Angles in space

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במרחב יש שלושה סוגים של זוויות: בין שני ישרים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. את שלושתם מחשבים בעזרת וקטורים.

זווית בין שני ישרים

הזווית בין שני ישרים היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם.

אבל זווית בין ישרים היא תמיד חדה (או ישרה). לכן במונה לוקחים ערך מוחלט.

cos⁡α=∣d1‾⋅d2‾∣∣d1‾∣⋅∣d2‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d_1}\cdot\underline{d_2}|}{|\underline{d_1}|\cdot|\underline{d_2}|}

אותה נוסחה כמו זווית בין וקטורים, עם ערך מוחלט במונה

הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) לישר בכיוון (1,0,1)(1, 0, 1)

מכפלה סקלרית, שני אורכים, ואז cos⁡\cos.

d1‾⋅d2‾=1⋅1+1⋅0+0⋅1=1\begin{aligned}\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} &= 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 \\ &= 1\end{aligned}

המכפלה הסקלרית

∣d1‾∣=2∣d2‾∣=2\begin{aligned}|\underline{d_1}| &= \sqrt{2} \\ \quad |\underline{d_2}| &= \sqrt{2}\end{aligned}

האורכים

cos⁡α=∣1∣2⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

ומה עושים אם המכפלה הסקלרית יוצאת שלילית?

Show the answer and the solution

לוקחים ערך מוחלט. בלעדיו היינו מקבלים 120∘120^\circ, אבל בין שני ישרים יש שתי זוויות, 60∘60^\circ ו-120∘120^\circ, והזווית בין הישרים היא החדה.

שני ישרים מאונכים כשהמכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון היא 00. זה נכון גם כשהישרים מצטלבים ולא נפגשים.

זווית בין ישר למישור

הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור.

וקטור הנורמל n‾\underline{n} ניצב למישור. לכן הזווית בין d‾\underline{d} ל-n‾\underline{n} משלימה את α\alpha ל-90∘90^\circ, ובמקום cos⁡\cos מקבלים sin⁡\sin.

sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}

d‾\underline{d} וקטור הכיוון של הישר, n‾\underline{n} הנורמל של המישור

הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) למישור y+z−4=0y + z - 4 = 0

הנורמל נקרא מהמקדמים של המשוואה.

n‾=(0,1,1)\underline{n} = (0, 1, 1)

המקדמים של xx, yy ו-zz

d‾⋅n‾=0+1+0=1\begin{aligned}\underline{d}\cdot\underline{n} &= 0 + 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned}
sin⁡α=12⋅2=12\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

סינוס, לא קוסינוס

α=30∘\alpha = 30^\circ
d‾⋅n‾=0\underline{d}\cdot\underline{n} = 0

הישר מקביל למישור (או מוכל בו): הזווית 0∘0^\circ

d‾=k n‾\underline{d} = k\,\underline{n}

הישר ניצב למישור: הזווית 90∘90^\circ

זווית בין שני מישורים

הזווית בין שני מישורים היא הזווית בין וקטורי הנורמל שלהם. גם היא חדה, ולכן שוב ערך מוחלט.

cos⁡α=∣n1‾⋅n2‾∣∣n1‾∣⋅∣n2‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}

הזווית בין המישורים x+y−1=0x + y - 1 = 0 ו-y+z+2=0y + z + 2 = 0

שני נורמלים, ואותו חישוב כמו בין ישרים.

n1‾=(1,1,0)n2‾=(0,1,1)\begin{aligned}\underline{n_1} &= (1, 1, 0) \\ \quad \underline{n_2} &= (0, 1, 1)\end{aligned}
cos⁡α=∣0+1+0∣2⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ

שני מישורים מאונכים כש-n1‾⋅n2‾=0\underline{n_1}\cdot\underline{n_2} = 0.

שתי טעויות שעולות נקודות בבחינה. הראשונה: זווית בין ישר למישור.

cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣∣n‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}
sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

בין ישר למישור משתמשים בסינוס: n‾\underline{n} ניצב למישור, לא שוכב עליו.

cos⁡α=−12⇒α=120∘\begin{aligned}\cos\alpha &= -\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}
cos⁡α=∣−12∣⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \left|-\frac{1}{2}\right| \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זווית בין ישרים או בין מישורים היא חדה. שוכחים ערך מוחלט, ומקבלים את הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ.

איך זוכרים? ישר וישר, מישור ומישור: cos⁡\cos. ישר ומישור: sin⁡\sin, כי הנורמל «מסובב» את הזווית ב-90∘90^\circ.

Exercises

Exercise 1

מהי הזווית (במעלות) בין ישר בכיוון (1,0,0)(1, 0, 0) לישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0)?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

cos⁡α=∣1∣1⋅2=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|1|}{1\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

המונה הוא המכפלה הסקלרית, והמכנה הוא מכפלת האורכים, לא מכפלת הרכיבים.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי הזווית בין הישרים ℓ1: x‾=(1,0,3)+t(2,−1,2)\ell_1: \ \underline{x} = (1, 0, 3) + t(2, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(0,4,−1)+s(1,2,2)\ell_2: \ \underline{x} = (0, 4, -1) + s(1, 2, 2)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 63.61

Worked solution:

d1‾⋅d2‾=2−2+4=4\begin{aligned}\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} &= 2 - 2 + 4 \\ &= 4\end{aligned}
∣d1‾∣=3∣d2‾∣=3\begin{aligned}|\underline{d_1}| &= 3 \\ \quad |\underline{d_2}| &= 3\end{aligned}
cos⁡α=49⇒α≈63.61∘\cos\alpha = \frac{4}{9} \Rightarrow \alpha \approx 63.61^\circ

הזווית תלויה רק בוקטורי הכיוון. הנקודות (1,0,3)(1, 0, 3) ו-(0,4,−1)(0, 4, -1) לא נכנסות לחישוב.

Check the answer on elev

Exercise 3

וקטורי הכיוון של שני ישרים הם (1,−1,0)(1, -1, 0) ו-(−1,0,1)(-1, 0, 1). מהי הזווית בין הישרים?

  1. 120∘120^\circ
  2. 90∘90^\circ
  3. 60∘60^\circ
  4. 30∘30^\circ
Show the answer and the solution

Answer: C 60∘60^\circ

Worked solution:

d1‾⋅d2‾=−1\underline{d_1}\cdot\underline{d_2} = -1

שלילי

cos⁡α=∣−1∣2⋅2=12⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|-1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

120∘120^\circ היא הזווית בין הווקטורים. בין הישרים לוקחים את הזווית החדה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונים הישרים ℓ1: x‾=(1,0,2)+t(2,1,−1)\ell_1: \ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(2, 1, -1) ו-ℓ2: x‾=(0,3,0)+s(1,−1,1)\ell_2: \ \underline{x} = (0, 3, 0) + s(1, -1, 1). הטענה: הישרים מאונכים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(2,1,−1)⋅(1,−1,1)=2−1−1=0\begin{aligned}(2, 1, -1)\cdot(1, -1, 1) &= 2 - 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

המכפלה הסקלרית של וקטורי הכיוון

ישרים מאונכים לא חייבים להיפגש: גם ישרים מצטלבים יכולים להיות מאונכים.

Check the answer on elev

Exercise 5

וקטורי הכיוון של שני ישרים הם (1,k,2)(1, k, 2) ו-(3,1,−1)(3, 1, -1). לאיזה ערך של kk הישרים מאונכים?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

3+k−2=03 + k - 2 = 0

מכפלה סקלרית שווה לאפס

k=−1k = -1

מאונכים פירושו מכפלה סקלרית אפס, לא וקטורים פרופורציונליים (זה מקבילים).

Check the answer on elev

Exercise 6

מהי הזווית (במעלות) בין הישר ℓ: x‾=t(1,0,1)\ell: \ \underline{x} = t(1, 0, 1) למישור z=0z = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

n‾=(0,0,1)\underline{n} = (0, 0, 1)

הנורמל של המישור z=0z = 0

sin⁡α=∣1∣2⋅1=12⇒α=45∘\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הנורמל של z=0z = 0 הוא (0,0,1)(0, 0, 1): המקדמים של xx ו-yy הם אפס.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהי הזווית בין הישר ℓ: x‾=(0,1,0)+t(1,2,2)\ell: \ \underline{x} = (0, 1, 0) + t(1, 2, 2) למישור 2x−y+2z+5=02x - y + 2z + 5 = 0? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 26.39

Worked solution:

d‾⋅n‾=2−2+4=4\begin{aligned}\underline{d}\cdot\underline{n} &= 2 - 2 + 4 \\ &= 4\end{aligned}
sin⁡α=43⋅3=49\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{4}{3\cdot 3} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}
α≈26.39∘\alpha \approx 26.39^\circ

עם cos⁡\cos היינו מקבלים 63.61∘63.61^\circ, הזווית המשלימה. בין ישר למישור: sin⁡\sin.

Check the answer on elev

Exercise 8

איזו נוסחה נותנת את הזווית α\alpha בין ישר שווקטור הכיוון שלו d‾\underline{d} למישור שהנורמל שלו n‾\underline{n}?

  1. sin⁡α=d‾⋅n‾\sin\alpha = \underline{d}\cdot\underline{n}
  2. cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
  3. tan⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\tan\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
  4. sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}
Show the answer and the solution

Answer: D sin⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|}

Worked solution:

β=90∘−α\beta = 90^\circ - \alpha

β\beta הזווית בין d‾\underline{d} ל-n‾\underline{n}

cos⁡β=sin⁡α\cos\beta = \sin\alpha

הנוסחה עם cos⁡\cos נותנת את הזווית בין הישר לנורמל, לא למישור.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהי הזווית (במעלות) בין המישורים x−z+1=0x - z + 1 = 0 ו-y−z=0y - z = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

n1‾=(1,0,−1)n2‾=(0,1,−1)\begin{aligned}\underline{n_1} &= (1, 0, -1) \\ \quad \underline{n_2} &= (0, 1, -1)\end{aligned}
cos⁡α=∣0+0+1∣2⋅2=12⇒α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

במישור x−z+1=0x - z + 1 = 0 אין yy: הרכיב השני של הנורמל הוא אפס, לא חסר.

Check the answer on elev

Exercise 10

הטענה: המישורים 2x+y−z=32x + y - z = 3 ו-x−y+z=7x - y + z = 7 מאונכים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(2,1,−1)⋅(1,−1,1)=2−1−1=0\begin{aligned}(2, 1, -1)\cdot(1, -1, 1) &= 2 - 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלת הנורמלים

בודקים את הנורמלים. המספרים 33 ו-77 קובעים איפה המישור, לא לאן הוא נוטה.

Check the answer on elev

Exercise 11

הטענה: הישר ℓ: x‾=(0,0,1)+t(1,2,−1)\ell: \ \underline{x} = (0, 0, 1) + t(1, 2, -1) ניצב למישור 2x+4y+z−6=02x + 4y + z - 6 = 0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

n‾=(2,4,1)\underline{n} = (2, 4, 1)
21=42≠1−1\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{1}{-1}

הרכיבים לא באותו יחס

ישר ניצב למישור כשוקטור הכיוון מקביל לנורמל. שני רכיבים באותו יחס לא מספיקים: צריך את שלושתם.

Check the answer on elev

Exercise 12

באיזו פונקציה מחשבים כל זווית?

  • cos⁡\cos
  • sin⁡\sin
  • זווית בין ישר למישור
  • זווית בין ישר למישור z=0z = 0
  • זווית בין ישר לציר zz
  • זווית בין שני ישרים
  • זווית בין שני מישורים
Show the answer and the solution

Answer: זווית בין שני ישרים — cos⁡\cos · זווית בין ישר למישור — sin⁡\sin · זווית בין שני מישורים — cos⁡\cos · זווית בין ישר לציר zz — cos⁡\cos · זווית בין ישר למישור z=0z = 0 — sin⁡\sin

Worked solution:

cos⁡\cos

בין שני ישרים, ובין שני מישורים

sin⁡\sin

בין ישר למישור

ציר zz הוא ישר, ו-z=0z = 0 הוא מישור. השם דומה, החישוב שונה.

Check the answer on elev

Exercise 13

יואב חישב את הזווית בין ישר בכיוון (1,1,0)(1, 1, 0) למישור y+z−4=0y + z - 4 = 0. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

n‾=(0,1,1)\underline{n} = (0, 1, 1)
cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
α=60∘\alpha = 60^\circ
Show the answer and the solution

Answer: cos⁡α=∣d‾⋅n‾∣∣d‾∣⋅∣n‾∣=12\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\cdot|\underline{n}|} = \frac{1}{2} → sin⁡α=12⇒α=30∘\sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ

Worked solution:

sin⁡α=12α=30∘\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{1}{2} \\ \quad \alpha &= 30^\circ\end{aligned}

בין ישר למישור: סינוס

החישוב של המכפלה נכון, הטעות בבחירת cos⁡\cos. השורה השלישית רק ממשיכה את הטעות.

Check the answer on elev

Exercise 14

השלימו.

המישורים kx+y+2z=1kx + y + 2z = 1 ו-x−3y+z=4x - 3y + z = 4 מאונכים כאשר k=k = ____.

Show the answer and the solution

Answer: המישורים kx+y+2z=1kx + y + 2z = 1 ו-x−3y+z=4x - 3y + z = 4 מאונכים כאשר k=k = 1.

Worked solution:

(k,1,2)⋅(1,−3,1)=k−3+2=0\begin{aligned}(k, 1, 2)\cdot(1, -3, 1) &= k - 3 + 2 \\ &= 0\end{aligned}
k=1k = 1

מאונכים: מכפלת הנורמלים אפס.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1, 0, 0) ו-B(0,2,2)B(0, 2, 2). מהי הזווית בין הישר ABAB למישור z=0z = 0? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 41.81

Worked solution:

AB‾=(−1,2,2)∣AB‾∣=3\begin{aligned}\underline{AB} &= (-1, 2, 2) \\ \quad |\underline{AB}| &= 3\end{aligned}

וקטור כיוון לישר

sin⁡α=∣2∣3⋅1=23\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|2|}{3\cdot 1} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

n‾=(0,0,1)\underline{n} = (0, 0, 1)

α≈41.81∘\alpha \approx 41.81^\circ

וקטור הכיוון של הישר ABAB הוא AB‾\underline{AB} עצמו. אין צורך במשוואת הישר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade