Vectors in solids

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבגרות הווקטורים נמצאים בתוך גוף: תיבה, מנסרה או פירמידה. מתחילים בלמצוא בגוף וקטורים שווים, נגדיים ומקבילים.

תיבה

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' יש שני בסיסים: ABCDABCD למטה, A′B′C′D′A'B'C'D' למעלה. המקצועות הצדדיים AA′AA', BB′BB', CC′CC', DD′DD' מחברים ביניהם.

כל פאה של התיבה היא מלבן, כלומר מקבילית. לכן בכל פאה יש שני זוגות של וקטורים שווים.

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה מקצועות נותנים וקטור שווה ל-AA′→\overrightarrow{AA'}, כולל AA′→\overrightarrow{AA'} עצמו?

Show the answer and the solution

ארבעה: AA′→\overrightarrow{AA'}, BB′→\overrightarrow{BB'}, CC′→\overrightarrow{CC'}, DD′→\overrightarrow{DD'}. כל המקצועות הצדדיים מקבילים, שווים, ועולים לאותו כיוון.

מנסרה

מנסרה: שני בסיסים חופפים ומקבילים, ומקצועות צדדיים שמחברים קודקודים מתאימים.

⊥\perp

מנסרה ישרה: המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיס

∠\angle

מנסרה לא ישרה (משופעת): המקצועות הצדדיים נוטים

ABCA'B'C'
מנסרה משולשת לא ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'. גם כשהיא נוטה, המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים.
AA′→=BB′→=CC′→\begin{aligned}\overrightarrow{AA'} &= \overrightarrow{BB'} \\ &= \overrightarrow{CC'}\end{aligned}

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': איזה וקטור שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}?

Show the answer and the solution

A′B′→\overrightarrow{A'B'}. הבסיס העליון הוא העתקה של הבסיס התחתון, וכל פאה צדדית היא מקבילית.

פירמידה

פירמידה: בסיס (מצולע), וקודקוד אחד מעליו שמחובר לכל קודקודי הבסיס.

SS

פירמידה ישרה: הקודקוד נמצא בדיוק מעל מרכז הבסיס

SS

פירמידה לא ישרה: הקודקוד במקום אחר, למשל מעל אחד מקודקודי הבסיס

ABCS
פירמידה לא ישרה ABCSABCS: המקצוע ASAS עולה ישר למעלה מהקודקוד AA.

בפירמידה SABCDSABCD שהבסיס שלה ריבוע: האם SA→\overrightarrow{SA} ו-SB→\overrightarrow{SB} מקבילים?

Show the answer and the solution

לא. הם יוצאים מאותה נקודה SS לכיוונים שונים. כל המקצועות הצדדיים של פירמידה נפגשים בקודקוד, ולכן אף שניים מהם אינם מקבילים.

וקטורים שווים בגוף באים תמיד ממקבילית: פאה של תיבה, פאה צדדית של מנסרה, או בסיס שהוא מקבילית.

אורך שווה הוא לא וקטור שווה.

SA→=SC→\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}
∣SA→∣=∣SC→∣SA→≠SC→\begin{aligned}|\overrightarrow{SA}| &= |\overrightarrow{SC}| \\ \quad \overrightarrow{SA} \neq \overrightarrow{SC}\end{aligned}

בפירמידה ישרה המקצועות הצדדיים שווים באורכם. אבל הם הולכים לכיוונים שונים.

A′A→=BB′→\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{BB'}
A′A→=−BB′→\overrightarrow{A'A}=-\overrightarrow{BB'}

בתיבה AA′AA' ו-BB′BB' מקבילים, אבל A′A→\overrightarrow{A'A} יורד ו-BB′→\overrightarrow{BB'} עולה.

Exercises

Exercise 1

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': איזה וקטור שווה ל-AD→\overrightarrow{AD}?

  1. C′B′→\overrightarrow{C'B'}
  2. B′C′→\overrightarrow{B'C'}
  3. AD′→\overrightarrow{AD'}
  4. DA→\overrightarrow{DA}
Show the answer and the solution

Answer: B B′C′→\overrightarrow{B'C'}

Worked solution:

AD→=BC→=B′C′→=A′D′→\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{B'C'} \\ &= \overrightarrow{A'D'}\end{aligned}

ארבעה מקצועות מקבילים, באותו כיוון

C′B′→\overrightarrow{C'B'} נגדי: הוא הולך מ-C′C' חזרה אל B′B'. AD′→\overrightarrow{AD'} הוא אלכסון של פאה, לא מקצוע מקביל.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': איזה וקטור נגדי ל-BB′→\overrightarrow{BB'}?

  1. BA→\overrightarrow{BA}
  2. DD′→\overrightarrow{DD'}
  3. B′C′→\overrightarrow{B'C'}
  4. D′D→\overrightarrow{D'D}
Show the answer and the solution

Answer: D D′D→\overrightarrow{D'D}

Worked solution:

BB′→=DD′→\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}

שני מקצועות צדדיים, עולים

D′D→=−DD′→=−BB′→\begin{aligned}\overrightarrow{D'D} &= -\overrightarrow{DD'} \\ &= -\overrightarrow{BB'}\end{aligned}

יורד

DD′→\overrightarrow{DD'} שווה ל-BB′→\overrightarrow{BB'}: גם הוא עולה. הנגדי חייב לרדת.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. מיינו: שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}, או נגדי לו.

  • שווה ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}
  • A′B′→\overrightarrow{A'B'}
  • B′A′→\overrightarrow{B'A'}
  • C′D′→\overrightarrow{C'D'}
  • CD→\overrightarrow{CD}
  • D′C′→\overrightarrow{D'C'}
  • DC→\overrightarrow{DC}
Show the answer and the solution

Answer: DC→\overrightarrow{DC} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · A′B′→\overrightarrow{A'B'} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · D′C′→\overrightarrow{D'C'} — שווה ל-AB→\overrightarrow{AB} · CD→\overrightarrow{CD} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · B′A′→\overrightarrow{B'A'} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB} · C′D′→\overrightarrow{C'D'} — נגדי ל-AB→\overrightarrow{AB}

Worked solution:

AB∥DC∥A′B′∥D′C′AB \parallel DC \parallel A'B' \parallel D'C'

ארבעה מקצועות מקבילים

כל הקטעים באותו אורך ומקבילים. מה שמבדיל הוא מאיפה לאן: מהצלע של AA ו-DD אל הצלע של BB ו-CC, או להפך.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCA'B'C'

במנסרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' לא ישרה: AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

AA′C′CAA'C'C

פאה צדדית של מנסרה היא מקבילית

AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}

צלעות נגדיות במקבילית

גם במנסרה שנוטה, הפאות הצדדיות הן מקביליות. מי שענה «לא נכון» חשב שצריך מקצועות מאונכים.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCS

בפירמידה ABCSABCS: SB→\overrightarrow{SB} מקביל ל-SC→\overrightarrow{SC}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

SB∩SC={S}SB \cap SC=\{S\}

שני המקצועות נפגשים ב-SS

שני ישרים שנפגשים בנקודה אחת אינם מקבילים. לכן אין לפירמידה מקצועות צדדיים מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 6

התאימו כל גוף לתיאור שלו.

