Approaching a bagrut question · Vectors and geometry in space · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה, שאלת הווקטורים בנויה כמעט תמיד באחת משתי דרכים: שאלה אלגברית (נקודות עם שיעורים, ישרים ומישורים), או שאלה גאומטרית (גוף, וקטורי בסיס, בלי שיעורים).

לכל אחת יש סדר עבודה קבוע. כאן פותרים שאלה מכל סוג, צעד אחרי צעד.

שאלה אלגברית

Interactive activity

שאלה לדוגמה: מישור, מרחק ואנך

A(3, 0, 0),\ B(0, 6, 0),\ C(0, 0, 3),\ P(4, 3, 2)

לחצו «להתחיל». א. מצאו את משוואת המישור $ABC$ . ב. חשבו את המרחק של $P$ מהמישור. ג. מצאו את נקודת החיתוך $H$ של האנך מ- $P$ עם המישור. ד. חשבו את הזווית בין המישור $ABC$ למישור $xy$ .

א. שני וקטורים במישור

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-3, 6, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (-3, 0, 3)\end{aligned}

שני וקטורים שיושבים במישור ואינם מקבילים.

א. הנורמל

\begin{cases} -3a + 6b = 0 \\ -3a + 3c = 0 \end{cases} \Rightarrow \underline{n} = (2, 1, 2)

הנורמל ניצב לשניהם: המכפלות הסקלריות שוות $0$ . בוחרים $b = 1$ .

א. המשוואה

\begin{aligned}2x + y + 2z + d &= 0 \\ \quad A:\ 6 + d &= 0 \Rightarrow 2x + y + 2z - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים נקודה אחת כדי למצוא את $d$ . בדיקה: $B$ ו- $C$ מקיימות גם הן.

ב. המרחק

\begin{aligned}d &= \frac{|2 \cdot 4 + 3 + 2 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את $P$ במשוואה, בערך מוחלט, ומחלקים באורך הנורמל.

ג. האנך

\underline{x} = (4, 3, 2) + t(2, 1, 2)

האנך יוצא מ- $P$ בכיוון של $\underline{n}$ .

ג. החיתוך

\begin{aligned}2(4 + 2t) + (3 + t) + 2(2 + 2t) - 6 &= 0 \Rightarrow 9 + 9t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1\end{aligned}

מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור.

ג. הנקודה

\begin{aligned}H &= (4, 3, 2) - (2, 1, 2) \\ &= (2, 2, 0)\end{aligned}

בדיקה: $|PH| = |(2, 1, 2)| = 3$ , בדיוק המרחק מסעיף ב.

ד. הזווית

\begin{aligned}\cos\beta &= \frac{|(2, 1, 2) \cdot (0, 0, 1)|}{3 \cdot 1} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow \beta \approx 48.19^\circ\end{aligned}

הזווית בין מישורים היא הזווית בין הנורמלים. הנורמל של מישור $xy$ הוא $(0, 0, 1)$ .

הסדר חוזר כמעט בכל שאלה: שני וקטורים במישור, נורמל, משוואה, ורק אז מרחקים וזוויות.

Do the activity on elev

שאלה גאומטרית

Interactive activity

שאלה לדוגמה: תיבה בלי מערכת צירים

\begin{aligned}|\underline{u}| &= 4 \\ \ |\underline{v}| &= 2 \\ \ |\underline{w}| &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ נתון $\underline{AB} = \underline{u}$ , $\underline{AD} = \underline{v}$ , $\underline{AA'} = \underline{w}$ . $M$ אמצע $B'C'$ . א. הביעו את $\underline{AC'}$ ואת $\underline{AM}$ . ב. חשבו את האורכים. ג. חשבו את הזווית בין $\underline{AC'}$ ל- $\underline{AM}$ .

נתונים

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= \underline{u}\cdot\underline{w} \\ &= \underline{v}\cdot\underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

בתיבה כל המקצועות שיוצאים מקדקוד ניצבים זה לזה.

א. האלכסון

\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

הולכים לאורך המקצועות: $AB$ , אחר כך $BC$ (שווה ל- $AD$ ), ואז למעלה.

א. הנקודה M

\underline{AM} = \underline{u} + \underline{w} + \tfrac{1}{2}\underline{v}

מ- $A$ ל- $B'$ ( $\underline{u} + \underline{w}$ ), ואז חצי מ- $B'C'$ , שהוא $\underline{v}$ .

ב. אורך האלכסון

\begin{aligned}|\underline{AC'}|^2 &= 16 + 4 + 4 \\ &= 24 \Rightarrow |\underline{AC'}| \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

מעלים בריבוע. כל המכפלות המעורבות מתאפסות.

ב. אורך AM

\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= 16 + \tfrac{1}{4} \cdot 4 + 4 \\ &= 21 \Rightarrow |\underline{AM}| \\ &= \sqrt{21}\end{aligned}

שימו לב: $\left(\tfrac{1}{2}\underline{v}\right)^2 = \tfrac{1}{4}|\underline{v}|^2$ .

ג. המכפלה

\begin{aligned}\underline{AC'} \cdot \underline{AM} &= 16 + \tfrac{1}{2} \cdot 4 + 4 \\ &= 22\end{aligned}

מכפילים איבר באיבר. נשארים רק $\underline{u}^2$ , $\underline{v}^2$ ו- $\underline{w}^2$ .

ג. הזווית

\cos\alpha = \frac{22}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{21}} \Rightarrow \alpha \approx 11.49^\circ

הנוסחה של הזווית, עם האורכים מסעיף ב.

בשאלה גאומטרית אין שיעורים: מביעים כל וקטור בעזרת וקטורי הבסיס, ומחשבים עם המכפלות שלהם.

Do the activity on elev

הנוסחאות שחוזרות

\cos\alpha = \frac{|\underline{d_1}\cdot\underline{d_2}|}{|\underline{d_1}|\,|\underline{d_2}|}

זווית בין שני ישרים: וקטורי הכיוון, עם ערך מוחלט (זווית חדה)

\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\,|\underline{n}|}

זווית בין ישר למישור: הכיוון והנורמל, סינוס

\cos\alpha = \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\,|\underline{n_2}|}

זווית בין שני מישורים: שני הנורמלים

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

מרחק של נקודה $(x_0, y_0, z_0)$ ממישור

איך כותבים בבחינה. כותבים כל וקטור שמחשבים, עם השם שלו ( $\underline{AB} = \ldots$ ). אחרי שמוצאים משוואת מישור, מציבים בה את שלוש הנקודות: זו בדיקה של חצי דקה שמצילה סעיף שלם.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

בין ישר למישור הנורמל ניצב למישור, ולכן סינוס, לא קוסינוס.

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\underline{u}\cdot\underline{v} + |\underline{v}|^2

האיבר האמצעי נעלם רק כשהווקטורים ניצבים.

d = \frac{2x_0 + y_0 + 2z_0 - 6}{9}

d = \frac{|2x_0 + y_0 + 2z_0 - 6|}{\sqrt{9}}

מחלקים בשורש, ושמים ערך מוחלט.

Exercises

Exercise 1

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . א. איזה וקטור ניצב למישור $ABC$ ?

$(4, 2, 0)$
$(1, 2, 1)$
$(1, -2, 1)$
$(2, 1, 2)$

Show the answer and the solution

Answer: B $(1, 2, 1)$

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-4, 2, 0) \\ \ \underline{AC} &= (-4, 0, 4)\end{aligned}

\begin{aligned}-4a + 2b &= 0 \\ \ -4a + 4c &= 0 \Rightarrow (1, 2, 1)\end{aligned}

בוחרים $a = 1$

בודקים ששתי המכפלות הסקלריות מתאפסות: $(2, 1, 2)$ ניצב ל- $\underline{AC}$ אבל לא ל- $\underline{AB}$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ב. מהי משוואת המישור $ABC$ ?

$4x + 2y + 4z - 16 = 0$
$x + 2y + z + 4 = 0$
$x + 2y + z - 4 = 0$
$x + 2y + z = 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $x + 2y + z - 4 = 0$

Worked solution:

\begin{aligned}x + 2y + z + d &= 0 \\ \ A:\ 4 + d &= 0\end{aligned}

d = -4

בדיקה: $B$ נותנת $4 - 4 = 0$

הסימן של $d$ : מציבים ומעבירים אגף, לא מנחשים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ג. הנקודה $(2, 1, 0)$ נמצאת במישור $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2 + 2 \cdot 1 + 0 - 4 = 0

מציבים במשוואה

נקודה במישור מאפסת את המשוואה. אין צורך לצייר.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ד. מהו המרחק של $P$ מהמישור $ABC$ ? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 2.45

Worked solution:

\begin{aligned}d &= \frac{|2 + 6 + 2 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{6}} \\ &= \sqrt{6}\end{aligned}

\sqrt{6} \approx 2.45

הערך המוחלט במונה, והשורש במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ה. מהי הצגה פרמטרית של האנך מ- $P$ למישור?

$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(4, 0, 0)$
$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$
$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(-4, 2, 0)$
$\underline{x} = (1, 2, 1) + t(2, 3, 2)$

Show the answer and the solution

Answer: B $\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$

Worked solution:

\underline{x} = P + t\underline{n}

האנך יוצא מ- $P$ בכיוון הנורמל

הנקודה היא $P$ והכיוון הוא $\underline{n}$ , לא להפך.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ו. מציבים את האנך $\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$ במשוואת המישור. איזה ערך של $t$ מתקבל?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

(2 + t) + 2(3 + 2t) + (2 + t) - 4 = 0

\begin{aligned}6 + 6t &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1\end{aligned}

$t$ שלילי: הולכים מ- $P$ נגד הנורמל כדי להגיע למישור.

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו.

האנך מ- $P(2, 3, 2)$ פוגע במישור $x + 2y + z - 4 = 0$ בנקודה $H$ ששיעוריה (____, ____, ____).

Show the answer and the solution

Answer: האנך מ- $P(2, 3, 2)$ פוגע במישור $x + 2y + z - 4 = 0$ בנקודה $H$ ששיעוריה (1, 1, 1).

Worked solution:

\begin{aligned}H &= (2, 3, 2) + (-1)(1, 2, 1) \\ &= (1, 1, 1)\end{aligned}

מציבים $t = -1$

בדיקה: $1 + 2 + 1 - 4 = 0$ , ו- $|PH| = \sqrt{6}$ כמו המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ח. $P'$ היא השיקוף של $P$ במישור $ABC$ . מהו שיעור ה- $y$ של $P'$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}P' &= P + 2(H - P) \\ &= (2, 3, 2) + 2(-1, -2, -1)\end{aligned}

$H$ הוא אמצע הקטע $PP'$

P' = (0, -1, 0)

ממשיכים מ- $H$ אותו מרחק, לצד השני: $t = -2$ , לא $t = -1$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ט. מהי הזווית בין המישור $ABC$ למישור $xy$ , במעלות? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 65.91

Worked solution:

\begin{aligned}\cos\beta &= \frac{|(1, 2, 1)\cdot(0, 0, 1)|}{\sqrt{6} \cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}}\end{aligned}

\beta \approx 65.91^\circ

בין מישורים: קוסינוס של הנורמלים.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . י. מהו המרחק של ראשית הצירים מהמישור $ABC$ ? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 1.63

Worked solution:

\begin{aligned}d &= \frac{|0 + 0 + 0 - 4|}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.63\end{aligned}

מציבים $(0, 0, 0)$ : נשאר רק $|d|$ של המשוואה.

Check the answer on elev

Exercise 11

סדרו את שלבי החישוב של נקודת החיתוך של האנך מנקודה $P$ עם מישור.

כותבים את האנך: $P + t\underline{n}$
מוצאים וקטור נורמל למישור
מציבים את $t$ בישר ומקבלים את הנקודה
מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור
פותרים ומוצאים את $t$

Show the answer and the solution

Answer: מוצאים וקטור נורמל למישור · כותבים את האנך: $P + t\underline{n}$ · מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור · פותרים ומוצאים את $t$ · מציבים את $t$ בישר ומקבלים את הנקודה

Worked solution:

P + t\underline{n} \to t \to H

בלי נורמל אין כיוון לאנך: זה תמיד הצעד הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 12

נועם מצא את משוואת המישור דרך $A(4, 0, 0)$ עם הנורמל $(1, 2, 1)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x + 2y + z + d = 0

4 + 0 + 0 + d = 0

d = 4

x + 2y + z + 4 = 0

Show the answer and the solution

Answer: $d = 4$ → $d = -4$

Worked solution:

\begin{aligned}4 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -4\end{aligned}

מעבירים את $4$ לאגף השני, והסימן מתהפך. שורה 4 רק ממשיכה את הטעות.

Check the answer on elev

שאלה אלגברית

שאלה גאומטרית

הנוסחאות שחוזרות

Exercises

Keep practising on elev