Line, circle and hyperbola · Ellipse and hyperbola · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר והיפרבולה: שוב מציבים. אבל יש מקרה מיוחד.

ישר מקביל לאסימפטוטה חותך את ההיפרבולה בנקודה אחת, ואינו משיק.

\begin{aligned}y &= \tfrac{x}{2} + 1 \ ; \ \tfrac{x^2}{4} - y^2 \\ &= 1 : \ \text{נקודה אחת} \Rightarrow \text{משיק}\end{aligned}

\begin{aligned}-x - 1 &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

$x^2$ התבטל: המשוואה ממעלה ראשונה, ואין $\Delta$ .

המשיק ל- $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ ששיפועו $2$

\begin{aligned}3x^2 - (2x + k)^2 &= 3 \Rightarrow x^2 + 4kx + k^2 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y = 2x + k$

\begin{aligned}\Delta &= 16k^2 - 4k^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow k \\ &= \pm 1\end{aligned}

\begin{aligned}k &= 1 : \ (x + 2)^2 \\ &= 0 \Rightarrow (-2,\ -3)\end{aligned}

נקודת ההשקה

האם יש משיק ששיפועו $\frac{1}{4}$ ל- $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ?

Show the answer and the solution

לא. השיפוע של משיק תמיד גדול מהשיפוע של האסימפטוטה, $\frac{1}{2}$ , בערך מוחלט.

מעגל והיפרבולה

מבודדים את $y^2$ מההיפרבולה ומציבים במעגל. המעגל $x^2 + y^2 = c^2$ עובר במוקדים, והוא חותך את ההיפרבולה בנקודות שבהן $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ .

Exercises

Exercise 1

בכמה נקודות הישר $y = \frac{x}{2} + 1$ חותך את $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

-x - 1 = 1

$1$ : $(-2, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הישר $y = \frac{x}{2} + 1$ משיק ל- $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\text{מקביל לאסימפטוטה } y = \tfrac{x}{2}

לא נכון: הוא חוצה את ההיפרבולה.

Check the answer on elev

Exercise 3

הישר $y = 2x + k$ , $k > 0$ , משיק ל- $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta &= 12k^2 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

$1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

באיזו נקודה $y = 2x + 1$ נוגע ב- $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

(x + 2)^2 = 0

$-2$ ; הנקודה $(-2, -3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בכמה נקודות הישר $y = x - 1$ חותך את $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}3x^2 - 8x + 8 &= 0 \ ; \ \Delta \\ &= 64 - 96 < 0\end{aligned}

$0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה נקודות משותפות יש ל- $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ ול- $x^2 + y^2 = 4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y^2 = 3x^2 - 3

4x^2 = 7

$4$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו שיעור ה- $y$ החיובי של נקודות החיתוך של $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ ו- $x^2 + y^2 = 4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

y^2 = 4 - \tfrac{7}{4}

$1.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה משיקים ששיפועם $1$ יש ל- $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \cdot 1 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

y = x \pm \sqrt 3

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

אין משיק ששיפועו $\frac{1}{4}$ ל- $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

k^2 = \tfrac{4}{16} - 1 < 0

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את אורך המיתר שהישר $x = 2$ חותך מ- $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

y^2 = 9

$6$ .

Check the answer on elev

מעגל והיפרבולה

Exercises

Keep practising on elev