  • מנסרה ישרה
  • מנסרה לא ישרה
  • פירמידה
  • תיבה
  • כל המקצועות הצדדיים נפגשים בנקודה אחת
  • מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס
  • מקצועות צדדיים מקבילים, אבל נוטים
  • שש פאות, כולן מלבנים
Show the answer and the solution

Answer: מנסרה ישרה — מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס · מנסרה לא ישרה — מקצועות צדדיים מקבילים, אבל נוטים · פירמידה — כל המקצועות הצדדיים נפגשים בנקודה אחת · תיבה — שש פאות, כולן מלבנים

Worked solution:

AA′∥BB′AA' \parallel BB'

במנסרה המקצועות מקבילים

SA∩SB={S}SA \cap SB=\{S\}

בפירמידה הם נפגשים

ההבדל בין מנסרה לפירמידה: במנסרה המקצועות הצדדיים מקבילים, בפירמידה הם נפגשים.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה מ12 המקצועות נותנים וקטור מקביל ל-AB→\overrightarrow{AB} (שווה או נגדי), כולל ABAB עצמו?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

AB, DC, A′B′, D′C′AB ,\ DC ,\ A'B' ,\ D'C'

קבוצה אחת של מקצועות מקבילים

בתיבה יש שלוש קבוצות של ארבעה מקצועות מקבילים: 4⋅3=124 \cdot 3=12. הכיוון לא משנה למקבילות.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': AB=3AB=3, AD=4AD=4, AA′=12AA'=12. חשבו את ∣AC′→∣|\overrightarrow{AC'}|.

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

∣AC→∣2=32+42=25\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}|^2 &= 3^2+4^2 \\ &= 25\end{aligned}

אלכסון הבסיס

∣AC′→∣2=25+122=169\begin{aligned}|\overrightarrow{AC'}|^2 &= 25+12^2 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש ACC′ACC', הזווית ב-CC ישרה

∣AC′→∣=13|\overrightarrow{AC'}|=13

שני צעדים של פיתגורס: קודם אלכסון הבסיס, אחר כך אלכסון התיבה. 3+4+12=193+4+12=19 הוא לא אורך.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDS

בפירמידה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. איזה שוויון נכון?

  1. AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}
  2. SA→=SC→\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}
  3. AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
  4. SB→=DS→\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{DS}
Show the answer and the solution

Answer: C AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

Worked solution:

AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

הבסיס מקבילית

השוויונות היחידים בפירמידה הם בתוך הבסיס. CB→\overrightarrow{CB} נגדי ל-AD→\overrightarrow{AD}, לא שווה לו.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

AA′→=CC′→\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}
B′C′→=AD→\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{AD}
DD′→=B′B→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{B'B}
Show the answer and the solution

Answer: DD′→=B′B→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{B'B} → DD′→=BB′→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BB'}

Worked solution:

DD′→=BB′→\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BB'}

שניהם עולים

B′B→\overrightarrow{B'B} יורד, ו-DD′→\overrightarrow{DD'} עולה: הם נגדיים, לא שווים.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCDA'B'C'D'

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D': כמה וקטורים בין שני קודקודים של התיבה שווים ל-AC→\overrightarrow{AC}, כולל AC→\overrightarrow{AC} עצמו?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

AC→=A′C′→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}

ACC′A′ACC'A' היא מלבן

BD→≠AC→\overrightarrow{BD}\neq \overrightarrow{AC}

האלכסון השני של הבסיס הולך לכיוון אחר

רק AC→\overrightarrow{AC} ו-A′C′→\overrightarrow{A'C'}. BD→\overrightarrow{BD} הוא אלכסון של אותו בסיס, אבל בכיוון אחר: אורך שווה, וקטור שונה.

Check the answer on elev

Exercise 12

ABCA'B'C'

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C': AB=6AB=6 ו-AA′=8AA'=8. חשבו את ∣AB′→∣|\overrightarrow{AB'}|.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

∣AB′→∣2=62+82|\overrightarrow{AB'}|^2=6^2+8^2

הפאה ABB′A′ABB'A' היא מלבן, כי המנסרה ישרה

∣AB′→∣=10|\overrightarrow{AB'}|=10

במנסרה ישרה הפאה הצדדית היא מלבן, ולכן פיתגורס עובד. במנסרה לא ישרה היא רק מקבילית.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade