Convergent infinite geometric series

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מפילים כדור מגובה 400400 ס״מ. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה לחצי מהגובה הקודם. האם הכדור יעבור מרחק אינסופי?

יש אינסוף קפיצות. האם סכום הגבהים 200+100+50+…200+100+50+\ldots גדל בלי סוף?

Show the answer and the solution

לא. כל קפיצה סוגרת חצי מהמרחק שנשאר עד 400400. הסכום מתקרב ל-400400, ואף פעם לא עובר אותו.

הסכומים החלקיים

SnS_n הוא הסכום של nn האיברים הראשונים. בסדרה 6+3+1.5+…6+3+1.5+\ldots נצייר את S1,S2,S3,…S_1, S_2, S_3, \ldots

הסכומים החלקיים של 6+3+1.5+…6+3+1.5+\ldots
120123456789024681012nS
S1=6S_1=6, S2=9S_2=9, S3=10.5S_3=10.5... הנקודות מתקרבות לקו 1212 ולא מגיעות אליו. המספר 1212 הוא סכום הסדרה האינסופית.

הנוסחה

S=a11−q−1<q<1S=\frac{a_1}{1-q} \qquad -1<q<1

למה? כש-∣q∣<1|q|<1, החזקה qnq^n קטנה ומתקרבת ל-00. בנוסחה Sn=a1(1−qn)1−qS_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} נשאר a11−q\frac{a_1}{1-q}.

סדרה כזו נקראת סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. כש-∣q∣≥1|q| \geq 1 אין סכום.

q=12q=\frac{1}{2}

מתכנסת: האיברים קטנים

q=−12q=-\frac{1}{2}

מתכנסת: הסימנים מתחלפים, והאיברים קטנים

q=1q=1

לא מתכנסת: 5+5+5+…5+5+5+\ldots

q=−1q=-1

לא מתכנסת: 5−5+5−…5-5+5-\ldots

q=2q=2

לא מתכנסת: האיברים גדלים

סכום עם q שלילי

חשבו את הסכום 9−3+1−13+…9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots

a1=9q=−13\begin{aligned}a_1 &= 9 \\ \quad q &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1 ✓

S=91−(−13)=943\begin{aligned}S &= \frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ &= \frac{9}{\frac{4}{3}}\end{aligned}

מציבים את qq עם הסימן

=274=6.75=\frac{27}{4}=6.75

מהו סכום הסדרה ההנדסית האינסופית שבה a1=20a_1=20 ו-q=0.2q=0.2?

Show the answer and the solution

S=201−0.2=200.8=25S=\frac{20}{1-0.2}=\frac{20}{0.8}=25.

מוצאים את a₁ או את q מתוך הסכום

נתון הסכום ונתונה המנה

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 3636, ו-q=23q=\frac{2}{3}. מצאו את a1a_1.

a11−23=36\frac{a_1}{1-\frac{2}{3}}=36
a1=36⋅13=12\begin{aligned}a_1 &= 36 \cdot \frac{1}{3} \\ &= 12\end{aligned}

נתון הסכום ונתון האיבר הראשון

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, ו-a1=10a_1=10. מצאו את qq.

101−q=40 ⇒ 1−q=14\begin{aligned}\frac{10}{1-q} &= 40 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}
q=34q=\frac{3}{4}

∣q∣<1|q|<1 ✓: התשובה אפשרית

המרחק של הכדור

הכדור מההתחלה נופל מ-400400 ס״מ, ואז עולה ויורד. איזה מרחק יעבור בסך הכול?

400400

הנפילה הראשונה: פעם אחת

2⋅(200+100+50+…)2 \cdot (200+100+50+\ldots)

כל גובה אחר: פעמיים, למעלה ולמטה

400+2⋅2001−12=400+800=1200\begin{aligned}400+2 \cdot \frac{200}{1-\frac{1}{2}} &= 400+800 \\ &= 1200\end{aligned}

התשובה: 12001200 ס״מ

לפני שמציבים ב-a11−q\frac{a_1}{1-q}: בודקים ש-∣q∣<1|q|<1. וכשמוצאים qq מתוך סכום, בודקים שוב בסוף.

שלוש טעויות של הסכום האינסופי.

3+6+12+…: S=31−2=−3\begin{aligned}3+6+12+\ldots: \ S &= \frac{3}{1-2} \\ &= -3\end{aligned}
q=2: אין סכוםq=2: \ \text{אין סכום}

סכום של מספרים חיוביים לא יכול לצאת שלילי. ∣q∣>1|q|>1, ולכן אין סכום.

q=−12: S=a11−12\begin{aligned}q &= -\tfrac{1}{2}: \ S \\ &= \frac{a_1}{1-\frac{1}{2}}\end{aligned}
S=a11+12S=\frac{a_1}{1+\frac{1}{2}}

1−q=1−(−12)=321-q=1-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}. מינוס כפול מינוס.

an=5⋅(12)n: a1=5\begin{aligned}a_n &= 5 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^n: \ a_1 \\ &= 5\end{aligned}
a1=52a_1=\frac{5}{2}

מציבים n=1n=1 באיבר הכללי. אל תניחו שהמקדם הוא a1a_1.

Exercises

Exercise 1

חשבו את הסכום 12+4+43+…12+4+\frac{4}{3}+\ldots

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

a1=12q=412=13\begin{aligned}a_1 &= 12 \\ \quad q &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}
S=121−13=1223=18\begin{aligned}S &= \frac{12}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{12}{\frac{2}{3}} \\ &= 18\end{aligned}

חלוקה בשבר היא כפל בהפוך: 12⋅32=1812 \cdot \frac{3}{2}=18. מי שקיבל 88 כפל ב-23\frac{2}{3} במקום לחלק.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את הסכום 15−5+53−…15-5+\frac{5}{3}-\ldots (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

Show the answer and the solution

Answer: 11.25

Worked solution:

q=−515=−13\begin{aligned}q &= \frac{-5}{15} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
S=151+13=1543=454=11.25\begin{aligned}S &= \frac{15}{1+\frac{1}{3}} \\ &= \frac{15}{\frac{4}{3}} \\ &= \frac{45}{4} \\ &= 11.25\end{aligned}

מי שקיבל 22.522.5 הציב 1−131-\frac{1}{3}: שכח את הסימן של qq.

Check the answer on elev

Exercise 3

לסדרה ההנדסית האינסופית 1+1.1+1.21+…1+1.1+1.21+\ldots יש סכום סופי.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

q=1.11=1.1>1\begin{aligned}q &= \frac{1.1}{1} \\ &= 1.1>1\end{aligned}

לא נכון. q=1.1q=1.1, והאיברים גדלים. הנוסחה הייתה נותנת 11−1.1=−10\frac{1}{1-1.1}=-10: מספר שלילי, סימן שאסור היה להציב.

Check the answer on elev

Exercise 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 5050, ו-q=0.6q=0.6. מצאו את a1a_1.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

a11−0.6=50\frac{a_1}{1-0.6}=50
a1=50⋅0.4=20\begin{aligned}a_1 &= 50 \cdot 0.4 \\ &= 20\end{aligned}

מכפילים את הסכום ב-1−q1-q, לא ב-qq. מי שקיבל 3030 חישב 50⋅0.650 \cdot 0.6.

Check the answer on elev

Exercise 5

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 2424, והאיבר הראשון הוא 1818. מצאו את qq.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

181−q=24 ⇒ 1−q=1824=34\begin{aligned}\frac{18}{1-q} &= 24 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{18}{24} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=14=0.25\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1 ✓

מי שענה 0.750.75 מצא את 1−q1-q, ולא את qq.

Check the answer on elev

Exercise 6

לאיזו מנה qq יש לסדרה ההנדסית האינסופית סכום?

  1. q=1.2q=1.2
  2. q=−0.8q=-0.8
  3. q=1q=1
  4. q=−1.5q=-1.5
Show the answer and the solution

Answer: B q=−0.8q=-0.8

Worked solution:

∣−0.8∣=0.8<1|-0.8|=0.8<1

רק כאן

התשובה: q=−0.8q=-0.8. מנה שלילית לא מפריעה, כל עוד ∣q∣<1|q|<1. ב-q=1q=1 מחברים אותו מספר בלי סוף.

Check the answer on elev

Exercise 7

כתבו את 0.777…0.777\ldots כסכום 0.7+0.07+0.007+…0.7+0.07+0.007+\ldots, ומצאו אותו כשבר פשוט.

  1. 97\frac{9}{7}
  2. 77100\frac{77}{100}
  3. 710\frac{7}{10}
  4. 79\frac{7}{9}
Show the answer and the solution

Answer: D 79\frac{7}{9}

Worked solution:

a1=0.7q=0.1\begin{aligned}a_1 &= 0.7 \\ \quad q &= 0.1\end{aligned}
S=0.71−0.1=0.70.9=79\begin{aligned}S &= \frac{0.7}{1-0.1} \\ &= \frac{0.7}{0.9} \\ &= \frac{7}{9}\end{aligned}

התשובה: 79\frac{7}{9}. 710\frac{7}{10} הוא רק האיבר הראשון, ו-77100\frac{77}{100} רק שני האיברים הראשונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית אינסופית יורדת a2=6a_2=6, וסכום הסדרה הוא 3232. ידוע ש-q>12q>\frac{1}{2}. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ ; a1=a_1= ____

Show the answer and the solution

Answer: q=q= 0.75 ; a1=a_1= 8

Worked solution:

a1q=6a11−q=32\begin{aligned}a_1 q &= 6 \\ \quad \frac{a_1}{1-q} &= 32\end{aligned}

שתי משוואות

32(1−q)q=6 ⇒ 16q2−16q+3=0\begin{aligned}32(1-q)q &= 6 \ \Rightarrow \ 16q^2-16q+3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים a1=32(1−q)a_1=32(1-q)

q=14 או q=34\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \ \text{או} \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
q=34 ⇒ a1=634=8\begin{aligned}q &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= \frac{6}{\frac{3}{4}} \\ &= 8\end{aligned}

לפי הנתון q>12q>\frac{1}{2}

לשני הפתרונות יש סדרה אמיתית: גם 24+6+1.5+…24+6+1.5+\ldots מתכנסת ל-3232. רק הנתון q>12q>\frac{1}{2} בוחר ביניהן.

Check the answer on elev

Exercise 9

כדור נופל מגובה 66 מטר. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה ל-23\frac{2}{3} מהגובה הקודם. איזה מרחק (במטרים) יעבור הכדור בסך הכול?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

6⋅23=46 \cdot \frac{2}{3}=4

הגובה של הקפיצה הראשונה

4+83+…=41−23=12\begin{aligned}4+\frac{8}{3}+\ldots &= \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \\ &= 12\end{aligned}

סכום כל הגבהים

6+2⋅12=306+2 \cdot 12=30

כל גובה נספר פעמיים: למעלה ולמטה

מי שענה 1818 ספר את הקפיצות רק פעם אחת. מי שענה 3636 ספר גם את הנפילה הראשונה פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 10

חישבו את הסכום 8−4+2−…8-4+2-\ldots. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

q=−48=−12\begin{aligned}q &= \frac{-4}{8} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
S=81−12=16\begin{aligned}S &= \frac{8}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 16\end{aligned}
∣q∣<1|q|<1
Show the answer and the solution

Answer: S=81−12=16S=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16 → S=81+12=163S=\frac{8}{1+\frac{1}{2}}=\frac{16}{3}

Worked solution:

1−q=1−(−12)=32\begin{aligned}1-q &= 1-\left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}
S=832=163\begin{aligned}S &= \frac{8}{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

הציבו qq בלי הסימן. 1616 הוא הסכום של 8+4+2+…8+4+2+\ldots, עם כל האיברים חיוביים.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה הסדרה an=5⋅(12)na_n=5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n, n≥1n \geq 1. חשבו את סכום כל איבריה.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

a1=5⋅12=52q=12\begin{aligned}a_1 &= 5 \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{5}{2} \\ \quad q &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים n=1n=1

S=521−12=5\begin{aligned}S &= \frac{\frac{5}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 5\end{aligned}

מי שענה 1010 לקח a1=5a_1=5. במעריך כתוב nn ולא n−1n-1, ולכן 55 הוא לא האיבר הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 12

בסדרה 8+4+2+…8+4+2+\ldots הסכום האינסופי הוא 1616. מהו nn הקטן ביותר שעבורו Sn>15.9S_n>15.9?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

Sn=16(1−(12)n)>15.9S_n=16\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)>15.9

סכום חלקי

(12)n<1160 ⇒ 2n>160\left(\tfrac{1}{2}\right)^n<\frac{1}{160} \ \Rightarrow \ 2^n>160

הופכים: כיוון אי-השוויון מתהפך

n>log⁡160log⁡2≈7.32 ⇒ n=8n>\frac{\log 160}{\log 2} \approx 7.32 \ \Rightarrow \ n=8
S7=15.875S8=15.9375\begin{aligned}S_7 &= 15.875 \\ \quad S_8 &= 15.9375\end{aligned}

בדיקה ✓

כשהופכים שבר באי-שוויון, הכיוון מתהפך. מי שלא הפך קיבל n<7.32n<7.32, וזה לא הגיוני: סכום גדל כש-nn גדל.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade