Combining arithmetic and geometric sequences · Sequences · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלה של בגרות יש לפעמים שתי סדרות: אחת חשבונית ואחת הנדסית. צריך לדעת מה מחבר ביניהן.

באיזה מקום הסדרה ההנדסית עוקפת לראשונה את החשבונית?

Show the answer and the solution

במקום הרביעי: $a_4=21$ ו- $b_4=24$ . בהתחלה החשבונית מובילה, אבל הכפל גדל מהר יותר מהחיבור.

תנו לכל סדרה אות משלה: $a_n$ לחשבונית, $b_n$ להנדסית. כך לא מתבלבלים בין $d$ ל- $q$ .

שלושה מספרים עוקבים

שלושה מספרים $x, y, z$ הם איברים עוקבים של סדרה חשבונית אם האמצעי הוא ממוצע השניים: $2y=x+z$ .

הם איברים עוקבים של סדרה הנדסית אם $y^2=xz$ (ו- $x, y, z$ אינם $0$ ).

2y=x+z

חשבונית: $y-x=z-y$ , אותו הפרש

y^2=x \cdot z

הנדסית: $\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$ , אותה מנה

איברים של חשבונית שיוצרים הנדסית

בסדרה חשבונית $a_1=2$ ו- $d \neq 0$ . האיברים $a_1, a_2, a_5$ הם (בסדר הזה) שלושה איברים עוקבים של סדרה הנדסית. מצאו את $d$ ואת מנת הסדרה ההנדסית.

\begin{aligned}a_2 &= 2+d \\ \quad a_5 &= 2+4d\end{aligned}

כותבים את האיברים לפי $d$

(2+d)^2=2(2+4d)

התנאי של סדרה הנדסית

\begin{aligned}d^2-4d &= 0 \ \Rightarrow \ d \\ &= 4\end{aligned}

$d=0$ נפסל לפי הנתון

\begin{aligned}2 \\ 6 \\ 18 \ \Rightarrow \ q &= 3\end{aligned}

בדקו: האם $2, 6, 18$ מקיימים את $y^2=xz$ ?

Show the answer and the solution

$6^2=36$ ו- $2 \cdot 18=36$ ✓. וגם $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=3$ .

סדרה שהיא סכום של שתי סדרות

אם $c_n=a_n+b_n$ , אז גם הסכום שלה מתפרק: $S^{(c)}_n=S^{(a)}_n+S^{(b)}_n$ . מחשבים כל סכום בנוסחה שלו.

סכום של $c_n=3n+2^n$

חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים של $c_n=3n+2^n$ .

\begin{aligned}3+6+\ldots+30 &= \frac{10(3+30)}{2} \\ &= 165\end{aligned}

החלק החשבוני: $3n$

\begin{aligned}2+4+\ldots+1024 &= \frac{2(2^{10}-1)}{2-1} \\ &= 2046\end{aligned}

החלק ההנדסי: $2^n$ , עם $a_1=2$

165+2046=2211

משווים בין שני סכומים

מתי הסכום ההנדסי עובר את החשבוני?

בסדרה חשבונית $a_1=10$ , $d=2$ . בסדרה הנדסית $b_1=1$ , $q=2$ . מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו סכום $n$ האיברים הראשונים של ההנדסית גדול מזה של החשבונית?

\begin{aligned}S^{(a)}_n &= \frac{n(20+2(n-1))}{2} \\ &= n(n+9)\end{aligned}

S^{(b)}_n=2^n-1

\begin{aligned}n &= 6: \ 90>63 \qquad n \\ &= 7: \ 112<127\end{aligned}

בודקים מספרים עוקבים

n=7

למה כאן מציבים מספרים ולא פותרים משוואה?

Show the answer and the solution

כי $2^n-1=n(n+9)$ מערבת חזקה ופולינום. אין לה פתרון אלגברי פשוט, ולכן מציבים $n$ עוקבים ובודקים.

שתי טעויות בשילוב סדרות.

\begin{aligned}x \\ y \\ z \ \text{הנדסית}: \ 2y &= x+z\end{aligned}

y^2=xz

התנאי $2y=x+z$ שייך לסדרה חשבונית.

\begin{aligned}c_n &= 3n+2^n: \ c_1 \\ &= 3+1\end{aligned}

\begin{aligned}c_1 &= 3+2 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים $n=1$ בשני החלקים: $2^1=2$ .

Exercises

Exercise 1

המספרים $x+1, x+7, 3x+9$ הם (בסדר הזה) שלושה איברים עוקבים של סדרה חשבונית. מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

2(x+7)=(x+1)+(3x+9)

האמצעי הוא הממוצע

\begin{aligned}2x+14 &= 4x+10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

3, 9, 15

בדיקה: $d=6$ ✓

מי שכתב $(x+7)^2=(x+1)(3x+9)$ השתמש בתנאי של סדרה הנדסית.

Check the answer on elev

Exercise 2

המספרים $2, x, 18$ הם איברים עוקבים של סדרה הנדסית, ו- $x<0$ . מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 &= 2 \cdot 18 \\ &= 36\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \pm 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= -6\end{aligned}

לפי הנתון $x<0$

יש שני פתרונות, $6$ ו- $-6$ . עם $x=-6$ המנה היא $q=-3$ : $2, -6, 18$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בסדרה חשבונית $a_1=2$ ו- $d \neq 0$ . האיברים $a_1, a_3, a_9$ הם (בסדר הזה) איברים עוקבים של סדרה הנדסית. מצאו את $d$ ואת מנת הסדרה ההנדסית $q$ .

$d=$ ____ ; $q=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $d=$ 2 ; $q=$ 3

Worked solution:

\begin{aligned}a_3 &= 2+2d \\ \quad a_9 &= 2+8d\end{aligned}

\begin{aligned}(2+2d)^2 &= 2(2+8d) \ \Rightarrow \ 4d^2-8d \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}d &= 2 \ \Rightarrow \ 2 \\ 6 \\ 18\end{aligned}

$d=0$ נפסל

\begin{aligned}q &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

$d=0$ נותן סדרה קבועה $2, 2, 2$ , שהיא גם חשבונית וגם הנדסית: לכן השאלה פוסלת אותו.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים של הסדרה $c_n=2n+3^{n-1}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3352

Worked solution:

\begin{aligned}2+4+\ldots+16 &= \frac{8(2+16)}{2} \\ &= 72\end{aligned}

החלק החשבוני

\begin{aligned}1+3+\ldots+3^7 &= \frac{3^8-1}{2} \\ &= 3280\end{aligned}

החלק ההנדסי, $a_1=3^0=1$

72+3280=3352

מפרקים לשני סכומים. בחלק ההנדסי $a_1=3^0=1$ , לא $3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

אם $a_n$ היא סדרה חשבונית, אז $b_n=2^{a_n}$ היא סדרה הנדסית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}} \\ &= 2^{a_{n+1}-a_n} \\ &= 2^d\end{aligned}

חוק חילוק חזקות

נכון. המנה $2^d$ קבועה, כי $d$ קבוע. הפרש קבוע במעריך נותן מנה קבועה בחזקה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הסדרה $a_n=3n+1$ , ו- $b_n=2^{a_n}$ . מהי מנת הסדרה $b_n$ ?

$3$
$16$
$2$
$8$

Show the answer and the solution

Answer: D $8$

Worked solution:

d=3

ההפרש של $a_n$

\begin{aligned}q &= 2^3 \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= 2^4 \\ &= 16 \\ \quad b_2 &= 2^7 \\ &= 128\end{aligned}

בדיקה: $\frac{128}{16}=8$ ✓

התשובה: $8$ . $3$ הוא ההפרש של $a_n$ , ו- $16$ הוא האיבר הראשון של $b_n$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הסדרה $1+3+5+\ldots$ חשבונית, והסדרה $1+2+4+\ldots$ הנדסית. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו סכום $n$ האיברים הראשונים של ההנדסית גדול מזה של החשבונית?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}S^{(a)}_n &= \frac{n(2+2(n-1))}{2} \\ &= n^2\end{aligned}

S^{(b)}_n=2^n-1

\begin{aligned}n &= 4: \ 15<16 \qquad n \\ &= 5: \ 31>25\end{aligned}

ב- $n=1$ שני הסכומים שווים ( $1=1$ ), והשאלה מבקשת גדול. אחר כך החשבונית מובילה עד $n=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

לסדרה חשבונית ולסדרה הנדסית אותו איבר ראשון, $4$ . בחשבונית $d=4$ , ובהנדסית $q=2$ . האיבר הרביעי של ההנדסית שווה לאיבר ה- $k$ של החשבונית. מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}b_4 &= 4 \cdot 2^3 \\ &= 32\end{aligned}

\begin{aligned}4+(k-1) \cdot 4 &= 32 \ \Rightarrow \ k \\ &= 8\end{aligned}

שני מקומות שונים, ערך אחד. מי שענה $4$ הניח שהמקום שווה בשתי הסדרות.

Check the answer on elev

Exercise 9

המספרים $x, 6, x+5$ הם איברים עוקבים של סדרה הנדסית, ו- $x>0$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

2 \cdot 6=x+(x+5)

x^2+5x-36=0

x=4

Show the answer and the solution

Answer: $2 \cdot 6=x+(x+5)$ → $6^2=x(x+5)$

Worked solution:

\begin{aligned}6^2 &= x(x+5) \ \Rightarrow \ x^2+5x-36 \\ &= 0\end{aligned}

התנאי של סדרה הנדסית

\begin{aligned}(x+9)(x-4) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}4 \\ 6 \\ 9 \ \Rightarrow \ q &= \frac{3}{2}\end{aligned}

בדיקה ✓

השורה הראשונה כותבת את התנאי של סדרה חשבונית. השורות הבאות כבר נכונות, אבל הן לא נובעות ממנה.

Check the answer on elev

Exercise 10

בסדרה הנדסית $a_1=2$ ו- $q>0$ . אם מוסיפים $4$ לאיבר השני, שלושת האיברים $a_1, a_2+4, a_3$ הם איברים עוקבים של סדרה חשבונית. מצאו את $q$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}a_2 &= 2q \\ \quad a_3 &= 2q^2\end{aligned}

2(2q+4)=2+2q^2

התנאי של סדרה חשבונית

\begin{aligned}q^2-2q-3 &= 0 \ \Rightarrow \ q \\ &= 3 \ (q>0)\end{aligned}

$q=-1$ נפסל

2, 10, 18

בדיקה: $d=8$ ✓

הסדרה ההנדסית היא $2, 6, 18$ . מוסיפים $4$ רק לאיבר האמצעי, ומקבלים חשבונית.

Check the answer on elev

Exercise 11

מיינו כל שלישייה: חשבונית או הנדסית?

חשבונית
הנדסית

$-4, 2, -1$
$2, 6, 10$
$2, 6, 18$
$9, 3, 1$
$9, 5, 1$

Show the answer and the solution

Answer: $2, 6, 10$ — חשבונית · $2, 6, 18$ — הנדסית · $9, 3, 1$ — הנדסית · $9, 5, 1$ — חשבונית · $-4, 2, -1$ — הנדסית

Worked solution:

\begin{aligned}2 \cdot 6 &= 2+10 \\ \quad 6^2 &= 2 \cdot 18\end{aligned}

ממוצע או ריבוע

חשבונית: $2y=x+z$ . הנדסית: $y^2=xz$ . גם $-4, 2, -1$ הנדסית: $2^2=(-4)(-1)=4$ , עם $q=-\frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev

שלושה מספרים עוקבים

סדרה שהיא סכום של שתי סדרות

משווים בין שני סכומים

Exercises

Keep practising on elev