Collinearity, combinations and basis

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני וקטורים הם קולינאריים, כלומר מקבילים, כשאחד מהם הוא כפולה של השני: u‾=kv‾\underline{u} = k\underline{v}.

בודקים כך: מחלקים רכיב ברכיב. אם יוצא אותו מספר בכל הרכיבים, הווקטורים מקבילים.

האם (2,−6)(2, -6) ו-(−1,3)(-1, 3) מקבילים?

מחפשים מספר kk אחד שמתאים לשני הרכיבים.

2−1=−2−63=−2\begin{aligned}\frac{2}{-1} &= -2 \\ \quad \frac{-6}{3} &= -2\end{aligned}

אותו יחס בשני הרכיבים

(2,−6)=−2⋅(−1,3)(2, -6) = -2 \cdot (-1, 3)

מקבילים, בכיוון הפוך כי k<0k < 0

האם הנקודות A(1,1)A(1, 1), B(3,2)B(3, 2) ו-C(7,4)C(7, 4) נמצאות על ישר אחד?

Show the answer and the solution

כן. AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1) ו-AC‾=(6,3)=3AB‾\underline{AC} = (6, 3) = 3\underline{AB}. שני וקטורים מקבילים עם נקודה משותפת AA: שלוש הנקודות על ישר אחד.

צירוף ליניארי ובסיס

צירוף ליניארי של u‾\underline{u} ושל v‾\underline{v} הוא וקטור מהצורה αu‾+βv‾\alpha\underline{u} + \beta\underline{v}. כאן α\alpha ו-β\beta הם מספרים.

כששני הווקטורים לא מקבילים, מגיעים בעזרתם לכל נקודה במישור, ובדרך אחת בלבד. זוג כזה נקרא בסיס.

מבטאים את w‾=(1,3)\underline{w} = (1, 3) בעזרת u‾=(1,1)\underline{u} = (1, 1) ו-v‾=(1,−1)\underline{v} = (1, -1)

כותבים w‾=αu‾+βv‾\underline{w} = \alpha\underline{u} + \beta\underline{v} ומשווים רכיבים.

(1,3)=(α+β, α−β)(1, 3) = (\alpha + \beta,\ \alpha - \beta)
α+β=1α−β=3\begin{aligned}\alpha + \beta &= 1 \\ \quad \alpha - \beta &= 3\end{aligned}

מערכת של שתי משוואות

α=2β=−1\begin{aligned}\alpha &= 2 \\ \quad \beta &= -1\end{aligned}

מחברים את המשוואות: 2α=42\alpha = 4

w‾=2u‾−v‾\underline{w} = 2\underline{u} - \underline{v}

ואם u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} מקבילים, מגיעים בעזרתם לכל נקודה?

Show the answer and the solution

לא. כל הצירופים שלהם נשארים על ישר אחד, בכיוון של u‾\underline{u}. בשביל בסיס צריך שני כיוונים שונים.

וקטורים בתוך צורה

בבחינה הצורה מופיעה לרוב בלי מערכת צירים. בוחרים שני וקטורים כבסיס, ומבטאים בעזרתם את כל השאר.

מבטאים את AM‾\underline{AM} בעזרת u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}

הולכים מ-AA אל MM בדרך שמכירים: דרך BB.

AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM}

כלל המשולש

BM‾=12BC‾=12AD‾=12v‾\begin{aligned}\underline{BM} &= \frac{1}{2}\underline{BC} \\ &= \frac{1}{2}\underline{AD} \\ &= \frac{1}{2}\underline{v}\end{aligned}

צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים

AM‾=u‾+12v‾\underline{AM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
M=A+B2=(xA+xB2, yA+yB2)\begin{aligned}M &= \frac{A + B}{2} \\ &= \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)\end{aligned}

האמצע של ABAB הוא הממוצע של השיעורים

נקודה PP על הקטע ABAB, כך ש-AP:PB=m:nAP : PB = m : n, מקיימת AP‾=mm+nAB‾\underline{AP} = \frac{m}{m + n}\underline{AB}.

שתי טעויות שחוזרות בהבעה.

BM‾=12u‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{u}
BM‾=12v‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{v}

הצלע BCBC מקבילה ל-ADAD, לא ל-ABAB. צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים.

AP:PB=1:2⇒AP‾=12AB‾\begin{aligned}AP : PB &= 1 : 2 \Rightarrow \underline{AP} \\ &= \frac{1}{2}\underline{AB}\end{aligned}
AP‾=13AB‾\underline{AP} = \frac{1}{3}\underline{AB}

היחס 1:21 : 2 מחלק את הקטע ל-שלושה חלקים שווים.

Exercises

Exercise 1

הטענה: הווקטורים (3,−6)(3, -6) ו-(−1,2)(-1, 2) מקבילים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

3−1=−3−62=−3\begin{aligned}\frac{3}{-1} &= -3 \\ \quad \frac{-6}{2} &= -3\end{aligned}
(3,−6)=−3⋅(−1,2)(3, -6) = -3 \cdot (-1, 2)

הם מקבילים בכיוון הפוך: kk שלילי. גם זה נחשב מקביל.

Check the answer on elev

Exercise 2

הטענה: הווקטורים (2,3)(2, 3) ו-(4,5)(4, 5) מקבילים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

42=253≠2\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{5}{3} \ne 2\end{aligned}

היחס לא אותו מספר

הרכיב הראשון הוכפל ב-22, אבל השני לא. לא מספיק שהרכיבים «גדלים».

Check the answer on elev

Exercise 3

לאיזה ערך של kk הווקטור (k,6)(k, 6) מקביל לווקטור (2,3)(2, 3)?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

63=2\frac{6}{3} = 2

היחס ברכיב השני

k=2⋅2=4\begin{aligned}k &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

אותו יחס ברכיב הראשון

מוצאים את היחס מהרכיב הידוע, ורק אז את kk.

Check the answer on elev

Exercise 4

הנקודות A(0,1)A(0, 1) ו-B(2,2)B(2, 2) נתונות. איזו נקודה CC נמצאת על הישר ABAB?

  1. (6,5)(6, 5)
  2. (4,4)(4, 4)
  3. (6,4)(6, 4)
  4. (3,2)(3, 2)
Show the answer and the solution

Answer: C (6,4)(6, 4)

Worked solution:

AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1)
C(6,4): AC‾=(6,3)=3AB‾\begin{aligned}C(6, 4):\ \underline{AC} &= (6, 3) \\ &= 3\underline{AB}\end{aligned}

מקבילים, ויש נקודה משותפת

בודקים את AC‾\underline{AC}, לא את CC עצמה: (6,4)(6, 4) אינו כפולה של (2,2)(2, 2), אבל (6,3)(6, 3) כן כפולה של (2,1)(2, 1).

Check the answer on elev

Exercise 5

השלימו.

האמצע של הקטע שבין A(2,−3)A(2, -3) ל-B(6,7)B(6, 7) הוא הנקודה MM. שיעור ה-xx שלה ____, ושיעור ה-yy שלה ____.

Show the answer and the solution

Answer: האמצע של הקטע שבין A(2,−3)A(2, -3) ל-B(6,7)B(6, 7) הוא הנקודה MM. שיעור ה-xx שלה 4, ושיעור ה-yy שלה 2.

Worked solution:

M=(2+62, −3+72)=(4,2)\begin{aligned}M &= \left(\frac{2 + 6}{2},\ \frac{-3 + 7}{2}\right) \\ &= (4, 2)\end{aligned}

ממוצע: מחברים ומחלקים ב-22. מחיסור יוצא חצי מהווקטור, לא האמצע.

Check the answer on elev

Exercise 6

השלימו.

כותבים (4,2)=α(1,1)+β(1,−1)(4, 2) = \alpha(1, 1) + \beta(1, -1). אז α\alpha = ____, ו-β\beta = ____.

Show the answer and the solution

Answer: כותבים (4,2)=α(1,1)+β(1,−1)(4, 2) = \alpha(1, 1) + \beta(1, -1). אז α\alpha = 3, ו-β\beta = 1.

Worked solution:

α+β=4α−β=2\begin{aligned}\alpha + \beta &= 4 \\ \quad \alpha - \beta &= 2\end{aligned}

משווים רכיבים

α=3β=1\begin{aligned}\alpha &= 3 \\ \quad \beta &= 1\end{aligned}

משווים רכיב xx לרכיב xx ורכיב yy לרכיב yy: יוצאת מערכת של שתי משוואות.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה PP על הקטע שבין A(1,2)A(1, 2) ל-B(7,11)B(7, 11), ו-AP:PB=1:2AP : PB = 1 : 2. מהו שיעור ה-yy של PP?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

AB‾=(6,9)\underline{AB} = (6, 9)
AP‾=13AB‾=(2,3)\begin{aligned}\underline{AP} &= \frac{1}{3}\underline{AB} \\ &= (2, 3)\end{aligned}

שלושה חלקים, לוקחים אחד

P=A+AP‾=(3,5)\begin{aligned}P &= A + \underline{AP} \\ &= (3, 5)\end{aligned}

1:21 : 2 זה שליש מהדרך מ-AA, לא חצי.

Check the answer on elev

Exercise 8

במקבילית ABCDABCD נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}. איזה וקטור הוא AC‾\underline{AC}?

  1. v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}
  2. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  3. 12(u‾+v‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})
  4. u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}
Show the answer and the solution

Answer: B u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}

Worked solution:

AC‾=AB‾+BC‾=u‾+v‾\begin{aligned}\underline{AC} &= \underline{AB} + \underline{BC} \\ &= \underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

BC‾=AD‾\underline{BC} = \underline{AD}

האלכסון שיוצא מ-AA הוא הסכום (כלל המקבילית). חצי מהסכום מגיע רק עד אמצע האלכסון.

