A circle and an ellipse · Ellipse and hyperbola · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מעגל שמרכזו בראשית ואליפסה: מבודדים את $y^2$ מהמעגל, ומציבים באליפסה.

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ והמעגל $x^2 + y^2 = 16$

\begin{aligned}\frac{x^2}{25} + \frac{16 - x^2}{9} &= 1 \Rightarrow 16x^2 \\ &= 175\end{aligned}

\begin{aligned}y^2 &= 16 - \tfrac{175}{16} \\ &= \tfrac{81}{16} \Rightarrow y \\ &= \pm \tfrac{9}{4}\end{aligned}

\left(\pm \tfrac{5\sqrt 7}{4},\ \pm \tfrac{9}{4}\right)

ארבע נקודות

r < b \ \text{או} \ r > a

אין נקודה משותפת

\begin{aligned}r &= b \ \text{או} \ r \\ &= a\end{aligned}

משיקים, בשני קדקודים

b < r < a

ארבע נקודות

בדוגמה $r = 4 = c$ : המעגל עובר במוקדים. מה הזווית $F_1PF_2$ בנקודות החיתוך?

Show the answer and the solution

$90^\circ$ : $F_1F_2$ קוטר של המעגל.

מקום גאומטרי של אמצעים

$Q$ על $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ , ו- $M$ אמצע $OQ$ . אז $Q = (2x, 2y)$ , ו- $\frac{4x^2}{16} + \frac{4y^2}{4} = 1$ : האליפסה $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ .

Exercises

Exercise 1

כמה נקודות משותפות יש ל- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ול- $x^2 + y^2 = 16$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

3 < 4 < 5

$b < r < a$

$4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו שיעור ה- $y$ החיובי של נקודות החיתוך של $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ו- $x^2 + y^2 = 16$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2.25

Worked solution:

y^2 = \tfrac{81}{16}

$2.25$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המעגל $x^2 + y^2 = r^2$ משיק ל- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ב- $(0, \pm 3)$ . מהו $r$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

r = b

$3$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה נקודות משותפות יש ל- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ול- $x^2 + y^2 = 36$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

6 > a = 5

$0$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

המעגל שעובר במוקדים של אליפסה ומרכזו בראשית חותך אותה בנקודות שבהן $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

F_1F_2 \ \text{קוטר}

זווית היקפית

נכון, כשהוא חותך אותה.

Check the answer on elev

Exercise 6

התאימו לכל רדיוס את מספר הנקודות המשותפות של $x^2 + y^2 = r^2$ ו- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ .

$r = 2$
$r = 3$
$r = 4$

אין
ארבע
שתיים

Show the answer and the solution

Answer: $r = 2$ — אין · $r = 3$ — שתיים · $r = 4$ — ארבע

Worked solution:

\begin{aligned}b &= 3 \ ; \ a \\ &= 5\end{aligned}

משווים את $r$ ל- $b$ ול- $a$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

$Q$ על $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ , ו- $M$ אמצע $OQ$ . המקום הגאומטרי של $M$ הוא אליפסה. מהו $a$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\frac{x^2}{4} + y^2 = 1

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה נקודות משותפות יש ל- $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ולמעגל $(x - 4)^2 + y^2 = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}2x^2 - 25x + 75 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5 \\ \ 7.5\end{aligned}

x = 7.5 > a

נפסל

$1$ : הקדקוד $(5, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו המרחק הקטן ביותר בין מוקד של $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ לנקודה על האליפסה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

a - c = 5 - 4

בקדקוד הקרוב

$1$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו המרחק הגדול ביותר בין המוקד $F_2(4, 0)$ לנקודה על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

a + c

בקדקוד הרחוק

$9$ .

Check the answer on elev

מקום גאומטרי של אמצעים

Exercises

Keep practising on elev