Logarithmic equations · Logarithms and the logarithmic function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במשוואה לוגריתמית הנעלם נמצא בתוך לוגריתם. שלוש צורות חוזרות שוב ושוב.

\begin{aligned}\log_a f(x) &= c \Rightarrow f(x) \\ &= a^c\end{aligned}

לוגריתם שווה למספר: ההגדרה

\begin{aligned}\log_a f(x) &= \log_a g(x) \Rightarrow f(x) \\ &= g(x)\end{aligned}

שני לוגריתמים באותו בסיס

\begin{aligned}\log_a f+\log_a g &= c \Rightarrow \log_a (f \cdot g) \\ &= c\end{aligned}

סכום: קודם חוק המכפלה

צורה 1: לוגריתם שווה למספר

פתרו $\log_2(3x-1)=3$

קודם התחום, אחר כך ההגדרה.

3x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{3}

תחום: מה שבתוך הלוגריתם חיובי

\begin{aligned}3x-1 &= 2^3 \\ &= 8\end{aligned}

ההגדרה

x=3

$3>\frac13$ : בתוך התחום ✓

פתרו $\log_5(2x+5)=2$ .

Show the answer and the solution

$2x+5=5^2=25$ , ולכן $x=10$ . התחום $x>-2.5$ מתקיים.

צורה 2: שני לוגריתמים באותו בסיס

אם $\log_a A=\log_a B$ , אז $A=B$ : לכל מספר חיובי יש לוגריתם אחד. אבל קודם בודקים ששני הצדדים מוגדרים.

פתרו $\log_3(x^2-4)=\log_3(3x)$

שני ביטויים בפנים, ושני תנאים לתחום.

x^2-4>0 ,\ 3x>0 \Rightarrow x>2

תחום: שני התנאים יחד

\begin{aligned}x^2-4 &= 3x \Rightarrow x^2-3x-4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים את מה שבפנים

\begin{aligned}(x-4)(x+1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

x=4

$x=-1$ מחוץ לתחום: נפסל

למה פסלנו את $x=-1$ ? הרי $(-1)^2-4=-3$ ו- $3 \cdot (-1)=-3$ שווים.

Show the answer and the solution

כי שני הצדדים הם $\log_3(-3)$ , ולוגריתם של מספר שלילי לא מוגדר. השוויון $-3=-3$ נכון, אבל המשוואה המקורית לא קיימת שם.

צורה 3: סכום של לוגריתמים

Interactive activity

\log_2 x+\log_2(x-2)=3

תחום

מה התחום של המשוואה?

x>2

x>0

Show the answer and the solution

גם $x-2$ חייב להיות חיובי. ב- $x=1$ מקבלים $\log_2(-1)$ .

x\neq 2

Show the answer and the solution

לא מספיק ש- $x-2 \neq 0$ . צריך $x-2>0$ .

שני התנאים $x>0$ ו- $x>2$ יחד נותנים $x>2$ .

חוק המכפלה

איך כותבים את אגף שמאל כלוגריתם אחד?

\log_2 \big(x(x-2)\big)=3

\log_2 (2x-2)=3

Show the answer and the solution

חוק המכפלה כופל את מה שבפנים: $x \cdot (x-2)$ .

עכשיו זו צורה 1.

הגדרה

מה נותנת ההגדרה?

x^2-2x=8

x^2-2x=6

Show the answer and the solution

$2^3=8$ , לא $2 \cdot 3$ .

x^2-2x=9

Show the answer and the solution

הבסיס הוא $2$ : $2^3=8$ .

משוואה ריבועית.

\begin{aligned}x^2-2x-8 &= 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה

יצאו $x=4$ ו- $x=-2$ . מה התשובה?

x=4

\begin{aligned}x &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

Show the answer and the solution

$x=-2$ מחוץ לתחום $x>2$ . ב- $x=-2$ מקבלים $\log_2(-2)$ .

x=-2

Show the answer and the solution

דווקא $x=-2$ נפסל: הוא מחוץ לתחום.

בדיקה: $\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$ ✓

ארבעה צעדים: תחום, חוק, הגדרה, בדיקה מול התחום.

פותרים יחד: סכום של לוגריתמים

Do the activity on elev

שתי טעויות שעולות נקודות.

\begin{aligned}\log x+\log(x-3) &= 1 \Rightarrow x+(x-3) \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}\log x+\log(x-3) &= 1 \Rightarrow x(x-3) \\ &= 10\end{aligned}

סכום של לוגריתמים הוא לוגריתם של מכפלה.

\begin{aligned}x &= 5 \\ \ x &= -2\end{aligned}

x=5

פתרון שנותן לוגריתם של מספר שלילי נפסל. תמיד בודקים מול התחום.

משוואה ריבועית בלוגריתם

כש- $\log x$ מופיע בריבוע, מציבים $t=\log x$ . פותרים משוואה ריבועית ב- $t$ , ואז חוזרים ל- $x$ .

פתרו $(\log_2 x)^2-3\log_2 x+2=0$

התחום: $x>0$ .

\begin{aligned}t &= \log_2 x \Rightarrow t^2-3t+2 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t-1)(t-2) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}

משוואה ריבועית ב- $t$

\begin{aligned}\log_2 x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 2 \qquad \log_2 x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

פתרו $(\log x)^2=\log x^2$ .

Show the answer and the solution

$\log x^2=2\log x$ . עם $t=\log x$ : $t^2=2t$ , ולכן $t=0$ או $t=2$ . כלומר $x=1$ או $x=100$ . מי שחילק ב- $t$ איבד את $x=1$ .

בסוף כל משוואה מציבים כל פתרון במשוואה המקורית. פתרון שנותן לוגריתם של $0$ או של מספר שלילי נפסל.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה $\log_3(x+4)=2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x+4>0 \Rightarrow x>-4

תחום

\begin{aligned}x+4 &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

ההגדרה

x=5

בתוך התחום ✓

מי שכתב $x+4=6$ כפל $3 \cdot 2$ . הלוגריתם הוא מעריך: $3^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את המשוואה $\log(5x)=2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}5x &= 10^2 \\ &= 100\end{aligned}

$\log$ הוא בסיס $10$

x=20

$x>0$ ✓

$\log$ בלי בסיס הוא בסיס $10$ . מי שקיבל $x=\frac{e^2}{5}$ עבד עם $\ln$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את המשוואה $\log_2(x+1)=\log_2(3x-5)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x+1>0 ,\ 3x-5>0 \Rightarrow x>\tfrac{5}{3}

תחום

x+1=3x-5

משווים את מה שבפנים

x=3

$3>\frac53$ ✓

גם כשהפתרון יוצא מיד, בודקים מול התחום: כאן $3x-5=4>0$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את המשוואה $\log_6 x+\log_6(x+1)=1$ .

$x=-3$ בלבד
אין פתרון
$x=2$ בלבד
$x=2$ ו- $x=-3$

Show the answer and the solution

Answer: C $x=2$ בלבד

Worked solution:

x>0

תחום

\begin{aligned}\log_6 \big(x(x+1)\big) &= 1 \Rightarrow x^2+x \\ &= 6\end{aligned}

חוק המכפלה והגדרה

(x+3)(x-2)=0

$x=2$ או $x=-3$

x=2

$x=-3$ מחוץ לתחום

$x=-3$ פותר את המשוואה הריבועית, אבל נותן $\log_6(-3)$ . מי שבחר שני פתרונות דילג על התחום.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו את המשוואה $(\log_3 x)^2-\log_3 x-2=0$ בעזרת ההצבה $t=\log_3 x$ . השלימו.

$t_1=$ ____ , $t_2=$ ____ ( $t_1>t_2$ ) ; הפתרון הגדול: $x=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $t_1=$ 2 , $t_2=$ -1 ( $t_1>t_2$ ) ; הפתרון הגדול: $x=$ 9

Worked solution:

\begin{aligned}t^2-t-2 &= 0 \Rightarrow (t-2)(t+1) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

\begin{aligned}\log_3 x &= 2 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}

$t=2$

\begin{aligned}\log_3 x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{1}{3}\end{aligned}

$t=-1$ : גם הוא פתרון

$t=-1$ שלילי, אבל $x=\frac13$ חיובי ומותר. פוסלים לפי $x$ , לא לפי $t$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

$x=-1$ הוא פתרון של המשוואה $\log(x^2)=0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x^2>0 \iff x\neq 0

התחום של $\log(x^2)$

\begin{aligned}x^2 &= 10^0 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

ההגדרה

\begin{aligned}\log\big((-1)^2\big) &= \log 1 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

נכון. בתוך הלוגריתם יש $x^2$ , וזה חיובי גם כש- $x$ שלילי. פוסלים רק מה שנותן בפנים מספר שאינו חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המשוואה $\log_2(x-1)-\log_2(x-3)=1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x>3

תחום

\begin{aligned}\log_2 \tfrac{x-1}{x-3} &= 1 \Rightarrow \tfrac{x-1}{x-3} \\ &= 2\end{aligned}

חוק המנה והגדרה

\begin{aligned}x-1 &= 2x-6 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

כופלים במכנה

מי שכתב $(x-1)-(x-3)=2$ חיסר את מה שבפנים, וקיבל $2=2$ בלי $x$ . הפרש של לוגריתמים הוא מנה.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו את $\log x+\log(x+3)=1$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x>0

x(x+3)=10

(x+5)(x-2)=0

\begin{aligned}x &= -5 \\ \ x &= 2\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $x=-5 ,\ x=2$ → $x=2$

Worked solution:

x^2+3x-10=0

המשוואה הריבועית

x=2

$x=-5$ מחוץ לתחום $x>0$

החישוב נכון עד הסוף. רק התשובה שוכחת את התחום שנכתב בשורה 1.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את המשוואה $2\log_5 x=\log_5(2x+8)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x>0

תחום: $\log_5 x$ דורש $x>0$

\begin{aligned}\log_5 x^2 &= \log_5(2x+8) \Rightarrow x^2 \\ &= 2x+8\end{aligned}

חוק החזקה

(x-4)(x+2)=0

$x=4$ או $x=-2$

x=4

$x=-2$ נפסל

$x=-2$ נותן $x^2=4$ ו- $2x+8=4$ , אבל במשוואה המקורית יש $\log_5(-2)$ . התחום נקבע לפי המשוואה לפני חוק החזקה.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהם הפתרונות של המשוואה $\log_2(x^2-x)=1$ ?

$x=2$ בלבד
$x=2$ ו- $x=-1$
$x=-1$ בלבד
אין פתרון

Show the answer and the solution

Answer: B $x=2$ ו- $x=-1$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2-x &= 2 \Rightarrow (x-2)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

ההגדרה

\begin{aligned}x &= -1: \ 1+1 \\ &= 2>0\end{aligned}

מה שבפנים חיובי ✓

\begin{aligned}x &= 2: \ 4-2 \\ &= 2>0\end{aligned}

גם כאן ✓

שני הפתרונות נכונים. $x=-1$ שלילי, אבל $x^2-x$ שם שווה $2$ . פוסלים רק כשמה שבתוך הלוגריתם אינו חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 11

פתרו את המשוואה $\ln(2x-1)=0$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}2x-1 &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

כל בסיס בחזקת $0$ הוא $1$

x=1

$2x-1=1>0$ ✓

אין צורך לדעת כמה זה $e$ : $\ln A=0$ רק כש- $A=1$ . מי שכתב $2x-1=0$ שכח ש- $\ln 0$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 12

פתרו את המשוואה $(\log x)^2-2\log x-3=0$ . כתבו את מכפלת הפתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

\begin{aligned}t &= \log x: \ t^2-2t-3 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3 \\ \ t &= -1\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= 10^3 \\ &= 1000 \\ \quad x &= 10^{-1} \\ &= 0.1\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

1000 \cdot 0.1=100

המכפלה

מכפלת ה- $t$ היא $-3$ , אבל השאלה על ה- $x$ . מי שענה $-3$ לא חזר מ- $t$ ל- $x$ .

Check the answer on elev

צורה 1: לוגריתם שווה למספר

צורה 2: שני לוגריתמים באותו בסיס

צורה 3: סכום של לוגריתמים

משוואה ריבועית בלוגריתם

Exercises

Keep practising on elev