Check the answer on elev

Exercise 9

באותה מקבילית (AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}), איזה וקטור הוא BD‾\underline{BD}?

  1. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  2. u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}
  3. v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}
  4. −u‾−v‾-\underline{u} - \underline{v}
Show the answer and the solution

Answer: C v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}

Worked solution:

BD‾=BA‾+AD‾=−u‾+v‾\begin{aligned}\underline{BD} &= \underline{BA} + \underline{AD} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

חוזרים מ-BB אל AA, ואז אל DD

u‾−v‾\underline{u} - \underline{v} הוא DB‾\underline{DB}: האלכסון באותו קו, אבל בכיוון ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 10

במקבילית ABCDABCD (AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}), הנקודה NN היא אמצע CDCD. איזה וקטור הוא AN‾\underline{AN}?

  1. 12(u‾+v‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})
  2. u‾+12v‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  3. v‾−12u‾\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{u}
  4. v‾+12u‾\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}
Show the answer and the solution

Answer: D v‾+12u‾\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}

Worked solution:

AN‾=AD‾+DN‾\underline{AN} = \underline{AD} + \underline{DN}

דרך DD

DN‾=12DC‾=12u‾\begin{aligned}\underline{DN} &= \frac{1}{2}\underline{DC} \\ &= \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

DC‾=AB‾\underline{DC} = \underline{AB}

הצלע DCDC שווה ל-ABAB, ולכן חצי ממנה הוא 12u‾\frac{1}{2}\underline{u} ולא 12v‾\frac{1}{2}\underline{v}.

Check the answer on elev

Exercise 11

במשולש ABCABC נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AC‾=v‾\underline{AC} = \underline{v}. הנקודה MM היא אמצע BCBC. איזה וקטור הוא AM‾\underline{AM}?

  1. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  2. 12v‾−12u‾\frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{u}
  3. u‾+12v‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  4. 12u‾+12v‾\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
Show the answer and the solution

Answer: D 12u‾+12v‾\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

Worked solution:

AM‾=AB‾+12BC‾\underline{AM} = \underline{AB} + \frac{1}{2}\underline{BC}
=u‾+12(v‾−u‾)=12u‾+12v‾= \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u}) = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}

במשולש BC‾\underline{BC} הוא v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}, לא v‾\underline{v}: אין כאן מקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 12

במשולש ABCABC נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AC‾=v‾\underline{AC} = \underline{v}, ו-MM אמצע BCBC. סדרו את שלבי ההבעה של AM‾\underline{AM}, מהראשון לאחרון.

  • AM‾=12u‾+12v‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  • AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM}
  • BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  • BM‾=12BC‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{BC}
Show the answer and the solution

Answer: AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM} · BM‾=12BC‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{BC} · BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u} · AM‾=12u‾+12v‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

Worked solution:

AM‾=u‾+12(v‾−u‾)\underline{AM} = \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u})

מציבים ומכנסים

קודם בוחרים דרך (כלל המשולש), ורק אז מבטאים כל חלק שלה בעזרת הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 13

במקבילית ABCDABCD, הנקודה MM היא אמצע ABAB והנקודה NN היא אמצע DCDC. הוכיחו בעזרת וקטורים: AMCNAMCN מקבילית.

  • ABCDABCD מקבילית
  • MM אמצע ABAB
  • NN אמצע DCDC

AMCNAMCN מקבילית

Show the answer and the solution
  1. AM‾=12AB‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{AB} — MM אמצע ABAB
  2. NC‾=12DC‾\underline{NC} = \frac{1}{2}\underline{DC} — NN אמצע DCDC
  3. DC‾=AB‾\underline{DC} = \underline{AB} — צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים
  4. AM‾=NC‾\underline{AM} = \underline{NC} — מציבים את השוויון השלישי בשני
  5. AMCNAMCN מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות
Check the answer on elev

Exercise 14

מיינו את זוגות הווקטורים.

  • מקבילים
  • לא מקבילים
  • (0,3)(0, 3) ו-(0,−5)(0, -5)
  • (1,2)(1, 2) ו-(2,1)(2, 1)
  • (1,2)(1, 2) ו-(3,6)(3, 6)
  • (2,−1)(2, -1) ו-(−4,2)(-4, 2)
  • (3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3)
Show the answer and the solution

Answer: (1,2)(1, 2) ו-(3,6)(3, 6) — מקבילים · (2,−1)(2, -1) ו-(−4,2)(-4, 2) — מקבילים · (1,2)(1, 2) ו-(2,1)(2, 1) — לא מקבילים · (0,3)(0, 3) ו-(0,−5)(0, -5) — מקבילים · (3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3) — לא מקבילים

Worked solution:

(0,3)=−35(0,−5)(0, 3) = -\frac{3}{5}(0, -5)

גם עם רכיב אפס זה עובד

(3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3) נראים דומים, אבל היחס לא קבוע: 43≠34\frac{4}{3} \ne \frac{3}{4}.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade