ff?

Show the answer and the solution

f′<0f^{\prime}<0: המונה 2x2x שלילי, והמכנה חיובי. לכן ff יורדת ב-x<0x<0.

פעולות על פונקציות

מ-ff בונים פונקציות חדשות. שתי פעולות חוזרות בבגרות: הזזה וערך מוחלט.

g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k

הגרף זז למטה kk. אותה נגזרת, אותו xx של הקיצון

g(x)=0  ⟺  f(x)=k\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= k\end{aligned}

נקודות החיתוך של gg עם ציר ה-xx = כמה פעמים הקו y=ky=k חותך את ff

g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|

מה שמתחת לציר ה-xx מתהפך למעלה. מה שמעליו נשאר

1234−2−112xyx = 0(1,0)I
1234−2−112xyx = 0(1,0)II
I: y=ln⁡xy=\ln x. II: y=∣ln⁡x∣y=|\ln x|. החלק של ln⁡x\ln x שבין 00 ל-11 (מתחת לציר) מתהפך למעלה. ב-(1, 0)(1,\,0) נוצר "שפיץ": מינימום של ∣ln⁡x∣|\ln x|.

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ln⁡x∣=1|\ln x|=1?

Show the answer and the solution

שניים: ln⁡x=1\ln x=1 נותן x=ex=e, ו-ln⁡x=−1\ln x=-1 נותן x=1ex=\frac1e.

f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). כמה נקודות חיתוך יש ל-g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k עם ציר ה-xx?

g(x)=0g(x)=0 פירושו f(x)=kf(x)=k. סופרים חיתוכים של הקו y=ky=k עם הגרף של ff.

k<1k<1

הקו מתחת למינימום: אין חיתוך

k=1k=1

הקו נוגע במינימום: חיתוך אחד

k>1k>1

הגרף יורד מאינסוף עד 11 ועולה שוב: שני חיתוכים

שטח מתחת לגרף של הנגזרת

אם ff ידועה, השטח בין הגרף של f′f^{\prime} לציר ה-xx מחושב בלי לחפש פונקציה קדומה: ff עצמה היא הקדומה של f′f^{\prime}.

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f^{\prime}(x)\,dx=f(b)-f(a)

f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′f^{\prime}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=ex=e.

בתחום הזה f′≥0f^{\prime}\ge 0: הגרף מעל הציר.

S=∫1ef′(x) dx=f(e)−f(1)\begin{aligned}S &= \int_1^e f^{\prime}(x)\,dx \\ &= f(e)-f(1)\end{aligned}
f(e)=e2−2f(1)=1\begin{aligned}f(e) &= e^2-2 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}
S=e2−3≈4.39S=e^2-3\approx 4.39

כשהגרף של הנגזרת מתחת לציר.

S=f(1)−f(0.5)S=f(1)-f(0.5)
S=f(0.5)−f(1)S=f(0.5)-f(1)

בתחום 0.5≤x≤10.5\le x\le 1 מתקיים f′<0f^{\prime}<0, ולכן f(1)−f(0.5)f(1)-f(0.5) שלילי. שטח הוא חיובי: מחסרים בסדר ההפוך.

Exercises

Exercise 1

12345−3−2−11xyf'y = 1x = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x) של פונקציה ff המוגדרת ל-x>0x>0. באיזה תחום ff עולה?

  1. 0<x<10<x<1
  2. x<1x<1
  3. x>1x>1
  4. x>0x>0
Show the answer and the solution

Answer: C x>1x>1

Worked solution:

x>1:f′(x)>0x>1: f^{\prime}(x)>0

שם הגרף של f′f^{\prime} מעל הציר

0<x<1:f′(x)<00<x<1: f^{\prime}(x)<0

שם ff יורדת

x>1x>1. שואלים איפה הגרף של f′f^{\prime} מעל הציר, ולא איפה הוא עולה: הוא עולה בכל התחום.

Check the answer on elev

Exercise 2

123−5−4−3−2−112345xyf'x = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x). כמה נקודות קיצון יש לפונקציה ff?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(1)=0f^{\prime}(1)=0

הגרף חוצה את הציר פעם אחת

−→+-\to+

הסימן מתחלף: מינימום

נקודה אחת. האסימפטוטה x=0x=0 אינה נקודת קיצון: שם ff לא מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

xyI
xyII
xyIII
xyIV

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). איזה מבין הגרפים מתאר את f′(x)f^{\prime}(x)?

  1. גרף IV
  2. גרף II
  3. גרף I
  4. גרף III
Show the answer and the solution

Answer: B גרף II

Worked solution:

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

מוגדרת לכל xx

x<0:f′<0, x>0:f′>0x<0: f^{\prime}<0 ,\ x>0: f^{\prime}>0
IV:x>0\text{IV}: x>0

גרף IV חסר את x<0x<0: נפסל

גרף II. גרף IV נראה נכון, אבל ff מוגדרת לכל xx, ולכן גם f′f^{\prime}. גרף III הפוך בסימן.

Check the answer on elev

Exercise 4

לפונקציות f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x ו-g(x)=x−ln⁡x−5g(x)=x-\ln x-5 יש אותה פונקציית נגזרת.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

g′(x)=f′(x)−0=1−1x\begin{aligned}g^{\prime}(x) &= f^{\prime}(x)-0 \\ &= 1-\frac1x\end{aligned}

הנגזרת של 55 היא 00

נכון. gg היא ff מוזזת למטה ב-55. השיפוע בכל xx לא משתנה, ולכן גם הקיצון באותו xx.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). בעבור איזה ערך של kk יש ל-g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k בדיוק נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

g(x)=0  ⟺  f(x)=k\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= k\end{aligned}
k=f(1)=1\begin{aligned}k &= f(1) \\ &= 1\end{aligned}

הקו y=ky=k נוגע במינימום

k=1k=1. בכל k>1k>1 יש שתי נקודות, ובכל k<1k<1 אין אף אחת.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ln⁡x∣=2|\ln x|=2?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}
ln⁡x=−2⇒x=e−2\begin{aligned}\ln x &= -2 \Rightarrow x \\ &= e^{-2}\end{aligned}

שניים. ערך מוחלט שווה 22 כשמה שבפנים 22 או −2-2.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ex=e. עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

f′(x)=1−1x≥01≤x≤e\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac1x\ge 0 \\ \quad 1\le x\le e\end{aligned}

הגרף מעל הציר

S=f(e)−f(1)=(e−1)−1\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= (e-1)-1\end{aligned}
=e−2≈0.72=e-2\approx 0.72

e−2≈0.72e-2\approx 0.72. לא צריך פונקציה קדומה: ff היא הקדומה של f′f^{\prime}.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=2x=2. עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 1.61

Worked solution:

f′(x)=2x−2x≥01≤x≤2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 2x-\frac2x\ge 0 \\ \quad 1\le x\le 2\end{aligned}
S=f(2)−f(1)=(4−2ln⁡2)−1\begin{aligned}S &= f(2)-f(1) \\ &= (4-2\ln 2)-1\end{aligned}
=3−2ln⁡2≈1.61=3-2\ln 2\approx 1.61

≈1.61\approx 1.61. מי שחישב f′(2)−f′(1)=3f^{\prime}(2)-f^{\prime}(1)=3 הציב בנגזרת במקום בפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהי נקודת המינימום של y=∣ln⁡x∣y=|\ln x|?

  1. (e, 1)(e,\,1)
  2. אין לה מינימום
  3. (0, 0)(0,\,0)
  4. (1, 0)(1,\,0)
Show the answer and the solution

Answer: D (1, 0)(1,\,0)

Worked solution:

∣ln⁡x∣≥0|\ln x|\ge 0

ערך מוחלט אף פעם לא שלילי

∣ln⁡1∣=0|\ln 1|=0

השוויון רק ב-x=1x=1

(1, 0)(1,\,0), ה"שפיץ". (0, 0)(0,\,0) מחוץ לתחום. במינימום הזה הנגזרת לא מתאפסת: היא לא קיימת.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). מיינו: בכל ערך של xx, האם ff עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • x=−0.5x=-0.5
  • x=−2x=-2
  • x=−4x=-4
  • x=0.5x=0.5
  • x=1x=1
  • x=3x=3
Show the answer and the solution

Answer: x=−2x=-2 — יורדת · x=3x=3 — עולה · x=−0.5x=-0.5 — יורדת · x=0.5x=0.5 — עולה · x=−4x=-4 — יורדת · x=1x=1 — עולה

Worked solution:

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

המכנה חיובי, הסימן לפי 2x2x

שלילי: יורדת. חיובי: עולה. זה לא תלוי בגודל של xx, רק בסימן.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). מהי נקודת המינימום של g(x)=f(x)−3g(x)=f(x)-3? השלימו.

x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 1 , y=y= -2

Worked solution:

g′(x)=f′(x)g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)

אותו xx של הקיצון

g(1)=1−3=−2\begin{aligned}g(1) &= 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

הגרף ירד ב-33

(1, −2)(1,\,-2). ההזזה למטה משנה את yy בלבד. מי שכתב x=−2x=-2 הזיז את הנקודה הצידה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade