The focal triangle · Ellipse and hyperbola · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

$P$ על האליפסה, ו- $F_1, F_2$ המוקדים: המשולש המוקדי $PF_1F_2$ .

PF_1 + PF_2 + F_1F_2 = 2a + 2c

ההיקף קבוע, לכל $P$

הבסיס $F_1F_2 = 2c$ קבוע, ולכן השטח גדל עם הגובה, $|y_P|$ . הגובה הגדול הוא $b$ , בקדקוד $(0, \pm b)$ .

\begin{aligned}S_{\max} &= \tfrac{1}{2} \cdot 2c \cdot b \\ &= bc\end{aligned}

ב- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : מה ההיקף, ומה השטח הגדול?

Show the answer and the solution

$10 + 8 = 18$ , ו- $3 \cdot 4 = 12$ .

שטח גדול מ- $bc$ לא קיים.

S = 15 \Rightarrow \text{מוצאים את } P

\begin{aligned}S &= 15 > bc \\ &= 12\end{aligned}

קודם בודקים אם השטח אפשרי.

Exercises

Exercise 1

$P$ על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . חשבו את ההיקף של המשולש $PF_1F_2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

2a + 2c = 10 + 8

$18$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $PF_1F_2$ באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

bc = 3 \cdot 4

$12$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

ההיקף של המשולש $PF_1F_2$ אותו דבר לכל נקודה $P$ על האליפסה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2a + 2c

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 4

באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ , $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ . חשבו את שטח המשולש $PF_1F_2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}PF_1 + PF_2 &= 10 \ ; \ PF_1^2 + PF_2^2 \\ &= 64\end{aligned}

\begin{aligned}2 PF_1 \cdot PF_2 &= 100 - 64 \\ &= 36\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2} PF_1 \cdot PF_2 \\ &= 9\end{aligned}

$9 = b^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

$P$ על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ , ו- $PF_1 = 6$ . חשבו את $PF_2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

10 - 6

$4$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

$P(0, 3)$ על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . חשבו את $PF_1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\sqrt{16 + 9}

$5 = a$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ , האם יש נקודה $P$ שבה $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ ?

לא: $c = 3 < b = 4$
כן, בארבע נקודות
כן, ב- $(\pm 5, 0)$
כן, ב- $(0, 4)$

Show the answer and the solution

Answer: A לא: $c = 3 < b = 4$

Worked solution:

\text{מעגל שקוטרו } F_1F_2 : \ x^2 + y^2 = 9

9 < b^2 = 16

המעגל כולו בתוך האליפסה

לא.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את ההיקף של המשולש המוקדי באליפסה $4x^2 + 9y^2 = 36$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.472

Worked solution:

\begin{aligned}a &= 3 \ ; \ c \\ &= \sqrt 5\end{aligned}

6 + 2\sqrt 5

$\approx 10.472$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

$P(3, 2.4)$ על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . חשבו את שטח המשולש $PF_1F_2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9.6

Worked solution:

\tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2.4

$9.6$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ יש נקודה $P$ שבעבורה שטח המשולש $PF_1F_2$ הוא $15$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S \leq bc = 12

לא נכון.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev