Distances in space · Vectors and geometry in space · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מרחק בין שתי נקודות כבר מוכר: זה האורך של הווקטור ביניהן.

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

ביחידה הזאת מוסיפים מרחק של נקודה ממישור, בין שני מישורים מקבילים, ומרחק של נקודה מישר.

מרחק של נקודה ממישור

המרחק של נקודה $P$ ממישור הוא האורך של האנך מ- $P$ אל המישור. זו הדרך הקצרה ביותר.

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

המישור $ax + by + cz + d = 0$ , והנקודה $P(x_0, y_0, z_0)$

המרחק של $P(1, 2, 3)$ מהמישור $2x - y + 2z - 3 = 0$

מציבים את $P$ באגף שמאל, ומחלקים באורך הנורמל.

\begin{aligned}|2\cdot 1 - 2 + 2\cdot 3 - 3| &= |3| \\ &= 3\end{aligned}

הצבה במשוואה

\begin{aligned}\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

האורך של $\underline{n} = (2, -1, 2)$

\begin{aligned}d &= \frac{3}{3} \\ &= 1\end{aligned}

מה יוצא בנוסחה כשהנקודה נמצאת על המישור?

Show the answer and the solution

$0$ . שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור, ולכן המונה מתאפס.

לפני ההצבה, המשוואה חייבת להיות בצורה ששווה לאפס.

\begin{aligned}2x - y + 2z &= 3:\quad d \\ &= \frac{|2 - 2 + 6|}{3} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}d &= \frac{|2 - 2 + 6 - 3|}{3} \\ &= 1\end{aligned}

שכחו את $-3$ . מעבירים קודם את כל האיברים לאגף אחד: $2x - y + 2z - 3 = 0$ .

מרחק בין מישורים מקבילים

למישורים מקבילים יש אותו נורמל, או נורמלים פרופורציונליים. המרחק ביניהם קבוע בכל מקום.

לכן בוחרים נקודה כלשהי על מישור אחד, ומחשבים את המרחק שלה מהמישור השני.

המרחק בין $x + 2y + 2z - 3 = 0$ ל- $x + 2y + 2z + 6 = 0$

נקודה נוחה על המישור הראשון: $y = z = 0$ , ואז $x = 3$ .

A(3, 0, 0)

נקודה על המישור הראשון

\begin{aligned}d &= \frac{|3 + 0 + 0 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

המרחק שלה מהמישור השני

קיצור: כשהנורמלים זהים, המרחק הוא $\frac{|d_1 - d_2|}{|\underline{n}|}$ . אם הם רק פרופורציונליים, קודם כופלים משוואה אחת כדי שיהיו זהים.

עקב האנך: הנקודה הקרובה ביותר

הנקודה במישור הקרובה ביותר ל- $P$ היא עקב האנך $H$ . כדי למצוא אותה, יוצאים מ- $P$ בכיוון הנורמל.

עקב האנך מ- $P(3, 1, 4)$ אל המישור $x + y + z - 2 = 0$

ישר דרך $P$ בכיוון $\underline{n}$ , וחיתוך שלו עם המישור.

\underline{x} = (3, 1, 4) + t(1, 1, 1)

האנך: וקטור הכיוון הוא הנורמל

(3 + t) + (1 + t) + (4 + t) - 2 = 0

מציבים נקודה כללית של הישר במשוואה

\begin{aligned}6 + 3t &= 0 \Rightarrow t \\ &= -2\end{aligned}

\begin{aligned}H &= (3 - 2,\ 1 - 2,\ 4 - 2) \\ &= (1, -1, 2)\end{aligned}

\begin{aligned}|PH| &= |(-2, -2, -2)| \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

בדיוק מה שהנוסחה נותנת: $\frac{6}{\sqrt{3}}$

שיקוף של $P$ במישור: ממשיכים מעבר ל- $H$ עוד אותו מרחק. כלומר $P' = 2H - P$ , וכאן $P' = (-1, -3, 0)$ .

מרחק של נקודה מישר

גם כאן מחפשים עקב אנך $H$ , הפעם על הישר. התנאי: $\underline{PH}$ ניצב לוקטור הכיוון של הישר.

המרחק של $P(3, 1, 2)$ מהישר $\underline{x} = t(1, 1, 0)$

נקודה כללית על הישר, ומכפלה סקלרית שווה לאפס.

\begin{aligned}H &= (t, t, 0) \\ \quad \underline{PH} &= (t - 3,\ t - 1,\ -2)\end{aligned}

\begin{aligned}\underline{PH}\cdot(1, 1, 0) &= 2t - 4 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

ניצבות לוקטור הכיוון

\begin{aligned}H &= (2, 2, 0) \\ \quad \underline{PH} &= (-1, 1, -2)\end{aligned}

\begin{aligned}d &= \sqrt{1 + 1 + 4} \\ &= \sqrt{6}\end{aligned}

Exercises

Exercise 1

מהו המרחק בין הנקודות $A(1, 2, -1)$ ו- $B(3, -4, 2)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\underline{AB} = (2, -6, 3)

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{4 + 36 + 9} \\ &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

$-4 - 2 = -6$ , ו- $(-6)^2 = 36$ : הריבוע של רכיב שלילי חיובי.