The line in space

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ישר במרחב נקבע על ידי נקודה אחת וכיוון אחד.

מתחילים בנקודה AA, והולכים בכיוון של וקטור הכיוון d‾\underline{d}. כל נקודה שמגיעים אליה, קדימה או אחורה, נמצאת על הישר.

ℓ: x‾=A+td‾\ell:\ \underline{x} = A + t\underline{d}

tt הוא הפרמטר. כל מספר ממשי tt נותן נקודה אחת על הישר

איזו נקודה מתקבלת כש-t=0t = 0?

Show the answer and the solution

הנקודה PP עצמה. t=0t = 0 פירושו אפס צעדים: נשארים בנקודת ההתחלה.

נקודות על הישר ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1)

מציבים ערך של tt ומחשבים רכיב אחרי רכיב.

t=1:(1+1, 0+2, 2−1)=(2,2,1)\begin{aligned}t &= 1:\quad (1 + 1,\ 0 + 2,\ 2 - 1) \\ &= (2, 2, 1)\end{aligned}

צעד אחד קדימה

t=−1:(1−1, 0−2, 2+1)=(0,−2,3)\begin{aligned}t &= -1:\quad (1 - 1,\ 0 - 2,\ 2 + 1) \\ &= (0, -2, 3)\end{aligned}

צעד אחד אחורה

ישר דרך שתי נקודות

כדי לכתוב ישר צריך נקודה וכיוון. דרך שתי נקודות AA ו-BB: הנקודה היא AA, והכיוון הוא AB‾=B−A\underline{AB} = B - A.

הישר דרך A(2,−1,3)A(2, -1, 3) ו-B(4,0,1)B(4, 0, 1)

קודם וקטור הכיוון, אחר כך ההצגה.

AB‾=(4−2, 0−(−1), 1−3)=(2,1,−2)\begin{aligned}\underline{AB} &= (4 - 2,\ 0 - (-1),\ 1 - 3) \\ &= (2, 1, -2)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

ℓ: x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\ell:\ \underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2)

נקודה ועוד tt פעמים הכיוון

האם x‾=(4,0,1)+s(−2,−1,2)\underline{x} = (4, 0, 1) + s(-2, -1, 2) הוא אותו ישר?

Show the answer and the solution

כן. זו נקודה אחרת של הישר (BB), וכיוון נגדי. לאותו ישר יש הרבה הצגות פרמטריות.

האם נקודה PP נמצאת על הישר? משווים את ההצגה ל-PP, רכיב אחרי רכיב, ומחפשים tt אחד שמתאים לשלוש המשוואות.

האם P(6,1,−1)P(6, 1, -1) על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2)?

שלוש משוואות, נעלם אחד.

2+2t=6  ⇒  t=2\begin{aligned}2 + 2t &= 6 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב xx

−1+t=1  ⇒  t=2\begin{aligned}-1 + t &= 1 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב yy

3−2t=−1  ⇒  t=2\begin{aligned}3 - 2t &= -1 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

רכיב zz: אותו tt, ולכן PP על הישר

שני ישרים במרחב

במישור, שני ישרים נחתכים או מקבילים. במרחב יש אפשרות שלישית: ישרים מצטלבים. הם לא נפגשים, וגם לא מקבילים.

d‾1=kd‾2  ?\underline{d}_1 = k\underline{d}_2 \;?

שאלה 1: הכיוונים פרופורציונליים? אם כן, הישרים מתלכדים או מקבילים. בודקים אם נקודה של ישר אחד נמצאת על השני

A+td‾1=B+sd‾2A + t\underline{d}_1 = B + s\underline{d}_2

שאלה 2: אם לא, פותרים את המערכת. יש פתרון: נחתכים. אין פתרון: מצטלבים

נקודת החיתוך של ℓ1: x‾=(1,0,0)+t(1,1,1)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) ו-ℓ2: x‾=(0,3,1)+s(1,−1,0)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 3, 1) + s(1, -1, 0)

הכיוונים לא פרופורציונליים. משווים רכיב אחרי רכיב.

1+t=st=3−st=1\begin{aligned}1 + t &= s \\ \quad t &= 3 - s \\ \quad t &= 1\end{aligned}

שלוש משוואות, שני נעלמים

t=1  ⇒  s=2\begin{aligned}t &= 1 \;\Rightarrow\; s \\ &= 2\end{aligned}

משתי המשוואות הראשונות

1+1=2 ✓1 + 1 = 2\ \checkmark

בודקים במשוואה שלא השתמשנו בה

S=(1,0,0)+1⋅(1,1,1)=(2,1,1)\begin{aligned}S &= (1, 0, 0) + 1\cdot(1, 1, 1) \\ &= (2, 1, 1)\end{aligned}

מציבים בחזרה

שתי טעויות בישרים.

x‾=A+t⋅B\underline{x} = A + t\cdot B
x‾=A+t(B−A)\underline{x} = A + t(B - A)

הכיוון הוא הווקטור AB‾\underline{AB}, לא הנקודה BB.

t=2 t=2  ⇒  P∈ℓ\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 2 \;\Rightarrow\; P \in \ell\end{aligned}
t=2 t=2 t=2  ⇒  P∈ℓ\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 2 \\ \ t &= 2 \;\Rightarrow\; P \in \ell\end{aligned}

צריך שהמשוואה השלישית תתאים גם היא. שתיים לא מספיקות.

מצטלבים אינו נחתכים. ישרים מצטלבים לא נפגשים אף פעם. במרחב, «לא נחתכים» לא אומר «מקבילים».

Exercises

Exercise 1

נתון הישר ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1). מהו שיעור ה-xx של הנקודה שמתקבלת כש-t=3t = 3?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x=1+3⋅1=4\begin{aligned}x &= 1 + 3\cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

רכיב xx בלבד

מכפילים את וקטור הכיוון ב-tt, ורק אז מוסיפים את הנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 2

איזו נקודה של ℓ: x‾=(1,0,2)+t(1,2,−1)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(1, 2, -1) מתקבלת כש-t=−2t = -2?

  1. (−1,−4,0)(-1, -4, 0)
  2. (3,4,0)(3, 4, 0)
  3. (−1,−4,4)(-1, -4, 4)
  4. (−2,−4,2)(-2, -4, 2)
Show the answer and the solution

Answer: C (−1,−4,4)(-1, -4, 4)

Worked solution:

(1,0,2)+(−2)(1,2,−1)=(1−2, 0−4, 2+2)=(−1,−4,4)\begin{aligned}(1, 0, 2) + (-2)(1, 2, -1) &= (1 - 2,\ 0 - 4,\ 2 + 2) \\ &= (-1, -4, 4)\end{aligned}

(−2)⋅(−1)=+2(-2)\cdot(-1) = +2: הרכיב השלישי גדל.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו וקטור כיוון של הישר דרך A(1,2,0)A(1, 2, 0) ו-B(3,−1,4)B(3, -1, 4)?

  1. (4,1,4)(4, 1, 4)
  2. (2,3,4)(2, 3, 4)
  3. (2,−3,4)(2, -3, 4)
  4. (1,2,0)(1, 2, 0)
Show the answer and the solution

Answer: C (2,−3,4)(2, -3, 4)

Worked solution:

AB‾=(3−1, −1−2, 4−0)=(2,−3,4)\begin{aligned}\underline{AB} &= (3 - 1,\ -1 - 2,\ 4 - 0) \\ &= (2, -3, 4)\end{aligned}

(4,1,4)(4, 1, 4) הוא A+BA + B, לא B−AB - A. ו-(1,2,0)(1, 2, 0) היא נקודה, לא כיוון.

Check the answer on elev

Exercise 4

הטענה: הנקודה P(6,1,−1)P(6, 1, -1) נמצאת על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2).

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2+2t=6−1+t=13−2t=−1\begin{aligned}2 + 2t &= 6 \\ \quad -1 + t &= 1 \\ \quad 3 - 2t &= -1\end{aligned}
t=2t = 2

אותו tt בשלוש המשוואות

אותו tt בשלוש המשוואות: הנקודה על הישר.

Check the answer on elev

Exercise 5

הטענה: הנקודה Q(4,0,2)Q(4, 0, 2) נמצאת על הישר x‾=(2,−1,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (2, -1, 3) + t(2, 1, -2).

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2+2t=4  ⇒  t=1\begin{aligned}2 + 2t &= 4 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
−1+t=0  ⇒  t=1\begin{aligned}-1 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= 1\end{aligned}
3−2⋅1=1≠23 - 2\cdot 1 = 1 \neq 2

המשוואה השלישית נכשלת

שתי משוואות הסכימו, והשלישית לא. לכן QQ לא על הישר.

Check the answer on elev

Exercise 6

הישר x‾=(1,2,3)+t(2,−1,1)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, -1, 1) חותך את המישור z=0z = 0 (מישור xyxy). מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

3+t=0  ⇒  t=−3\begin{aligned}3 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -3\end{aligned}

על המישור z=0z = 0 הרכיב השלישי הוא אפס

x=1+2⋅(−3)=−5\begin{aligned}x &= 1 + 2\cdot(-3) \\ &= -5\end{aligned}

קודם מוצאים tt מהתנאי z=0z = 0, ורק אז מחשבים את xx.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה P(k,4,−1)P(k, 4, -1) נמצאת על הישר x‾=(1,2,3)+t(2,1,−2)\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, 1, -2). מהו kk?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2+t=4  ⇒  t=2\begin{aligned}2 + t &= 4 \;\Rightarrow\; t \\ &= 2\end{aligned}

מוצאים tt מרכיב ידוע

3−2⋅2=−1 ✓3 - 2\cdot 2 = -1\ \checkmark

בודקים ברכיב zz

k=1+2⋅2=5\begin{aligned}k &= 1 + 2\cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

את tt מוצאים מרכיב שבו הכול ידוע, לא מהרכיב עם kk.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו המצב ההדדי של ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(2,−1,3)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(2, -1, 3) ו-ℓ2: x‾=(0,0,1)+s(−4,2,−6)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 0, 1) + s(-4, 2, -6)?

  1. מתלכדים
  2. נחתכים
  3. מצטלבים
  4. מקבילים
Show the answer and the solution

Answer: D מקבילים

Worked solution:

(−4,2,−6)=−2⋅(2,−1,3)(-4, 2, -6) = -2\cdot(2, -1, 3)

הכיוונים פרופורציונליים

1+2t=0  ⇒  t=−12\begin{aligned}1 + 2t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

האם (0,0,1)(0, 0, 1) על ℓ1\ell_1?

2−t=2+12≠02 - t = 2 + \frac{1}{2} \neq 0

רכיב yy לא מתאים: אין נקודה משותפת

כיוונים פרופורציונליים בלי נקודה משותפת: מקבילים, לא מתלכדים.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו המצב ההדדי של ℓ1: x‾=(1,1,0)+t(1,0,1)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 1, 0) + t(1, 0, 1) ו-ℓ2: x‾=(0,2,1)+s(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x} = (0, 2, 1) + s(0, 1, 1)?

  1. מצטלבים
  2. מתלכדים
  3. נחתכים
  4. מקבילים
Show the answer and the solution

Answer: A מצטלבים

Worked solution:

(1,0,1)≠k(0,1,1)(1, 0, 1) \neq k(0, 1, 1)

הכיוונים לא פרופורציונליים

1+t=01=2+s\begin{aligned}1 + t &= 0 \\ \quad 1 &= 2 + s\end{aligned}

שתי המשוואות הראשונות

t=−1 s=−1\begin{aligned}t &= -1 \\ \ s &= -1\end{aligned}
z:t=1+s  ⇒  −1≠0z:\quad t = 1 + s \;\Rightarrow\; -1 \neq 0

המשוואה השלישית סותרת

אין פתרון וגם אין כיוונים פרופורציונליים: מצטלבים. אל תעצרו אחרי שתי משוואות.

Check the answer on elev

Exercise 10

הישרים ℓ1: x‾=(1,2,0)+t(1,−1,2)\ell_1:\ \underline{x} = (1, 2, 0) + t(1, -1, 2) ו-ℓ2: x‾=(2,−2,5)+s(1,2,−1)\ell_2:\ \underline{x} = (2, -2, 5) + s(1, 2, -1) נחתכים. מהו שיעור ה-zz של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

1+t=2+s2−t=−2+2s\begin{aligned}1 + t &= 2 + s \\ \quad 2 - t &= -2 + 2s\end{aligned}

רכיבים xx ו-yy

t=1+s  ⇒  2−1−s=−2+2s  ⇒  s=1 t=2\begin{aligned}t &= 1 + s \;\Rightarrow\; 2 - 1 - s \\ &= -2 + 2s \;\Rightarrow\; s \\ &= 1 \\ \ t &= 2\end{aligned}
z:2t=5−s  ⇒  4=4 ✓\begin{aligned}z:\quad 2t &= 5 - s \;\Rightarrow\; 4 \\ &= 4\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה ברכיב השלישי

S=(1,2,0)+2(1,−1,2)=(3,0,4)\begin{aligned}S &= (1, 2, 0) + 2(1, -1, 2) \\ &= (3, 0, 4)\end{aligned}

אחרי שמוצאים tt ו-ss, בודקים את המשוואה השלישית ורק אז מציבים.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל מצב הדדי לתנאי שלו.

