A line and an ellipse · Ellipse and hyperbola · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר ואליפסה: כמו בפרבולה, מציבים את הישר ומקבלים משוואה ריבועית. הדיסקרימיננטה אומרת כמה נקודות משותפות יש.

$x^2 + 4y^2 = 8$ והישר $y = \frac{x}{2} + k$

\begin{aligned}x^2 + 4\left(\tfrac{x}{2} + k\right)^2 &= 8 \Rightarrow x^2 + 2kx + 2k^2 - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ומחלקים ב- $2$

\begin{aligned}\Delta &= 4k^2 - 4(2k^2 - 4) \\ &= 16 - 4k^2\end{aligned}

k = \pm 2

משיק

\begin{aligned}k &= 2 : \ (x + 2)^2 \\ &= 0 \Rightarrow (-2,\ 1)\end{aligned}

נקודת ההשקה

|k| < 2

שתי נקודות

|k| = 2

משיק

|k| > 2

אין נקודה משותפת

בכמה נקודות הישר $y = 2$ פוגש את $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ?

Show the answer and the solution

באחת: $(0, 2)$ , הקדקוד. הישר משיק.

אפשר גם לכתוב את המשיק בנקודה $(x_0, y_0)$ שעל האליפסה ישירות: $\frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1$ .

Exercises

Exercise 1

הישר $y = \frac{x}{2}$ חותך את $x^2 + 4y^2 = 8$ בשתי נקודות. מהו שיעור ה- $x$ החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x^2 + x^2 = 8

$2$ ; הנקודה $(2, 1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הישר $y = \frac{x}{2} + k$ , $k > 0$ , משיק ל- $x^2 + 4y^2 = 8$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4k^2 \\ &= 0\end{aligned}

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

באיזו נקודה $y = \frac{x}{2} + 2$ נוגע ב- $x^2 + 4y^2 = 8$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

x^2 + 4x + 4 = 0

$-2$ ; הנקודה $(-2, 1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

בכמה נקודות הישר $y = 3$ פוגש את $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\frac{x^2}{9} = 1 - \frac{9}{4} < 0

$0$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בכמה נקודות הישר $y = 2$ פוגש את $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\frac{x^2}{9} = 0

$1$ : הוא משיק בקדקוד.

Check the answer on elev

Exercise 6

הישר $x = 3$ משיק לאליפסה $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\frac{y^2}{4} = 0

נקודה אחת, $(3, 0)$

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את אורך המיתר שהישר $x = 4$ חותך מ- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3.6

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{y^2}{9} &= \frac{9}{25} \Rightarrow y \\ &= \pm 1.8\end{aligned}

$3.6$ : המיתר דרך המוקד.

Check the answer on elev

Exercise 8

בעבור אילו $k$ הישר $y = x + k$ חותך את $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1$ בשתי נקודות?

$|k| = 3$
$|k| > 3$
$k > 0$
$|k| < 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $|k| < 3$

Worked solution:

9x^2 + 8kx + 4k^2 - 20 = 0

\begin{aligned}\Delta &= 64k^2 - 36(4k^2 - 20) \\ &= 720 - 80k^2\end{aligned}

$|k| < 3$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

המשיק ששיפועו $1$ ל- $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1$ הוא $y = x + k$ , $k > 0$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

720 - 80k^2 = 0

$3$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

המשיק ל- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ בנקודה $(4, 1.8)$ חותך את ציר ה- $y$ . באיזה שיעור $y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\frac{4x}{25} + \frac{1.8y}{9} = 1

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow 0.2y \\ &= 1\end{aligned}

$5$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev