The tangent to a circle · Circles and loci · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המשיק למעגל בנקודה $T$ מאונך לרדיוס $CT$ . לכן שיפוע המשיק הוא ההופכי והנגדי של שיפוע הרדיוס.

המשיק ל- $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ בנקודה $T(4, 6)$

\begin{aligned}m_{CT} &= \frac{6 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז $(1, 2)$

m = -\frac{3}{4}

מאונך

\begin{aligned}y - 6 &= -\tfrac{3}{4}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -\tfrac{3}{4}x + 9\end{aligned}

(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) = R^2

נוסחת המשיק בנקודה $(x_1, y_1)$ שעל המעגל

ישר משיק למעגל שמרכזו $C$ ורדיוסו $R$ . מה המרחק מ- $C$ לישר?

Show the answer and the solution

בדיוק $R$ . זה מבחן ההשקה כשנקודת ההשקה לא ידועה.

משיק בשיפוע נתון

מחפשים ישר $y = mx + n$ שמרחקו מהמרכז הוא $R$ . מקבלים שני ערכים של $n$ : שני משיקים מקבילים.

משיק דרך נקודה על המעגל: שיפוע מאונך לרדיוס, לא שיפוע הרדיוס.

m = m_{CT}

m = -\frac{1}{m_{CT}}

הרדיוס מגיע אל נקודת ההשקה; המשיק מאונך לו.

Exercises

Exercise 1

מהי משוואת המשיק ל- $x^2 + y^2 = 25$ בנקודה $(3, 4)$ ?

$4x + 3y = 25$
$3x - 4y = 25$
$y = \tfrac{4}{3}x$
$3x + 4y = 25$

Show the answer and the solution

Answer: D $3x + 4y = 25$

Worked solution:

x \cdot 3 + y \cdot 4 = 25

נוסחת המשיק, מרכז בראשית

$3x + 4y = 25$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

המשיק ל- $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ ב- $(4, 6)$ הוא $y = mx + n$ . מהו $n$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

m = -\tfrac{3}{4}

6 = -3 + n

$n = 9$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

הישר $y = 2x + n$ משיק למעגל $x^2 + y^2 = 5$ , ו- $n > 0$ . מהו $n$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\frac{|n|}{\sqrt 5} = \sqrt 5

מרחק המרכז מהישר שווה לרדיוס

$n = 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הישר $x = 5$ משיק למעגל $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}d &= |5 - 2| \\ &= 3 \\ &= R\end{aligned}

נכון, בנקודה $(5, -1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

מנקודה $P(7, 1)$ מעבירים משיק למעגל $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$ . מה אורך קטע המשיק מ- $P$ עד נקודת ההשקה?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}PC &= 6 \ ; \ PT^2 \\ &= PC^2 - R^2 \\ &= 36 - 20\end{aligned}

פיתגורס: $CT \perp PT$

$4$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

המשיק ל- $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 12$ בנקודה $(5, 7)$ הוא $y = mx + n$ . מהו $m$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -0.75

Worked solution:

\text{מרכז } (2, 3) \ ; \ m_{CT} = \frac{4}{3}

m = -\frac{3}{4}

$m = -0.75$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

בעבור איזה $k > 0$ הישר $3x + 4y = k$ משיק למעגל $x^2 + y^2 = 4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\frac{|k|}{5} = 2

$k = 10$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

איך בודקים אם ישר משיק למעגל, כשנקודת ההשקה לא ידועה?

בודקים שהישר עובר בראשית
משווים את מרחק המרכז מהישר לרדיוס
מציבים את המרכז בישר
משווים את שיפוע הישר לשיפוע הרדיוס

Show the answer and the solution

Answer: B משווים את מרחק המרכז מהישר לרדיוס

Worked solution:

d(C, \ell) = R

מרחק שווה לרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה משיקים למעגל $x^2 + y^2 = 9$ מקבילים לישר $y = x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{|n|}{\sqrt 2} &= 3 \Rightarrow n \\ &= \pm 3\sqrt 2\end{aligned}

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

C(2, 3),\ T(5, 7)

m_{CT} = \tfrac{4}{3}

m_{\text{משיק}} = \tfrac{4}{3}

Show the answer and the solution

Answer: $m_{\text{משיק}} = \tfrac{4}{3}$ → $m_{\text{משיק}} = -\tfrac{3}{4}$

Worked solution:

m_1 \cdot m_2 = -1

המשיק מאונך לרדיוס.

Check the answer on elev

משיק בשיפוע נתון

Exercises

Keep practising on elev