  • מתלכדים
  • מקבילים
  • נחתכים
  • מצטלבים
  • כיוונים לא פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת
  • כיוונים לא פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת
  • כיוונים פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת
  • כיוונים פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת
Show the answer and the solution

Answer: מתלכדים — כיוונים פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת · מקבילים — כיוונים פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת · נחתכים — כיוונים לא פרופורציונליים, ויש נקודה משותפת · מצטלבים — כיוונים לא פרופורציונליים, ואין נקודה משותפת

Worked solution:

d‾1=kd‾2  ?A+td‾1=B+sd‾2  ?\begin{aligned}\underline{d}_1 &= k\underline{d}_2 \;?\quad A + t\underline{d}_1 \\ &= B + s\underline{d}_2 \;?\end{aligned}

שתי שאלות, ארבע תשובות

שתי שאלות: האם הכיוונים פרופורציונליים, והאם יש נקודה משותפת.

Check the answer on elev

Exercise 12

סדרו את שלבי הבדיקה של המצב ההדדי בין שני ישרים.

  • אם לא: משווים את שתי ההצגות, רכיב אחרי רכיב
  • בודקים אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים
  • מציבים tt בהצגה ומוצאים את נקודת החיתוך
  • מציבים בשלישית: אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים
  • פותרים שתיים מהמשוואות ומוצאים tt ו-ss
Show the answer and the solution

Answer: בודקים אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים · אם לא: משווים את שתי ההצגות, רכיב אחרי רכיב · פותרים שתיים מהמשוואות ומוצאים tt ו-ss · מציבים בשלישית: אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים · מציבים tt בהצגה ומוצאים את נקודת החיתוך

Worked solution:

d‾1∦d‾2  ⇒  t,s  ⇒  ✓  ⇒  S\underline{d}_1 \nparallel \underline{d}_2 \;\Rightarrow\; t, s \;\Rightarrow\; \checkmark \;\Rightarrow\; S

הבדיקה במשוואה השלישית באה לפני שמחשבים את נקודת החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 13

יוסי כתב את הישר דרך A(1,0,2)A(1, 0, 2) ו-B(3,1,5)B(3, 1, 5). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

d‾=B−A\underline{d} = B - A
=(3,1,5)−(1,0,2)= (3, 1, 5) - (1, 0, 2)
=(4,1,7)= (4, 1, 7)
ℓ: x‾=(1,0,2)+t(4,1,7)\ell:\ \underline{x} = (1, 0, 2) + t(4, 1, 7)
Show the answer and the solution

Answer: =(4,1,7)= (4, 1, 7) → =(2,1,3)= (2, 1, 3)

Worked solution:

(3−1, 1−0, 5−2)=(2,1,3)(3 - 1,\ 1 - 0,\ 5 - 2) = (2, 1, 3)

בשורה השלישית יוסי חיבר במקום לחסר. השורה האחרונה רק ממשיכה את הטעות.

Check the answer on elev

Exercise 14

השלימו.

הישר x‾=(2,−1,0)+t(1,3,−2)\underline{x} = (2, -1, 0) + t(1, 3, -2) חותך את המישור x=0x = 0 בנקודה (0,y,z)(0, y, z), כאשר y=y = ____ ו-z=z = ____.

Show the answer and the solution

Answer: הישר x‾=(2,−1,0)+t(1,3,−2)\underline{x} = (2, -1, 0) + t(1, 3, -2) חותך את המישור x=0x = 0 בנקודה (0,y,z)(0, y, z), כאשר y=y = -7 ו-z=z = 4.

Worked solution:

2+t=0  ⇒  t=−2\begin{aligned}2 + t &= 0 \;\Rightarrow\; t \\ &= -2\end{aligned}
y=−1+3(−2)=−7z=0−2(−2)=4\begin{aligned}y &= -1 + 3(-2) \\ &= -7 \\ \quad z &= 0 - 2(-2) \\ &= 4\end{aligned}

על המישור x=0x = 0 הרכיב הראשון מתאפס: משם מוצאים את tt.

Check the answer on elev

Exercise 15

הטענה: שני ישרים במרחב שאין להם נקודה משותפת הם בהכרח מקבילים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

ℓ1∩ℓ2=∅  ⇏  ℓ1∥ℓ2\ell_1 \cap \ell_2 = \varnothing \;\not\Rightarrow\; \ell_1 \parallel \ell_2

אין נקודה משותפת, ועדיין לא בהכרח מקבילים

הם יכולים להיות גם מצטלבים: לא נפגשים ולא מקבילים. זה קורה רק במרחב.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade