Studying a function with ln

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חקירה של פונקציה עם ln⁡\ln היא חקירה רגילה. ההבדל: הצעד הראשון, התחום, קובע את כל השאר.

11

תחום ההגדרה

22

אסימפטוטות אנכיות, בקצוות התחום

33

נקודות קיצון: f′(x)=0f^{\prime}(x)=0, בתוך התחום

44

תחומי עלייה וירידה: טבלת סימנים

55

נקודות חיתוך עם הצירים, ושרטוט

דוגמה: f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x

הסבירו מדוע f(x)>0f(x)>0 לכל xx בתחום.

Show the answer and the solution

הערך הקטן ביותר של ff הוא המינימום, f(1)=1f(1)=1. כל שאר הערכים גדולים ממנו, ולכן f(x)≥1>0f(x)\ge 1>0. מכאן גם: אין חיתוך עם ציר ה-xx.

כשהתחום בנוי משני חלקים

האם ל-f(x)=ln⁡(x2−6x+8)f(x)=\ln(x^2-6x+8) יש נקודת מינימום ב-x=3x=3?

Show the answer and the solution

לא. x=3x=3 מחוץ לתחום. f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 שם, אבל נקודת קיצון חייבת להיות נקודה על הגרף.

ln⁡x\ln x במונה

f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}

התחום x>0x>0. הנגזרת מכלל המנה.

f′(x)=1−ln⁡xx2f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}

המכנה x2x^2 חיובי

1−ln⁡x=0⇒ln⁡x=1⇒x=e\begin{aligned}1-\ln x &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=ln⁡ee=1e≈0.37\begin{aligned}f(e) &= \frac{\ln e}{e} \\ &= \frac1e\approx 0.37\end{aligned}

הנקודה (e, 1e)(e,\,\frac1e)

0<x<e:f′>0,x>e:f′<00<x<e: f^{\prime}>0 ,\quad x>e: f^{\prime}<0

עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

f(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (1, 0)(1,\,0)

1234567−1xyfx = 0(1,0)(e,1/e)
f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}: מקסימום ב-(e, 1e)(e,\,\frac1e), חיתוך ב-(1, 0)(1,\,0), ואסימפטוטה x=0x=0.

שתי טעויות של תחום בחקירה.

f′(x)=0⇒x=±1\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}
x=1x=1

x=−1x=-1 מחוץ לתחום x>0x>0. פוסלים לפני שבונים טבלה.

f(0)=0−2ln⁡0f(0)=0-2\ln 0
x=0∉Dx=0 \notin D

אם 00 מחוץ לתחום, אין חיתוך עם ציר ה-yy. אל תציבו.

בטבלת הסימנים, הטבלה מתחילה בגבול התחום. אל תבדקו סימן במקום שבו הפונקציה לא מוגדרת.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. מצאו את נקודת הקיצון שלה. השלימו.

הנקודה: x=x= ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: הנקודה: x=x= 1 , y=y= 1

Worked solution:

f′(x)=1−1x=0⇒x=1\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac1x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
f(1)=1−0=1\begin{aligned}f(1) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

(1, 1)(1,\,1). מי שכתב y=0y=0 הציב ב-f′f^{\prime} במקום ב-ff.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x<1x<1
  2. 0<x<10<x<1
  3. x>0x>0
  4. x>1x>1
Show the answer and the solution

Answer: D x>1x>1

Worked solution:

f′(x)=x−1xf^{\prime}(x)=\frac{x-1}{x}
x>1:f′>0x>1: f^{\prime}>0

x>1x>1. x<1x<1 כולל מספרים שליליים, שם ff לא מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון. עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 0.37

Worked solution:

f′(x)=ln⁡x+1=0\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \ln x+1 \\ &= 0\end{aligned}
ln⁡x=−1⇒x=e−1≈0.37\begin{aligned}\ln x &= -1 \Rightarrow x \\ &= e^{-1}\approx 0.37\end{aligned}

x=1e≈0.37x=\frac1e\approx 0.37. מי שכתב ln⁡x=1\ln x=1 שכח את הסימן: ln⁡x+1=0\ln x+1=0 נותן −1-1.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. מהו ערך המינימום של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: -0.37

Worked solution:

f(e−1)=e−1⋅(−1)f(e^{-1})=e^{-1}\cdot(-1)

ln⁡e−1=−1\ln e^{-1}=-1

=−1e≈−0.37=-\frac1e\approx -0.37

−1e≈−0.37-\frac1e\approx -0.37. הערך שלילי: ln⁡x\ln x שלילי ליד x=0.37x=0.37.

Check the answer on elev

Exercise 5

לפונקציה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1) יש נקודת מינימום ב-(0, 0)(0,\,0).

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

המכנה תמיד חיובי

x<0:f′<0, x>0:f′>0x<0: f^{\prime}<0 ,\ x>0: f^{\prime}>0
f(0)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(0) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

נכון. כאן התחום הוא כל xx, ולכן x=0x=0 בתוכו.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=2ln⁡x−xf(x)=2\ln x-x. מצאו את ערך המקסימום. עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: -0.61

Worked solution:

f′(x)=2x−1=0⇒x=2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac2x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=2ln⁡2−2≈−0.61f(2)=2\ln 2-2\approx -0.61

≈−0.61\approx -0.61. מקסימום יכול להיות שלילי: "מקסימום" אומר שזו הנקודה הגבוהה בסביבה, לא שהיא מעל הציר.

Check the answer on elev

Exercise 7

סדרו את שלבי החקירה של פונקציה עם ln⁡\ln.

  • גוזרים את הפונקציה
  • טבלת סימנים וסוג הקיצון
  • פוסלים פתרונות מחוץ לתחום
  • פותרים f′(x)=0f^{\prime}(x)=0
  • תחום ההגדרה
Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה · גוזרים את הפונקציה · פותרים f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 · פוסלים פתרונות מחוץ לתחום · טבלת סימנים וסוג הקיצון

Worked solution:

D→f′→f′=0→פסילה→טבלהD \to f^{\prime} \to f^{\prime}=0 \to \text{פסילה} \to \text{טבלה}

התחום ראשון: בלעדיו אי אפשר לפסול. הטבלה אחרונה: היא צריכה את כל הנקודות.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=(ln⁡x)2f(x)=(\ln x)^2. מהי נקודת הקיצון שלה?

  1. מקסימום (e, 1)(e,\,1)
  2. מינימום (1, 0)(1,\,0)
  3. אין נקודת קיצון
  4. מקסימום (1, 0)(1,\,0)
Show the answer and the solution

Answer: B מינימום (1, 0)(1,\,0)

Worked solution:

f′(x)=2ln⁡xx=0⇒x=1\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2\ln x}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
0<x<1:f′<0, x>1:f′>00<x<1: f^{\prime}<0 ,\ x>1: f^{\prime}>0
f(1)=0f(1)=0

מינימום (1, 0)(1,\,0). וזה הגיוני: (ln⁡x)2(\ln x)^2 הוא ריבוע של מספר, לכן אף פעם לא שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x2−8ln⁡xf(x)=x^2-8\ln x. מיינו: בכל ערך של xx, האם ff עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • x=0.5x=0.5
  • x=1.9x=1.9
  • x=1x=1
  • x=2.5x=2.5
  • x=3x=3
  • x=5x=5
Show the answer and the solution

Answer: x=1x=1 — יורדת · x=3x=3 — עולה · x=0.5x=0.5 — יורדת · x=5x=5 — עולה · x=1.9x=1.9 — יורדת · x=2.5x=2.5 — עולה

Worked solution:

f′(x)=2x−8x=2x2−8x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 2x-\frac8x \\ &= \frac{2x^2-8}{x}\end{aligned}
x=2x=2

הנגזרת מתאפסת, בתוך התחום

משמאל ל-22 יורדת, מימין עולה. x=1.9x=1.9 קרוב ל-22, אבל עדיין משמאל לו.

Check the answer on elev

Exercise 10

מצאו את התחום של f(x)=ln⁡(x2−9)f(x)=\ln(x^2-9), ואת נקודות הקיצון שלה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x2−9>0x^2-9>0
−3<x<3-3<x<3
f′(x)=2xx2−9f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2-9}
Show the answer and the solution

Answer: −3<x<3-3<x<3 → x<−3 או x>3x<-3 \ \text{או} \ x>3

Worked solution:

x2>9x^2>9

מחוץ לשורשים

f′(x)=0⇒x=0∉D\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \notin D\end{aligned}

אין קיצון

בשורה 2 כתבו את המקום שבו מה שבפנים שלילי. ובגלל התחום הנכון, x=0x=0 נפסל: אין קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה f(x)=ln⁡xxf(x)=\frac{\ln x}{x}. מהו ערך המקסימום של הפונקציה? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 0.37

Worked solution:

1−ln⁡x=0⇒x=e\begin{aligned}1-\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=1e≈0.37f(e)=\frac1e\approx 0.37

1e≈0.37\frac1e\approx 0.37. שיעור ה-xx הוא e≈2.72e\approx 2.72; השאלה היא על ערך הפונקציה, yy.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). לאילו ערכים של kk אין פתרון למשוואה f(x)=kf(x)=k? השלימו.

k<k< ____

Show the answer and the solution

Answer: k<k< 1

Worked solution:

f(x)≥f(1)=1f(x)\ge f(1)=1

המינימום הוא הערך הקטן ביותר

ff לא יורדת אף פעם מתחת ל-11. לכן f(x)=kf(x)=k עם k<1k<1 חסרת פתרון. ב-k=1k=1 יש פתרון אחד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade