Geometric sequence

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד באותו מספר. המספר הזה נקרא מנת הסדרה, ומסמנים אותו qq.

כמה גרגרים יש במשבצת ה-1010? ולמה המעריך הוא 99 ולא 1010?

Show the answer and the solution

a10=1⋅29=512a_{10}=1 \cdot 2^9=512. מהמשבצת הראשונה עד העשירית יש תשע הכפלות, כמו תשע הקפיצות בסדרה חשבונית.

האיבר הכללי

an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
3162123244485×2×2×2×2…
הסדרה 3,6,12,24,48,…3, 6, 12, 24, 48, \ldots: כל חץ הוא ×2\times 2. מהמקום הראשון למקום החמישי יש ארבעה חיצים: a5=3⋅24=48a_5=3 \cdot 2^4=48.

האיבר השישי

בסדרה הנדסית a1=5a_1=5 ו-q=3q=3. מצאו את a6a_6.

a6=a1⋅q5a_6=a_1 \cdot q^5

חמש הכפלות

=5⋅243=1215=5 \cdot 243=1215

בסדרה הנדסית a1=64a_1=64 ו-q=12q=\frac{1}{2}. מהו a7a_7?

Show the answer and the solution

a7=64⋅(12)6=6464=1a_7=64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{64}{64}=1. כש-0<q<10<q<1 הסדרה יורדת.

מוצאים את q ואת n

מחלקים איבר באיבר שלפניו: q=an+1anq=\frac{a_{n+1}}{a_n}. ומשני איברים רחוקים: a7a4=q3\frac{a_7}{a_4}=q^3.

נתונים שני איברים

בסדרה הנדסית a2=6a_2=6 ו-a5=162a_5=162. מצאו את qq ואת a1a_1.

a5a2=q3=1626=27\begin{aligned}\frac{a_5}{a_2} &= q^3 \\ &= \frac{162}{6} \\ &= 27\end{aligned}

בין a2a_2 ל-a5a_5 שלוש הכפלות

q=3q=3

שורש שלישי של 2727

a1=a2q=63=2\begin{aligned}a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

כשהנעלם הוא nn, הוא נמצא במעריך. פותרים בעזרת לוגריתם, כמו בפרק הלוגריתמים.

האיבר הראשון שעובר את 10,000

בסדרה an=3⋅2n−1a_n=3 \cdot 2^{n-1}: מהו המקום של האיבר הראשון שגדול מ-10,00010{,}000?

3⋅2n−1>10000 ⇒ 2n−1>3333.33 \cdot 2^{n-1}>10000 \ \Rightarrow \ 2^{n-1}>3333.3

מבודדים את החזקה

n−1>log⁡3333.3log⁡2≈11.70n-1>\frac{\log 3333.3}{\log 2} \approx 11.70

מוציאים לוגריתם משני האגפים

n−1=12 ⇒ n=13\begin{aligned}n-1 &= 12 \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

השלם הראשון

a12=6144a13=12288\begin{aligned}a_{12} &= 6144 \\ \quad a_{13} &= 12288\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

סכום של סדרה הנדסית

Sn=a1(qn−1)q−1q≠1S_n=\frac{a_1\left(q^n-1\right)}{q-1} \qquad q \neq 1

כמה גרגרים יש בסך הכול בעשר המשבצות הראשונות?

Show the answer and the solution

S10=1⋅(210−1)2−1=1023S_{10}=\frac{1 \cdot (2^{10}-1)}{2-1}=1023. שימו לב: זה פחות אחד מהמשבצת ה-1111, 210=10242^{10}=1024.

שלוש טעויות בנוסחאות של סדרה הנדסית.

an=a1⋅qna_n=a_1 \cdot q^n
an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

יש n−1n-1 הכפלות, כמו n−1n-1 קפיצות.

an=(a1⋅q)n−1a_n=(a_1 \cdot q)^{n-1}
an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

החזקה חלה רק על qq.

54−186: q=3\begin{aligned}54 \\ -18 \\ 6: \ q &= 3\end{aligned}
q=−13q=-\frac{1}{3}

מחלקים אחרי בלפני: −1854=−13\frac{-18}{54}=-\frac{1}{3}, עם הסימן.

Exercises

Exercise 1

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=3q=3. מצאו את a6a_6.

Show the answer and the solution

Answer: 486

Worked solution:

a6=2⋅35a_6=2 \cdot 3^5
=2⋅243=486=2 \cdot 243=486

מי שקיבל 14581458 חישב 2⋅362 \cdot 3^6: יש חמש הכפלות, לא שש.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסדרה הנדסית a3=12a_3=12 ו-a6=96a_6=96. מצאו את a1a_1.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

a6a3=q3=8 ⇒ q=2\begin{aligned}\frac{a_6}{a_3} &= q^3 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}
a3=a1q2 ⇒ 12=4a1 ⇒ a1=3\begin{aligned}a_3 &= a_1 q^2 \ \Rightarrow \ 12 \\ &= 4a_1 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 3\end{aligned}

בסדרה הנדסית מחלקים שני איברים כדי למצוא את qq. מי שחיסר 96−1296-12 השתמש בכלי של סדרה חשבונית.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את הסכום 1+3+9+…1+3+9+\ldots של שמונת האיברים הראשונים.

Show the answer and the solution

Answer: 3280

Worked solution:

a1=1q=3n=8\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ \quad q &= 3 \\ \quad n &= 8\end{aligned}
S8=38−13−1=65602=3280\begin{aligned}S_8 &= \frac{3^8-1}{3-1} \\ &= \frac{6560}{2} \\ &= 3280\end{aligned}

האיבר השמיני הוא 37=21873^7=2187, וסכום שמונת האיברים הוא 32803280. אל תבלבלו בין איבר לסכום.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי מנת הסדרה ההנדסית 54,−18,6,…54, -18, 6, \ldots?

  1. 33
  2. −3-3
  3. 13\frac{1}{3}
  4. −13-\frac{1}{3}
Show the answer and the solution

Answer: D −13-\frac{1}{3}

Worked solution:

q=a2a1=−1854=−13\begin{aligned}q &= \frac{a_2}{a_1} \\ &= \frac{-18}{54} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
6⋅(−13)=−26 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-2

האיבר הבא: הסימנים מתחלפים

התשובה: −13-\frac{1}{3}. −3-3 מחלקת a1a_1 ב-a2a_2 — הפוך. 13\frac{1}{3} שוכחת את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 5

המספרים 2,6,18,362, 6, 18, 36 הם ארבעה איברים עוקבים של סדרה הנדסית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

62=3186=33618=2\begin{aligned}\frac{6}{2} &= 3 \\ \quad \frac{18}{6} &= 3 \\ \quad \frac{36}{18} &= 2\end{aligned}

המנות לא שוות

לא נכון. שלוש מנות צריכות להיות שוות. שתי מנות שוות בהתחלה עוד לא מוכיחות שזו סדרה הנדסית.

Check the answer on elev

Exercise 6

בסדרה ההנדסית 5,10,20,…5, 10, 20, \ldots: באיזה מקום נמצא האיבר 51205120?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

5⋅2n−1=51205 \cdot 2^{n-1}=5120
2n−1=1024=210\begin{aligned}2^{n-1} &= 1024 \\ &= 2^{10}\end{aligned}
n−1=10 ⇒ n=11\begin{aligned}n-1 &= 10 \ \Rightarrow \ n \\ &= 11\end{aligned}

המעריך הוא n−1n-1, ולכן n=11n=11 ולא 1010.

Check the answer on elev

Exercise 7

בסדרה הנדסית a1=4a_1=4 ו-q=1.5q=1.5. מהו nn הקטן ביותר שעבורו an>1000a_n>1000?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

4⋅1.5n−1>1000 ⇒ 1.5n−1>2504 \cdot 1.5^{n-1}>1000 \ \Rightarrow \ 1.5^{n-1}>250
n−1>log⁡250log⁡1.5≈13.62n-1>\frac{\log 250}{\log 1.5} \approx 13.62

לוגריתם; 1.5>11.5>1 ולכן הכיוון נשמר

n−1=14 ⇒ n=15\begin{aligned}n-1 &= 14 \ \Rightarrow \ n \\ &= 15\end{aligned}
a14≈778,a15≈1168a_{14} \approx 778 ,\quad a_{15} \approx 1168

בדיקה ✓

מי שעיגל את 13.6213.62 ל-1414 וענה n=14n=14 שכח שהמעריך הוא n−1n-1.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית a1=6a_1=6 ו-q=12q=\frac{1}{2}. השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

a4=a_4= ____ ; S4=S_4= ____

Show the answer and the solution

Answer: a4=a_4= 0.75 ; S4=S_4= 11.25

Worked solution:

a4=6⋅(12)3=68=0.75\begin{aligned}a_4 &= 6 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 \\ &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}
S4=6((12)4−1)12−1=6⋅(−1516)−12=11.25\begin{aligned}S_4 &= \frac{6\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4-1\right)}{\frac{1}{2}-1} \\ &= \frac{6 \cdot \left(-\frac{15}{16}\right)}{-\frac{1}{2}} \\ &= 11.25\end{aligned}
6+3+1.5+0.75=11.256+3+1.5+0.75=11.25

בדיקה בחיבור ישיר ✓

כש-q<1q<1 גם המונה וגם המכנה בנוסחת הסכום שליליים, והסכום יוצא חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי לקבל 765765?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

3(2n−1)2−1=765\frac{3(2^n-1)}{2-1}=765
2n−1=255 ⇒ 2n=256\begin{aligned}2^n-1 &= 255 \ \Rightarrow \ 2^n \\ &= 256\end{aligned}
n=8n=8

בנוסחת הסכום המעריך הוא nn, לא n−1n-1. מי שכתב 2n−1=2562^{n-1}=256 קיבל 99.

Check the answer on elev

Exercise 10

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2, q=3q=3 חישבו את a5a_5. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

an=a1⋅qn−1a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
a5=2⋅35a_5=2 \cdot 3^5
=2⋅243=486=2 \cdot 243=486
Show the answer and the solution

Answer: a5=2⋅35a_5=2 \cdot 3^5 → a5=2⋅34=162a_5=2 \cdot 3^4=162

Worked solution:

a5=2⋅34=2⋅81=162\begin{aligned}a_5 &= 2 \cdot 3^4 \\ &= 2 \cdot 81 \\ &= 162\end{aligned}

ארבע הכפלות

הנוסחה נכונה, אבל בהצבה כתבו q5q^5 במקום q5−1q^{5-1}.

Check the answer on elev

Exercise 11

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים a2=10a_2=10 ו-a4=40a_4=40. חשבו את S6S_6.

Show the answer and the solution

Answer: 315

Worked solution:

q2=4010=4 ⇒ q=2\begin{aligned}q^2 &= \frac{40}{10} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

האיברים חיוביים, ולכן q=2q=2 ולא −2-2

a1=102=5\begin{aligned}a_1 &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}
S6=5(26−1)2−1=315\begin{aligned}S_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 315\end{aligned}

בלי הנתון «כל איבריה חיוביים», גם q=−2q=-2 אפשרי: −5,10,−20,40,…-5, 10, -20, 40, \ldots וסכום אחר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade