Arithmetic sequence · Sequences · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר. המספר הזה נקרא הפרש הסדרה, ומסמנים אותו $d$ .

$a_1=5$ ו- $d=4$ . כמה קפיצות יש מ- $a_1$ עד $a_6$ , ומהו $a_6$ ?

Show the answer and the solution

חמש קפיצות: $a_6=5+5 \cdot 4=25$ . מהמקום הראשון למקום ה- $n$ יש תמיד $n-1$ קפיצות.

האיבר הכללי

a_n=a_1+(n-1)d

$n-1$ הוא מספר הקפיצות. אם $d$ שלילי, הסדרה יורדת.

האיבר ה-20

בסדרה חשבונית $a_1=7$ ו- $d=3$ . מצאו את $a_{20}$ .

a_{20}=a_1+19d

$19$ קפיצות

=7+19 \cdot 3=64

בסדרה חשבונית $a_1=50$ ו- $d=-4$ . מהו $a_{13}$ ?

Show the answer and the solution

$a_{13}=50+12 \cdot (-4)=2$ . כש- $d$ שלילי, כל קפיצה מורידה.

האם המספר נמצא בסדרה?

אפשר לכתוב את האיבר הכללי בצורה $a_n=dn+(a_1-d)$ . למשל $a_1=7$ , $d=4$ נותן $a_n=4n+3$ .

למה $3$ לא בסדרה, אף על פי ש- $4 \cdot 0+3=3$ ?

Show the answer and the solution

כי יצא $n=0$ , והמקומות מתחילים ב- $1$ . האיבר הראשון הוא $a_1=7$ .

סכום של סדרה חשבונית

מחברים את האיבר הראשון לאחרון, את השני לאחד-לפני-האחרון... כל זוג נותן אותו סכום: $a_1+a_n$ .

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

כשיודעים את האיבר האחרון

S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}

כשיודעים את ההפרש $d$

הסכום $3+7+11+\ldots+79$

חשבו את הסכום.

\begin{aligned}a_1 &= 3 \\ \quad d &= 4\end{aligned}

מזהים את הסדרה

\begin{aligned}3+(n-1) \cdot 4 &= 79 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

קודם מוצאים כמה איברים יש

\begin{aligned}S_{20} &= \frac{20(3+79)}{2} \\ &= 820\end{aligned}

ורק אז הסכום

בסדרה חשבונית $a_1=2$ ו- $d=3$ . מהו $S_{10}$ , סכום עשרת האיברים הראשונים?

Show the answer and the solution

$S_{10}=\frac{10(2 \cdot 2+9 \cdot 3)}{2}=\frac{10 \cdot 31}{2}=155$ .

נתון האיבר האחרון? קודם מוצאים את $n$ מתוך $a_n=a_1+(n-1)d$ . בלי $n$ אין סכום.

שלוש טעויות שחוזרות.

a_{20}=a_1+20d

a_{20}=a_1+19d

מ- $a_1$ עד $a_{20}$ יש $19$ קפיצות, לא $20$ .

\begin{aligned}3 \\ 7 \\ \ldots \\ 79: \ n &= \frac{79-3}{4} \\ &= 19\end{aligned}

\begin{aligned}n &= \frac{79-3}{4}+1 \\ &= 20\end{aligned}

החילוק נותן את מספר הקפיצות. מספר האיברים גדול ממנו ב- $1$ .

S_n=\frac{(n-1)(a_1+a_n)}{2}

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

בסכום סופרים איברים ( $n$ ), לא קפיצות.

Exercises

Exercise 1

בסדרה חשבונית $a_1=12$ ו- $d=5$ . מצאו את $a_{30}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 157

Worked solution:

a_{30}=a_1+29d

=12+29 \cdot 5=157

מי שקיבל $162$ הכפיל ב- $30$ במקום ב- $29$ : יש $n-1$ קפיצות.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסדרה חשבונית $a_4=17$ ו- $a_9=42$ . מצאו את האיבר הראשון $a_1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}a_9-a_4 &= 5d \\ &= 25 \ \Rightarrow \ d \\ &= 5\end{aligned}

בין $a_4$ ל- $a_9$ יש חמש קפיצות

\begin{aligned}a_4 &= a_1+3d \ \Rightarrow \ 17 \\ &= a_1+15\end{aligned}

a_1=2

שתי משוואות, שני נעלמים. מי שחילק ב- $9-4+1=6$ ספר איברים במקום קפיצות.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה איברים יש בסדרה החשבונית $8, 11, 14, \ldots, 113$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}a_1 &= 8 \\ \quad d &= 3\end{aligned}

8+(n-1) \cdot 3=113

\begin{aligned}n-1 &= 35 \ \Rightarrow \ n \\ &= 36\end{aligned}

התשובה $35$ היא מספר הקפיצות. מוסיפים $1$ כדי לספור גם את האיבר הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 4

בסדרה חשבונית $a_1=4$ ו- $d=2$ . חשבו את $S_{25}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 700

Worked solution:

S_{25}=\frac{25(2 \cdot 4+24 \cdot 2)}{2}

=\frac{25 \cdot 56}{2}=700

בנוסחה $2a_1+(n-1)d$ מכפילים את $a_1$ ב- $2$ . מי ששכח קיבל $\frac{25 \cdot 52}{2}=650$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בסדרה $a_n=6n-5$ : מהו המקום של האיבר הראשון שגדול מ- $100$ ?

$19$
$17$
$18$
$103$

Show the answer and the solution

Answer: C $18$

Worked solution:

6n-5>100 \ \Rightarrow \ n>17.5

אי-שוויון

\begin{aligned}n &= 18 \\ \quad a_{18} &= 103\end{aligned}

המספר השלם הראשון שגדול מ- $17.5$

התשובה: $18$ . $17$ נותן $a_{17}=97$ , שעוד לא עבר את $100$ . $103$ הוא האיבר, לא המקום.

Check the answer on elev

Exercise 6

הסדרה $a_n=2-3n$ היא סדרה חשבונית שהפרשה $d=-3$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= \left(2-3(n+1)\right)-(2-3n) \\ &= -3\end{aligned}

ההפרש קבוע

נכון. כל איבר כללי מהצורה $a_n=dn+c$ הוא סדרה חשבונית, והמקדם של $n$ הוא $d$ . כאן הסדרה יורדת: $-1, -4, -7, \ldots$

Check the answer on elev

Exercise 7

בסדרה חשבונית $a_1=-20$ ו- $d=3$ . מצאו את האיבר החיובי הראשון.

המקום שלו: $n=$ ____ ; האיבר: ____

Show the answer and the solution

Answer: המקום שלו: $n=$ 8 ; האיבר: 1

Worked solution:

-20+(n-1) \cdot 3>0 \ \Rightarrow \ n-1>6.67

\begin{aligned}n-1 &= 7 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}

מספר הקפיצות חייב להיות שלם

\begin{aligned}a_8 &= -20+21 \\ &= 1 \\ \quad a_7 &= -2\end{aligned}

בדיקה: $a_7$ עוד שלילי

מי שעצר ב- $n=7$ קיבל $a_7=-2$ , שעוד שלילי. וגם $0$ אינו חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה חשבונית $a_1=3$ ו- $d=4$ . כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה $210$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[6+4(n-1)\right]}{2} \\ &= n(2n+1)\end{aligned}

2n^2+n-210=0

משוואה ריבועית ב- $n$

\begin{aligned}n &= \frac{-1 \pm 41}{4} \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

הפתרון השלילי $-10.5$ נפסל

כש- $n$ הוא הנעלם בסכום, מקבלים משוואה ריבועית. פוסלים פתרון שלילי או לא שלם.

Check the answer on elev

Exercise 9

חישבו את הסכום $5+9+13+\ldots+85$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

d=4

\begin{aligned}n &= \frac{85-5}{4} \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{20(5+85)}{2} \\ &= 900\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $n=\frac{85-5}{4}=20$ → $n=\frac{85-5}{4}+1=21$

Worked solution:

\begin{aligned}5+(n-1) \cdot 4 &= 85 \ \Rightarrow \ n \\ &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}S_{21} &= \frac{21 \cdot 90}{2} \\ &= 945\end{aligned}

הסכום הנכון

החילוק $\frac{85-5}{4}=20$ סופר קפיצות. יש $21$ איברים, והסכום $945$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את סכום כל המספרים הדו-ספרתיים שמתחלקים ב- $7$ .

Show the answer and the solution

Answer: 728

Worked solution:

14, 21, \ldots, 98

הראשון $14$ , האחרון $98$ , $d=7$

\begin{aligned}14+(n-1) \cdot 7 &= 98 \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}S_{13} &= \frac{13(14+98)}{2} \\ &= 728\end{aligned}

הדו-ספרתי הראשון שמתחלק ב- $7$ הוא $14$ , לא $7$ . והאחרון הוא $98$ , כי $105$ כבר תלת-ספרתי.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו לכל נתון את הנוסחה שמתאימה לו.

נתונים $a_1$ , $d$ , ומבקשים איבר
נתונים $a_1$ , האיבר האחרון $a_n$ ו- $n$
נתונים $a_1$ , $d$ ו- $n$ , ומבקשים סכום
נתונים שני איברים $a_k$ ו- $a_m$

$a_m-a_k=(m-k)d$
$a_n=a_1+(n-1)d$
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$

Show the answer and the solution

Answer: נתונים $a_1$ , $d$ , ומבקשים איבר — $a_n=a_1+(n-1)d$ · נתונים $a_1$ , האיבר האחרון $a_n$ ו- $n$ — $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ · נתונים $a_1$ , $d$ ו- $n$ , ומבקשים סכום — $S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$ · נתונים שני איברים $a_k$ ו- $a_m$ — $a_m-a_k=(m-k)d$

Worked solution:

a_m-a_k=(m-k)d

בין $a_k$ ל- $a_m$ יש $m-k$ קפיצות

הנוסחה האחרונה היא הקיצור של שאלה $2$ : מחסרים שני איברים, ו- $a_1$ נעלם.

Check the answer on elev

Exercise 12

בסדרה חשבונית $a_3+a_7=30$ . מצאו את $a_5$ .

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}a_3 &= a_5-2d \\ \quad a_7 &= a_5+2d\end{aligned}

$a_5$ באמצע, שתי קפיצות מכל צד

\begin{aligned}a_3+a_7 &= 2a_5 \\ &= 30 \ \Rightarrow \ a_5 \\ &= 15\end{aligned}

לא צריך את $a_1$ ולא את $d$ . איבר אמצעי הוא הממוצע של שני איברים שרחוקים ממנו באותו מרחק.

Check the answer on elev

האיבר הכללי

האם המספר נמצא בסדרה?

סכום של סדרה חשבונית

Exercises

Keep practising on elev