The dot product in coordinates

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק המכפלה הסקלרית בגישה גאומטרית: u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u}\cdot\underline{v}=|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha. בהצגה אלגברית יש דרך שלא צריכה את הזווית.

u‾⋅v‾=u1v1+u2v2+u3v3\underline{u}\cdot\underline{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3

כופלים רכיב ברכיב, ומחברים

מהי המכפלה הסקלרית AB→⋅AS→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AS}?

Show the answer and the solution

(4, 0, 0)⋅(2, 2, 3)=4⋅2+0⋅2+0⋅3=8(4,\,0,\,0)\cdot(2,\,2,\,3)=4\cdot 2+0\cdot 2+0\cdot 3=8. התוצאה היא מספר, לא וקטור.

מכפלה סקלרית

u‾=(1, 2, −2)\underline{u}=(1,\,2,\,-2), v‾=(3, 0, 4)\underline{v}=(3,\,0,\,4). חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

u‾⋅v‾=1⋅3+2⋅0+(−2)⋅4\underline{u}\cdot\underline{v}=1\cdot 3+2\cdot 0+(-2)\cdot 4
=3+0−8=−5=3+0-8=-5

הזווית בין שני וקטורים

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

מדפי הנוסחאות

מוצאים זווית

מצאו את הזווית בין u‾=(1, 2, −2)\underline{u}=(1,\,2,\,-2) ל-v‾=(3, 0, 4)\underline{v}=(3,\,0,\,4).

u‾⋅v‾=−5\underline{u}\cdot\underline{v}=-5

מהדוגמה הקודמת

∣u‾∣=1+4+4=3∣v‾∣=9+0+16=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{1+4+4} \\ &= 3 \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{9+0+16} \\ &= 5\end{aligned}

שני האורכים

cos⁡α=−53⋅5=−13 ⇒ α≈109.47∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-5}{3\cdot 5} \\ &= -\frac{1}{3} \ \Rightarrow \ \alpha\approx 109.47^\circ\end{aligned}

קוסינוס שלילי: זווית קהה

u‾⋅v‾>0\underline{u}\cdot\underline{v}>0

זווית חדה

u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0

זווית ישרה: מאונכים

u‾⋅v‾<0\underline{u}\cdot\underline{v}<0

זווית קהה

בפירמידה, מהו גודל הזווית SABSAB? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

cos⁡∢SAB=84⋅17≈0.485\cos\sphericalangle SAB=\frac{8}{4\cdot\sqrt{17}}\approx 0.485, ולכן ∢SAB≈60.98∘\sphericalangle SAB\approx 60.98^\circ.

וקטורים מאונכים

u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v} בדיוק כאשר u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0. כדי להוכיח שני קטעים מאונכים, מחשבים את המכפלה ומראים שהיא אפס.

מאונך, עם פרמטר

מצאו את kk, אם (2, k, −1)⊥(3, 1, 4)(2,\,k,\,-1)\perp(3,\,1,\,4).

2⋅3+k⋅1+(−1)⋅4=02\cdot 3+k\cdot 1+(-1)\cdot 4=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

6+k−4=0 ⇒ k=−2\begin{aligned}6+k-4 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -2\end{aligned}

שטח של משולש

שטח משולש ABCABC הוא 12⋅∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅sin⁡∢A\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\sin\sphericalangle A. את הזווית מוצאים במכפלה הסקלרית.

שטח משולש במרחב

מצאו את שטח המשולש שקודקודיו A(1, 0, 0)A(1,\,0,\,0), B(0, 2, 0)B(0,\,2,\,0), C(0, 0, 2)C(0,\,0,\,2).

AB→=(−1, 2, 0)AC→=(−1, 0, 2)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (-1,\,2,\,0) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (-1,\,0,\,2)\end{aligned}

שני וקטורים מ-AA

cos⁡A=15⋅5=15 ⇒ A≈78.46∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ A\approx 78.46^\circ\end{aligned}
S=12⋅5⋅5⋅sin⁡78.46∘≈2.45S=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\sin 78.46^\circ\approx 2.45

זווית של משולש בקודקוד AA: שני הווקטורים יוצאים מ-AA, כמו AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}. וקטור שנכנס ל-AA נותן את הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ.

שלוש טעויות שחוזרות.

u‾⋅v‾=(u1v1, u2v2, u3v3)\underline{u}\cdot\underline{v}=(u_1v_1,\,u_2v_2,\,u_3v_3)
u1v1+u2v2+u3v3u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3

המכפלה הסקלרית היא מספר. אחרי הכפל, מחברים.

cos⁡A=AB→⋅CA→∣AB→∣⋅∣CA→∣\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CA}|}
cos⁡A=AB→⋅AC→∣AB→∣⋅∣AC→∣\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}

CA→\overrightarrow{CA} נכנס ל-AA. כך מקבלים 180∘−A180^\circ-A.

cos⁡α=u‾⋅v‾\cos\alpha=\underline{u}\cdot\underline{v}
cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

לא שוכחים לחלק במכפלת האורכים.

Exercises

Exercise 1

u‾=(3, −2, 1)\underline{u}=(3,\,-2,\,1), v‾=(2, 4, 6)\underline{v}=(2,\,4,\,6). חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

u‾⋅v‾=3⋅2+(−2)⋅4+1⋅6\underline{u}\cdot\underline{v}=3\cdot 2+(-2)\cdot 4+1\cdot 6
=6−8+6=4=6-8+6=4

כופלים רכיב ברכיב ומחברים את שלוש המכפלות. התוצאה היא מספר, לא וקטור.

Check the answer on elev

Exercise 2

הווקטורים u‾=(2, −1, 3)\underline{u}=(2,\,-1,\,3) ו-v‾=(4, 5, −1)\underline{v}=(4,\,5,\,-1) מאונכים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

u‾⋅v‾=2⋅4+(−1)⋅5+3⋅(−1)=8−5−3=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2\cdot 4+(-1)\cdot 5+3\cdot (-1) \\ &= 8-5-3 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה סקלרית אפס פירושה מאונכים. אין צורך בזווית ובאורכים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את kk, אם הווקטורים (k, 2, −3)(k,\,2,\,-3) ו-(4, k, 2)(4,\,k,\,2) מאונכים.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

4k+2k−6=04k+2k-6=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

6k=6 ⇒ k=1\begin{aligned}6k &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

kk מופיע בשני הווקטורים: k⋅4k\cdot 4 וגם 2⋅k2\cdot k. מי שראה רק אחד מהם קיבל k=32k=\frac{3}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 4

u‾=(1, 1, 0)\underline{u}=(1,\,1,\,0), v‾=(0, 1, 1)\underline{v}=(0,\,1,\,1). מצאו את הזווית בין הווקטורים (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

u‾⋅v‾=1∣u‾∣=∣v‾∣=2\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 1 \\ \quad |\underline{u}| &= |\underline{v}| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}
cos⁡α=12⋅2=12 ⇒ α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מחלקים במכפלת שני האורכים: 2⋅2=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2. מי שחילק ב-2\sqrt{2} בלבד קיבל cos⁡α>0.7\cos\alpha>0.7.

Check the answer on elev

Exercise 5

מצאו את הזווית בין u‾=(2, 1, −2)\underline{u}=(2,\,1,\,-2) ל-v‾=(1, −1, 1)\underline{v}=(1,\,-1,\,1). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 101.1

Worked solution:

u‾⋅v‾=2−1−2=−1\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2-1-2 \\ &= -1\end{aligned}
∣u‾∣=3∣v‾∣=3\begin{aligned}|\underline{u}| &= 3 \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{3}\end{aligned}
cos⁡α=−133≈−0.1925 ⇒ α≈101.1∘\cos\alpha=\frac{-1}{3\sqrt{3}}\approx -0.1925 \ \Rightarrow \ \alpha\approx 101.1^\circ

הקוסינוס שלילי, ולכן הזווית קהה. מי שקיבל זווית חדה איבד את הסימן של המכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו סוג הזווית בין u‾=(1, −3, 2)\underline{u}=(1,\,-3,\,2) ל-v‾=(2, 1, −1)\underline{v}=(2,\,1,\,-1)?

  1. אי אפשר לדעת בלי האורכים
  2. קהה
  3. חדה
  4. ישרה
Show the answer and the solution

Answer: B קהה

Worked solution:

u‾⋅v‾=2−3−2=−3<0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2-3-2 \\ &= -3<0\end{aligned}

הסימן של המכפלה הסקלרית קובע את סוג הזווית. האורכים חיוביים תמיד, ולא משנים את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון משולש ABCABC: A(1, 0, 1)A(1,\,0,\,1), B(3, 1, 3)B(3,\,1,\,3), C(2, −2, 3)C(2,\,-2,\,3). מצאו את גודל הזווית BACBAC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 63.61

Worked solution:

AB→=(2, 1, 2)AC→=(1, −2, 2)\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2,\,1,\,2) \\ \quad \overrightarrow{AC} &= (1,\,-2,\,2)\end{aligned}

שניהם יוצאים מ-AA

AB→⋅AC→=2−2+4=4∣AB→∣=∣AC→∣=3\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2-2+4 \\ &= 4 \\ \quad |\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{AC}| \\ &= 3\end{aligned}
cos⁡∢BAC=49 ⇒ ∢BAC≈63.61∘\cos\sphericalangle BAC=\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ \sphericalangle BAC\approx 63.61^\circ

שני הווקטורים יוצאים מ-AA. מי שהשתמש ב-BA→\overrightarrow{BA} קיבל 116.39∘116.39^\circ, את הזווית המשלימה.

Check the answer on elev

Exercise 8

באותו משולש ABCABC, חשבו את השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 4.03

Worked solution:

S=12⋅∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅sin⁡∢AS=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\sin\sphericalangle A
=12⋅3⋅3⋅sin⁡63.61∘≈4.03=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\sin 63.61^\circ\approx 4.03

בנוסחת השטח יש סינוס, לא קוסינוס. מי שכפל ב-49\frac{4}{9} קיבל 22.

Check the answer on elev

Exercise 9

בתיבה שבסרטוט AA בראשית, AB=4AB=4, AD=5AD=5, AA′=3AA'=3. השלימו (את הזווית עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

AC′→⋅AB→=\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}= ____ ; ∢C′AB≈\sphericalangle C'AB\approx ____ מעלות

Show the answer and the solution

Answer: AC′→⋅AB→=\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}= 16 ; ∢C′AB≈\sphericalangle C'AB\approx 55.55 מעלות

Worked solution:

AC′→=(4, 5, 3)AB→=(4, 0, 0)\begin{aligned}\overrightarrow{AC'} &= (4,\,5,\,3) \\ \quad \overrightarrow{AB} &= (4,\,0,\,0)\end{aligned}
AC′→⋅AB→=16\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}=16
cos⁡∢C′AB=1650⋅4 ⇒ ≈55.55∘\cos\sphericalangle C'AB=\frac{16}{\sqrt{50}\cdot 4} \ \Rightarrow \ \approx 55.55^\circ

האורך של AC′→\overrightarrow{AC'} הוא 50\sqrt{50}, האלכסון של התיבה, ולא 55.

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. (מחשבים את ∢A\sphericalangle A במשולש A(0, 0, 0)A(0,\,0,\,0), B(2, 0, 0)B(2,\,0,\,0), C(1, 2, 2)C(1,\,2,\,2).)

AB→=(2, 0, 0)\overrightarrow{AB}=(2,\,0,\,0)
CA→=(−1, −2, −2)\overrightarrow{CA}=(-1,\,-2,\,-2)
cos⁡A=AB→⋅CA→2⋅3=−13\begin{aligned}\cos A &= \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}}{2\cdot 3} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}
A≈109.47∘A\approx 109.47^\circ
Show the answer and the solution

Answer: CA→=(−1, −2, −2)\overrightarrow{CA}=(-1,\,-2,\,-2) → AC→=(1, 2, 2)\overrightarrow{AC}=(1,\,2,\,2)

Worked solution:

AB→⋅AC→=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2
cos⁡A=22⋅3=13 ⇒ A≈70.53∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{2}{2\cdot 3} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ A\approx 70.53^\circ\end{aligned}

לזווית AA צריך שני וקטורים שיוצאים מ-AA. הווקטור CA→\overrightarrow{CA} נכנס ל-AA, ולכן התקבלה הזווית המשלימה: 180∘−70.53∘180^\circ-70.53^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו את המכפלה הסקלרית לסוג הזווית בין שני וקטורים (לא אפס).

  • u‾⋅v‾=7\underline{u}\cdot\underline{v}=7
  • u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0
  • u‾⋅v‾=−7\underline{u}\cdot\underline{v}=-7
  • זווית חדה
  • זווית ישרה
  • זווית קהה
Show the answer and the solution

Answer: u‾⋅v‾=7\underline{u}\cdot\underline{v}=7 — זווית חדה · u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0 — זווית ישרה · u‾⋅v‾=−7\underline{u}\cdot\underline{v}=-7 — זווית קהה

Worked solution:

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha=\frac{\underline{u}\cdot\underline{v}}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}

המכנה חיובי

המכנה, מכפלת האורכים, תמיד חיובי. לכן הסימן של cos⁡α\cos\alpha הוא הסימן של המכפלה הסקלרית.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade