Question 7 in exam format

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 7 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x. א. מעבירים משיק לגרף של gg בנקודה שבה x=ex = e. מהו שיפוע המשיק? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.368

Worked solution:

g′(x)=1xg'(x) = \frac{1}{x}
g′(e)=1e≈0.368g'(e) = \frac{1}{e} \approx 0.368

שיפוע המשיק הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. טעות נפוצה: להציב x=ex = e בפונקציה ולקבל 11, שהוא שיעור ה-yy של נקודת ההשקה ולא השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x. א. טענה: המשיק לגרף של gg בנקודה שבה x=ex = e עובר דרך ראשית הצירים. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

y−1=1e(x−e)y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)

נקודת ההשקה (e,1)(e, 1)

y=xe−1+1=xe\begin{aligned}y &= \frac{x}{e} - 1 + 1 \\ &= \frac{x}{e}\end{aligned}

אין איבר חופשי

x=0⇒y=0\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 0\end{aligned}

הטענה נכונה: המשיק הוא y=xey = \frac{x}{e}. זה המשיק היחיד לגרף של ln⁡x\ln x שעובר דרך הראשית, ובסעיפים הבאים נראה מה הוא אומר.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ב. מצאו את תחום ההגדרה של ff.

  1. x>0x > 0
  2. x≠0x \ne 0
  3. כל xx
  4. x>ex > e
Show the answer and the solution

Answer: A x>0x > 0

Worked solution:

ln⁡x: x>0\ln x : \ x > 0

האיבר xe\frac{x}{e} מוגדר לכל xx

תחום ההגדרה הוא x>0x > 0, בגלל ln⁡x\ln x. האיבר xe\frac{x}{e} הוא סתם קו ישר: ee הוא מספר, לא משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ג. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-xx שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

f′(x)=1e−1xf'(x) = \frac{1}{e} - \frac{1}{x}

הנגזרת של xe\frac{x}{e} היא 1e\frac{1}{e}

f′(x)=0⇒x=e\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
0<x<e:f′<0 ; x>e:f′>00 < x < e : f' < 0 \ ; \ x > e : f' > 0

מינימום

מינימום כאשר x=e≈2.718x = e \approx 2.718. מי שגוזר את xe\frac{x}{e} ומקבל 1e2\frac{1}{e^2} מתייחס ל-ee כאילו היה משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ג. לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר x=ex = e. מהו שיעור ה-yy שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f(e)=ee−ln⁡e=1−1=0\begin{aligned}f(e) &= \frac{e}{e} - \ln e \\ &= 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת המינימום היא (e,0)(e, 0): הגרף נוגע בציר ה-xx בנקודה אחת. זו בדיוק נקודת ההשקה של סעיף א.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ד. טענה: לכל x>0x > 0 מתקיים ln⁡x≤xe\ln x \le \frac{x}{e}. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(x)≥f(e)=0f(x) \ge f(e) = 0

המינימום של ff בכל התחום הוא 00

xe−ln⁡x≥0⇒ln⁡x≤xe\frac{x}{e} - \ln x \ge 0 \Rightarrow \ln x \le \frac{x}{e}

הטענה נכונה. כך מוכיחים אי-שוויון בעזרת חקירה: מעבירים הכול לאגף אחד, ומראים שהמינימום של הפונקציה החדשה הוא 00. בגרף: הישר y=xey = \frac{x}{e} נמצא מעל הגרף של ln⁡x\ln x.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ד. עבור אילו ערכים של xx מתקיים השוויון ln⁡x=xe\ln x = \frac{x}{e}?

  1. x=1x = 1 ו-x=ex = e
  2. אין אף ערך
  3. כל x>0x > 0
  4. רק x=ex = e
Show the answer and the solution

Answer: D רק x=ex = e

Worked solution:

f(x)=0f(x) = 0

שוויון קורה רק במינימום

0<x<e:f↘ ; x>e:f↗0 < x < e : f \searrow \ ; \ x > e : f \nearrow

בכל מקום אחר f(x)>0f(x) > 0

רק x=ex = e. בדיקה של x=1x = 1: ln⁡1=0\ln 1 = 0 אבל 1e≠0\frac{1}{e} \ne 0, ולכן אין שם שוויון.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ה. טענה: לגרף של ff יש קעירות כלפי מעלה בכל תחום ההגדרה. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′′(x)=1x2>0f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0

הטענה נכונה. זה מתאים לתמונה: ln⁡x\ln x עם קעירות כלפי מטה, והמשיק שלו מעליו. לכן ההפרש בין המשיק לבין ln⁡x\ln x, כלומר ff, הוא בעל קעירות כלפי מעלה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה f(x)=xe−ln⁡xf(x) = \frac{x}{e} - \ln x. ו. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡x=xe\ln x = \frac{x}{e}?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

ln⁡x=xe  ⟺  f(x)=0\begin{aligned}\ln x &= \frac{x}{e} \iff f(x) \\ &= 0\end{aligned}
f(x)=0  ⟺  x=e\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= e\end{aligned}

סעיף ד

פתרון אחד. משוואה שאי אפשר לפתור בדרך אלגברית נפתרת כאן בעזרת החקירה: מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של ff עם ציר ה-xx.

Check the answer on elev

Exercise 10

xygx = 0

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x. ז. ישר שעובר דרך ראשית הצירים, עם שיפוע mm, חותך את הגרף של gg פעמיים כאשר 0<m<1e0 < m < \frac{1}{e}. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡x=0.2x\ln x = 0.2x?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

0.2<1e≈0.3680.2 < \frac{1}{e} \approx 0.368

השיפוע קטן משיפוע המשיק מהראשית

ln⁡x−0.2x=0: x1≈1.30  x2≈12.71\begin{aligned}\ln x - 0.2x &= 0 : \ x_1 \approx 1.30 \ \\ \ x_2 \approx 12.71\end{aligned}

בדיקה מספרית

שני פתרונות. ישר מהראשית עם שיפוע 1e\frac{1}{e} נוגע בגרף; שיפוע קטן יותר נכנס מתחת לגרף וחותך אותו פעמיים, ושיפוע גדול יותר עובר מעליו ולא פוגש אותו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade