Solving together — word problems · Sequences · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון שאלה 1 של הבגרות: סיפור, ואחריו כמה סעיפים שנשענים זה על זה. פותרים כל שאלה יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה מילולית, לפני כל חישוב: איזו סדרה זו (מוסיפים או כופלים?), ומה מבקשים: איבר, סכום, או מקום $n$ .

1 — חיסכון חודשי: סדרה חשבונית

Interactive activity

דנה חוסכת כסף. בחודש הראשון היא חסכה $200$ ₪, ובכל חודש היא חוסכת $50$ ₪ יותר מבחודש הקודם. א. כמה כסף תחסוך דנה בחודש ה- $12$ ? ב. כמה כסף תחסוך בסך הכול ב- $12$ החודשים הראשונים? ג. אחרי כמה חודשים יהיו לה בסך הכול $9200$ ₪?

\begin{aligned}a_1 &= 200 \\ \quad d &= 50\end{aligned}

לחצו «להתחיל». « $50$ ₪ יותר בכל חודש» פירושו: מוסיפים אותו מספר. זו סדרה חשבונית.

א. איבר

\begin{aligned}a_{12} &= 200+11 \cdot 50 \\ &= 750\end{aligned}

בחודש ה- $12$ היא חוסכת $750$ ₪: איבר, לא סכום.

ב. סכום

\begin{aligned}S_{12} &= \frac{12(200+750)}{2} \\ &= 5700\end{aligned}

את $a_{12}$ כבר מצאנו בסעיף א.

ג. המשוואה

\begin{aligned}S_n &= \frac{n\left[400+50(n-1)\right]}{2} \\ &= 25n^2+175n\end{aligned}

הנעלם עכשיו הוא מספר החודשים $n$ .

ג. פתרון

\begin{aligned}25n^2+175n &= 9200 \ \Rightarrow \ n^2+7n-368 \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב- $25$ .

ג. n

\begin{aligned}n &= \frac{-7 \pm 39}{2} \ \Rightarrow \ n \\ &= 16\end{aligned}

הפתרון השלילי $-23$ נפסל: אחרי $16$ חודשים.

שלוש שאלות, שלושה כלים: $a_n$ בסעיף א, $S_n$ בסעיף ב, ובסעיף ג $S_n$ עם $n$ נעלם.

Do the activity on elev

איך בודקים את התשובה של סעיף ג בלי משוואה?

Show the answer and the solution

מציבים $n=16$ : $a_{16}=200+15 \cdot 50=950$ , ו- $S_{16}=\frac{16(200+950)}{2}=9200$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מכירות שמכפילות את עצמן: סדרה הנדסית

Interactive activity

יריד הספרים

ביריד ספרים מכרו ביום הראשון $5$ ספרים. בכל יום מכרו פי 2 ספרים מאשר ביום הקודם. א. כמה ספרים מכרו ביום השישי? ב. כמה ספרים מכרו בסך הכול בששת הימים הראשונים? ג. באיזה יום מכרו לראשונה יותר מ- $2000$ ספרים?

איזו סדרה מתארת את מספר הספרים בכל יום?

חשבונית, $d=2$

Show the answer and the solution

«פי 2» הוא כפל, לא חיבור של $2$ .

הנדסית, $a_1=5$ , $q=2$

Show the answer and the solution

כל יום כופלים באותו מספר.

\begin{aligned}a_6 &= 5 \cdot 2^5 \\ &= 160\end{aligned}

ביום השישי: $160$ ספרים.

מה מחשבים בסעיף ב?

$a_6$ , כי זה היום האחרון

Show the answer and the solution

$a_6$ הוא רק היום השישי, לא כל הימים.

$S_6$ , סכום ששת האיברים הראשונים

Show the answer and the solution

«בסך הכול» הוא סכום.

\begin{aligned}S_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 315\end{aligned}

בששת הימים: $315$ ספרים.

איך מוצאים את היום בסעיף ג?

פותרים $5 \cdot 2^{n-1}>2000$

Show the answer and the solution

שואלים על יום אחד, ולכן על איבר.

פותרים $5(2^n-1)>2000$

Show the answer and the solution

זה הסכום של כל הימים. השאלה היא על מה שמכרו באותו יום.

2^{n-1}>400 \ \Rightarrow \ n-1>\frac{\log 400}{\log 2} \approx 8.64

מוציאים לוגריתם.

מהו היום?

היום ה- $9$

Show the answer and the solution

כאן $n-1>8.64$ , ולכן $n-1$ הוא לפחות $9$ .

היום ה- $10$

Show the answer and the solution

$n-1=9$ , ולכן $n=10$ .

\begin{aligned}a_9 &= 1280 \\ \quad a_{10} &= 2560\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

Show the answer and the solution

א. $160$ ספרים. ב. $315$ ספרים. ג. ביום ה- $10$ . הטעות של סעיף ג: לבלבל בין «באותו יום» (איבר) ל«בסך הכול» (סכום).

Do the activity on elev

ובאיזה יום הסכום הכולל עבר לראשונה את $2000$ ?

Show the answer and the solution

$5(2^n-1)>2000 \ \Rightarrow \ 2^n>401$ , ולכן $n=9$ : $S_9=2555$ . יום אחד קודם — כי הסכום כולל את כל הימים.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה, ושאלה 5 שואלת על הסכום.

3 — סדרה הנדסית אינסופית

Interactive activity

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת. סכום הסדרה גדול פי $3$ מהאיבר הראשון שלה, ו- $a_2=8$ . א. מצאו את מנת הסדרה. ב. מצאו את $a_1$ ואת סכום הסדרה. ג. חשבו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

\begin{aligned}S &= 3a_1 \\ \quad a_2 &= 8\end{aligned}

לחצו «להתחיל». «פי $3$ מהאיבר הראשון» הוא משוואה עם $a_1$ ו- $q$ .

א. המשוואה

\frac{a_1}{1-q}=3a_1

מחלקים ב- $a_1$ , שאינו $0$ .

א. q

\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$|q|<1$ ✓, והסדרה יורדת.

ב. a₁

\begin{aligned}a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= \frac{8}{\frac{2}{3}} \\ &= 12\end{aligned}

ב. הסכום

\begin{aligned}S &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

לפי הנתון: פי $3$ מ- $a_1$ .

ג. תת-סדרה

\begin{aligned}a_2 \\ \ a_4 \\ \ a_6 \\ \ \ldots: \quad b_1 &= 8 \\ \quad q_b &= q^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

בין שני מקומות זוגיים יש שתי הכפלות.

ג. הסכום

\begin{aligned}\frac{8}{1-\frac{4}{9}} &= \frac{8}{\frac{5}{9}} \\ &= \frac{72}{5} \\ &= 14.4\end{aligned}

האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה הנדסית חדשה: מתחילה ב- $a_2$ , והמנה שלה $q^2$ .

Do the activity on elev

מהו סכום האיברים במקומות האי-זוגיים?

Show the answer and the solution

$36-14.4=21.6$ . או ישר: $\frac{12}{1-\frac{4}{9}}=21.6$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — יחס בין סכומים

Interactive activity

עשרה איברים

בסדרה הנדסית יש $10$ איברים. $a_1=3$ ו- $q=2$ . א. חשבו את סכום חמשת האיברים הראשונים ואת סכום חמשת האיברים האחרונים. ב. מצאו את היחס בין הסכום השני לסכום הראשון. ג. מצאו את היחס בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לסכום האיברים במקומות האי-זוגיים.

איך מחשבים את סכום חמשת האחרונים?

$S_{10}-S_5$

Show the answer and the solution

כל העשרה, פחות חמשת הראשונים.

$2 \cdot S_5$

Show the answer and the solution

הסכומים לא מוכפלים ב- $q$ אלא ב- $q^5$ : כל איבר רחוק חמישה מקומות.

$S_5$ עם $n=10$

Show the answer and the solution

זה כבר $S_{10}$ , סכום כל העשרה.

\begin{aligned}S_5 &= 3 \cdot 31 \\ &= 93 \\ \quad S_{10} &= 3 \cdot 1023 \\ &= 3069 \\ \quad S_{10}-S_5 &= 2976\end{aligned}

מהו היחס?

$q^5=32$

Show the answer and the solution

כל איבר אחרון הוא פי $q^5$ מהאיבר שנמצא חמישה מקומות לפניו.

$q=2$

Show the answer and the solution

זו המנה בין שני איברים שכנים.

$q^{10}=1024$

Show the answer and the solution

הקבוצות רחוקות חמישה מקומות, לא עשרה.

\begin{aligned}\frac{2976}{93} &= 32 \\ &= 2^5\end{aligned}

ומה היחס בין הזוגיים לאי-זוגיים?

$q=2$

Show the answer and the solution

$a_2=q a_1$ , $a_4=q a_3$ ... כל זוגי הוא פי $q$ מהאי-זוגי שלפניו.

$q^2=4$

Show the answer and the solution

$q^2$ היא המנה בתוך תת-הסדרה, לא בין שתי תת-הסדרות.

\begin{aligned}\frac{a_2+a_4+\ldots+a_{10}}{a_1+a_3+\ldots+a_9} &= q \\ &= 2\end{aligned}

$\frac{2046}{1023}=2$ ✓

Show the answer and the solution

א. $93$ ו- $2976$ . ב. $32$ . ג. $2$ . אפשר למצוא יחס בין סכומים בלי לחשב אותם: מוציאים $q^k$ כגורם משותף.

Do the activity on elev

אם היו בסדרה $12$ איברים, מה היה היחס בין סכום ששת האחרונים לסכום ששת הראשונים?

Show the answer and the solution

$q^6=64$ : כל איבר אחרון רחוק שישה מקומות מהאיבר שמולו.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

יוסי מתאמן בריצה. ביום הראשון רץ $2$ ק״מ, ובכל יום רץ $0.5$ ק״מ יותר מאשר ביום הקודם. השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

ביום ה- $10$ רץ ____ ק״מ ; בעשרת הימים הראשונים רץ בסך הכול ____ ק״מ ; הוא ירוץ בסך הכול $65$ ק״מ אחרי ____ ימים

Show the answer and the solution

Answer: ביום ה- $10$ רץ 6.5 ק״מ ; בעשרת הימים הראשונים רץ בסך הכול 42.5 ק״מ ; הוא ירוץ בסך הכול $65$ ק״מ אחרי 13 ימים

Worked solution:

\begin{aligned}a_{10} &= 2+9 \cdot 0.5 \\ &= 6.5\end{aligned}

איבר

\begin{aligned}S_{10} &= \frac{10(2+6.5)}{2} \\ &= 42.5\end{aligned}

סכום

\begin{aligned}\frac{n\left[4+0.5(n-1)\right]}{2} &= 65 \ \Rightarrow \ n^2+7n-260 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}n &= \frac{-7 \pm 33}{2} \ \Rightarrow \ n \\ &= 13\end{aligned}

הפתרון השלילי נפסל

כמו בשאלה 1: סעיף ג שואל על הסכום, והנעלם הוא $n$ . מי שפתר $a_n=65$ חיפש יום שבו רץ $65$ ק״מ ביום אחד.

Check the answer on elev

Exercise 2

לאתר חדש נרשמו ביום הראשון $4$ משתמשים. בכל יום נרשמים פי 2 משתמשים מאשר ביום הקודם. באיזה יום נרשמו לראשונה יותר מ- $1000$ משתמשים באותו יום?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

4 \cdot 2^{n-1}>1000 \ \Rightarrow \ 2^{n-1}>250

איבר: «באותו יום»

n-1>\frac{\log 250}{\log 2} \approx 7.97 \ \Rightarrow \ n=9

\begin{aligned}a_8 &= 512 \\ \quad a_9 &= 1024\end{aligned}

בדיקה ✓

השאלה על יום אחד, ולכן משתמשים באיבר $a_n$ ולא בסכום $S_n$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת. סכום הסדרה גדול פי $4$ מהאיבר הראשון שלה, ו- $a_2=9$ . השלימו (אפשר לכתוב מספר עשרוני).

$q=$ ____ ; $a_1=$ ____ ; סכום הסדרה: ____

Show the answer and the solution

Answer: $q=$ 0.75 ; $a_1=$ 12 ; סכום הסדרה: 48

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 4a_1 \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}a_1 &= \frac{9}{\frac{3}{4}} \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 4 \cdot 12 \\ &= 48\end{aligned}

מי שענה $q=\frac{1}{4}$ מצא את $1-q$ ועצר שלב אחד מוקדם מדי.

Check the answer on elev

Exercise 4

בסדרה הנדסית יש $12$ איברים, ו- $q=2$ . מצאו את היחס בין סכום ששת האיברים האחרונים לסכום ששת האיברים הראשונים.

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

\begin{aligned}a_7 &= q^6 a_1 \\ \ \ldots \\ \ a_{12} &= q^6 a_6\end{aligned}

כל איבר רחוק שישה מקומות מהאיבר שמולו

\begin{aligned}\frac{a_7+\ldots+a_{12}}{a_1+\ldots+a_6} &= q^6 \\ &= 64\end{aligned}

לא צריך את $a_1$ : הוא מצטמצם. מי שענה $2$ לקח את המנה בין שני איברים שכנים.

Check the answer on elev

Exercise 5

ביריד מכרו ביום הראשון $5$ ספרים, ובכל יום פי 2 מאשר ביום הקודם. אחרי כמה ימים עבר לראשונה מספר הספרים הכולל את $2000$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

S_n=5(2^n-1)>2000 \ \Rightarrow \ 2^n>401

סכום: «הכולל»

\begin{aligned}2^8 &= 256 \\ \quad 2^9 &= 512 \ \Rightarrow \ n \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}S_8 &= 1275 \\ \quad S_9 &= 2555\end{aligned}

בדיקה ✓

אותו יריד כמו בשאלה 2 של הלימוד, שאלה אחרת: כאן «בסך הכול», ולכן סכום. התשובה יוצאת יום אחד לפני היום ה- $10$ .

Check the answer on elev

1 — חיסכון חודשי: סדרה חשבונית

2 — מכירות שמכפילות את עצמן: סדרה הנדסית

3 — סדרה הנדסית אינסופית

4 — יחס בין סכומים

Exercises

Keep practising on elev