Vectors in solids

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלות על גופים (תיבה, פירמידה) לרוב אין מערכת צירים. במקום שיעורים, בוחרים שלושה וקטורים שיוצאים מקודקוד אחד.

שלושת הווקטורים האלה הם בסיס: כל וקטור אחר בגוף נכתב בעזרתם, בדרך אחת בלבד.

הכלל: הולכים מההתחלה אל הסוף לאורך המקצועות, וכל מקצוע הוא אחד מוקטורי הבסיס (או הנגדי שלו).

האלכסון AC′‾\underline{AC'}

הולכים קדימה לאורך ABAB, הצידה לאורך BCBC, ולמעלה לאורך CC′CC'. כך מגיעים מ-AA אל C′C'.

AC′‾=AB‾+BC‾+CC′‾\underline{AC'} = \underline{AB} + \underline{BC} + \underline{CC'}

מסלול לאורך המקצועות

BC‾=AD‾=v‾CC′‾=AA′‾=w‾\begin{aligned}\underline{BC} &= \underline{AD} \\ &= \underline{v} \\ \quad \underline{CC'} &= \underline{AA'} \\ &= \underline{w}\end{aligned}

מקצועות מקבילים ושווים בתיבה

AC′‾=u‾+v‾+w‾\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

בטאו את BD′‾\underline{BD'} בעזרת u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}.

Show the answer and the solution

−u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}. מ-BB חוזרים אל AA (זה −u‾-\underline{u}), ממשיכים אל DD ועולים אל D′D'.

אמצע של מקצוע

אמצע של מקצוע הוא חצי הדרך לאורכו: חצי מהווקטור של המקצוע.

MM הוא אמצע המקצוע C′D′C'D'. בטאו את AM‾\underline{AM}.

הולכים אל D′D', ומשם חצי מ-D′C′‾\underline{D'C'}.

AM‾=AD‾+DD′‾+12D′C′‾\underline{AM} = \underline{AD} + \underline{DD'} + \frac{1}{2}\underline{D'C'}
D′C′‾=DC‾=AB‾=u‾\begin{aligned}\underline{D'C'} &= \underline{DC} \\ &= \underline{AB} \\ &= \underline{u}\end{aligned}
AM‾=v‾+w‾+12u‾\underline{AM} = \underline{v} + \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u}

מכפלה סקלרית בתוך גוף

כשמכירים את האורכים של וקטורי הבסיס ואת הזוויות ביניהם, יודעים לחשב כל מכפלה סקלרית בגוף.

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u} \cdot \underline{u} = |\underline{u}|^2

וקטור עם עצמו: ריבוע האורך

u‾⋅v‾=∣u‾∣∣v‾∣cos⁡α\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}||\underline{v}|\cos\alpha

שני וקטורים: האורכים והזווית

u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0

בתיבה כל שני מקצועות מקודקוד אחד ניצבים

כדי למצוא אורך של וקטור, מעלים אותו בריבוע ופותחים סוגריים, כמו בכפל מקוצר.

∣au‾+bv‾∣2=a2∣u‾∣2+2ab (u‾⋅v‾)+b2∣v‾∣2|a\underline{u} + b\underline{v}|^2 = a^2|\underline{u}|^2 + 2ab\,(\underline{u} \cdot \underline{v}) + b^2|\underline{v}|^2

תיבה עם AB=3AB = 3, AD=2AD = 2, AA′=2AA' = 2. מהו אורך האלכסון AC′AC'?

בתיבה כל המכפלות המעורבות הן אפס.

∣AC′‾∣2=(u‾+v‾+w‾)2|\underline{AC'}|^2 = (\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})^2
=∣u‾∣2+∣v‾∣2+∣w‾∣2+2(u‾⋅v‾+u‾⋅w‾+v‾⋅w‾)= |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + |\underline{w}|^2 + 2(\underline{u}\cdot\underline{v} + \underline{u}\cdot\underline{w} + \underline{v}\cdot\underline{w})
=9+4+4+0=17= 9 + 4 + 4 + 0 = 17

המכפלות המעורבות מתאפסות

∣AC′‾∣=17|\underline{AC'}| = \sqrt{17}

כשהזוויות אינן ישרות

בארבעון המשוכלל הזוויות הן 60∘60^\circ, ולכן המכפלות המעורבות אינן אפס.

MM הוא אמצע BCBC. מהו האורך של AMAM?

קודם המכפלות, אחר כך הפיתוח.

u‾⋅v‾=2⋅2⋅cos⁡60∘=2\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 2\end{aligned}

וכך גם u‾⋅w‾\underline{u}\cdot\underline{w} ו-v‾⋅w‾\underline{v}\cdot\underline{w}

AM‾=AB‾+12BC‾=u‾+12(v‾−u‾)=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\underline{AM} &= \underline{AB} + \frac{1}{2}\underline{BC} \\ &= \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})\end{aligned}

BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}

∣AM‾∣2=14(4+2⋅2+4)=3\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= \frac{1}{4}\left(4 + 2 \cdot 2 + 4\right) \\ &= 3\end{aligned}
∣AM‾∣=3|\underline{AM}| = \sqrt{3}

התיכון במשולש שווה צלעות שצלעו 22

הטעות הנפוצה ביותר בפיתוח.

∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u}\cdot\underline{v} + |\underline{v}|^2

שוכחים את האיבר האמצעי. הוא מתאפס רק כשהווקטורים ניצבים.

הדרך בכל שאלה כזו: בוחרים בסיס מקודקוד אחד, כותבים את הווקטור כמסלול, מעלים בריבוע, מציבים את המכפלות, ומוציאים שורש.

Exercises

Exercise 1

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' נתון: AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}, AA′‾=w‾\underline{AA'} = \underline{w}. בטאו את AC′‾\underline{AC'}.

  1. −u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  2. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
  4. u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: B u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

Worked solution:

AC′‾=AB‾+BC‾+CC′‾=u‾+v‾+w‾\begin{aligned}\underline{AC'} &= \underline{AB} + \underline{BC} + \underline{CC'} \\ &= \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\end{aligned}

כל מקצוע במסלול מוחלף בווקטור הבסיס המקביל לו, באותו כיוון.

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה תיבה, בטאו את DB′‾\underline{DB'}.

  1. u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}
  2. −u‾+v‾+w‾-\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  4. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: A u‾−v‾+w‾\underline{u} - \underline{v} + \underline{w}

Worked solution:

DB′‾=DA‾+AB‾+BB′‾\underline{DB'} = \underline{DA} + \underline{AB} + \underline{BB'}
=−v‾+u‾+w‾= -\underline{v} + \underline{u} + \underline{w}

DA‾\underline{DA} הפוך ל-AD‾\underline{AD}

מ-DD אל AA הולכים נגד v‾\underline{v}, ולכן הסימן מינוס.

Check the answer on elev

Exercise 3

MM הוא אמצע המקצוע B′C′B'C' בתיבה. בטאו את AM‾\underline{AM}.

  1. u‾+v‾+12w‾\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}
  2. 12(u‾+v‾+w‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})
  3. u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}
  4. 12u‾+v‾+w‾\frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: C u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}

Worked solution:

AM‾=AB‾+BB′‾+12B′C′‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BB'} + \frac{1}{2}\underline{B'C'}
B′C′‾=AD‾=v‾\begin{aligned}\underline{B'C'} &= \underline{AD} \\ &= \underline{v}\end{aligned}
AM‾=u‾+w‾+12v‾\underline{AM} = \underline{u} + \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{v}

רק המקצוע שעליו יושב האמצע מקבל חצי. ABAB ו-BB′BB' עוברים במלואם.

Check the answer on elev

Exercise 4

בתיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' עם u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB} ו-w‾=AA′‾\underline{w} = \underline{AA'}, הטענה: u‾⋅w‾=0\underline{u} \cdot \underline{w} = 0.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

AB⊥AA′  ⇒  u‾⋅w‾=∣u‾∣∣w‾∣cos⁡90∘=0\begin{aligned}AB \perp AA' \;\Rightarrow\; \underline{u}\cdot\underline{w} &= |\underline{u}||\underline{w}|\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

בתיבה כל הפאות מלבנים: מקצועות שיוצאים מאותו קודקוד ניצבים זה לזה.

Check the answer on elev

Exercise 5

בתיבה נתון: AB=4AB = 4, AD=3AD = 3, AA′=12AA' = 12. מהו אורך האלכסון AC′AC'?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

AC′‾=u‾+v‾+w‾\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
∣AC′‾∣2=16+9+144+0=169\begin{aligned}|\underline{AC'}|^2 &= 16 + 9 + 144 + 0 \\ &= 169\end{aligned}

בתיבה המכפלות המעורבות הן אפס

∣AC′‾∣=13|\underline{AC'}| = 13

שוכחים להוציא שורש בסוף, ועונים 169169.

Check the answer on elev

Exercise 6

בתיבה נתון: AB=3AB = 3, AD=4AD = 4, AA′=5AA' = 5. מהו האורך של BD′BD'? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 7.07

Worked solution:

BD′‾=−u‾+v‾+w‾\underline{BD'} = -\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
∣BD′‾∣2=9+16+25=50\begin{aligned}|\underline{BD'}|^2 &= 9 + 16 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

גם המינוס מתאפס בריבוע

∣BD′‾∣=50=52≈7.07\begin{aligned}|\underline{BD'}| &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

הסימן מינוס לפני u‾\underline{u} לא משנה את הריבוע: (−1)2∣u‾∣2=9(-1)^2 |\underline{u}|^2 = 9.

Check the answer on elev

Exercise 7

בתיבה נתון: AB=2AB = 2, AD=2AD = 2, AA′=3AA' = 3. חשבו את המכפלה הסקלרית AC′‾⋅AB‾\underline{AC'} \cdot \underline{AB}.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(u‾+v‾+w‾)⋅u‾=u‾⋅u‾+v‾⋅u‾+w‾⋅u‾(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})\cdot\underline{u} = \underline{u}\cdot\underline{u} + \underline{v}\cdot\underline{u} + \underline{w}\cdot\underline{u}

פילוג

=4+0+0=4= 4 + 0 + 0 = 4

רק u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u} = |\underline{u}|^2 נשאר. שאר המכפלות ניצבות.

Check the answer on elev

Exercise 8

בתיבה נתון: AB=2AB = 2, AD=3AD = 3, AA′=6AA' = 6. מהי הזווית בין האלכסון AC′AC' למקצוע ABAB, במעלות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 73.4

Worked solution:

AC′‾⋅AB‾=∣u‾∣2=4\begin{aligned}\underline{AC'}\cdot\underline{AB} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 4\end{aligned}
∣AC′‾∣=4+9+36=7\begin{aligned}|\underline{AC'}| &= \sqrt{4 + 9 + 36} \\ &= 7\end{aligned}
cos⁡α=47⋅2=27  ⇒  α≈73.4∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{4}{7 \cdot 2} \\ &= \frac{2}{7} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 73.4^\circ\end{aligned}

במכנה כופלים את שני האורכים: ∣AC′‾∣=7|\underline{AC'}| = 7 וגם ∣AB‾∣=2|\underline{AB}| = 2.

Check the answer on elev

Exercise 9

בארבעון משוכלל ABCDABCD כל המקצועות באורך 44. נתון u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

u‾⋅v‾=4⋅4⋅cos⁡60∘=16⋅12=8\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 8\end{aligned}

כל פאה היא משולש שווה צלעות

הזווית בין המקצועות היא 60∘60^\circ ולא 90∘90^\circ, ולכן המכפלה אינה אפס.

Check the answer on elev

Exercise 10

בארבעון משוכלל שמקצועו 22, NN הוא אמצע המקצוע CDCD, ו-u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}, w‾=AD‾\underline{w} = \underline{AD}. מהו האורך של ANAN? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.73

Worked solution:

AN‾=12(v‾+w‾)\underline{AN} = \frac{1}{2}(\underline{v} + \underline{w})

האמצע של CDCD

∣AN‾∣2=14(4+2⋅2+4)=3\begin{aligned}|\underline{AN}|^2 &= \frac{1}{4}(4 + 2 \cdot 2 + 4) \\ &= 3\end{aligned}

v‾⋅w‾=2\underline{v}\cdot\underline{w} = 2

∣AN‾∣=3≈1.73|\underline{AN}| = \sqrt{3} \approx 1.73

בלי האיבר 2 v‾⋅w‾2\,\underline{v}\cdot\underline{w} מקבלים 2\sqrt{2}, וזו טעות.

Check the answer on elev

Exercise 11

בארבעון משוכלל ABCDABCD שמקצועו 22 נתון: u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AC‾\underline{v} = \underline{AC}, w‾=AD‾\underline{w} = \underline{AD}. הוכיחו: המקצועות הנגדיים BCBC ו-ADAD ניצבים.

  • כל מקצועות הארבעון באורך 22
  • כל הזוויות בין u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} הן 60∘60^\circ

BC⊥ADBC \perp AD

Show the answer and the solution
  1. BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u} — מסלול: BC‾=BA‾+AC‾\underline{BC} = \underline{BA} + \underline{AC}
  2. u‾⋅w‾=2\underline{u}\cdot\underline{w} = 2 וגם v‾⋅w‾=2\underline{v}\cdot\underline{w} = 2 — 2⋅2⋅cos⁡60∘=22 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2
  3. BC‾⋅AD‾=v‾⋅w‾−u‾⋅w‾=0\underline{BC}\cdot\underline{AD} = \underline{v}\cdot\underline{w} - \underline{u}\cdot\underline{w} = 0 — פילוג, והצבת המכפלות
  4. BC⊥ADBC \perp AD — מכפלה סקלרית אפס פירושה ניצבות
Check the answer on elev

Exercise 12

בפירמידה ישרה SABCDSABCD הבסיס ABCDABCD הוא ריבוע. נתון u‾=AB‾\underline{u} = \underline{AB}, v‾=AD‾\underline{v} = \underline{AD}, w‾=AS‾\underline{w} = \underline{AS}. בטאו את SC‾\underline{SC}.

  1. u‾+v‾+w‾\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
  2. w‾−u‾−v‾\underline{w} - \underline{u} - \underline{v}
  3. u‾−v‾−w‾\underline{u} - \underline{v} - \underline{w}
  4. u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: D u‾+v‾−w‾\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}

Worked solution:

SC‾=SA‾+AC‾\underline{SC} = \underline{SA} + \underline{AC}
=−w‾+(u‾+v‾)= -\underline{w} + (\underline{u} + \underline{v})

AC‾\underline{AC} הוא אלכסון הריבוע

יורדים מ-SS אל AA, וזה −w‾-\underline{w}. w‾−u‾−v‾\underline{w} - \underline{u} - \underline{v} הוא CS‾\underline{CS}, החץ ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 13

באותה פירמידה: צלע הבסיס 22, כל מקצוע צדדי 33, ולכן u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=2\underline{u}\cdot\underline{w} = \underline{v}\cdot\underline{w} = 2. חשבו את האורך של SCSC בעזרת הווקטורים.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

∣SC‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2+∣w‾∣2+2(u‾⋅v‾−u‾⋅w‾−v‾⋅w‾)|\underline{SC}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + |\underline{w}|^2 + 2(\underline{u}\cdot\underline{v} - \underline{u}\cdot\underline{w} - \underline{v}\cdot\underline{w})
4+4+9+2(0−2−2)=17−8=9\begin{aligned}4 + 4 + 9 + 2(0 - 2 - 2) &= 17 - 8 \\ &= 9\end{aligned}
∣SC‾∣=3|\underline{SC}| = 3

וזה אכן מקצוע צדדי

הסימנים של המכפלות המעורבות באים מהמקדמים: (+1)(−1)(+1)(-1) נותן מינוס. בלי המכפלות יוצא 17\sqrt{17}.

Check the answer on elev

Exercise 14

באותה פירמידה, MM הוא אמצע SCSC. מהו האורך של AMAM?

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

AM‾=AS‾+12SC‾=w‾+12(u‾+v‾−w‾)=12(u‾+v‾+w‾)\begin{aligned}\underline{AM} &= \underline{AS} + \frac{1}{2}\underline{SC} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})\end{aligned}
∣AM‾∣2=14(4+4+9+2(0+2+2))=254\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= \frac{1}{4}\left(4 + 4 + 9 + 2(0 + 2 + 2)\right) \\ &= \frac{25}{4}\end{aligned}
∣AM‾∣=52|\underline{AM}| = \frac{5}{2}

הגורם 12\frac{1}{2} יוצא מהריבוע כ-14\frac{1}{4}, לא כ-12\frac{1}{2}.

Check the answer on elev

Exercise 15

סדרו את שלבי הפתרון של שאלת אורך בגוף.

  • בוחרים שלושה וקטורי בסיס מקודקוד אחד
  • כותבים את הווקטור המבוקש כמסלול לאורך המקצועות
  • מוציאים שורש
  • מעלים את הביטוי בריבוע ופותחים סוגריים
  • מציבים את האורכים ואת המכפלות הסקלריות
Show the answer and the solution

Answer: בוחרים שלושה וקטורי בסיס מקודקוד אחד · כותבים את הווקטור המבוקש כמסלול לאורך המקצועות · מעלים את הביטוי בריבוע ופותחים סוגריים · מציבים את האורכים ואת המכפלות הסקלריות · מוציאים שורש

Worked solution:

∣x‾∣=x‾⋅x‾|\underline{x}| = \sqrt{\underline{x}\cdot\underline{x}}

השורש הוא הצעד האחרון: לפניו מחשבים את ∣x‾∣2|\underline{x}|^2.

Check the answer on elev

Exercise 16

מיכל חישבה את ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}| כאשר ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=5|\underline{v}| = 5, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

u‾⋅v‾=3⋅5⋅12=7.5\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}
∣u‾+v‾∣2=9+25=34\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 25 \\ &= 34\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=34|\underline{u} + \underline{v}| = \sqrt{34}
Show the answer and the solution

Answer: ∣u‾+v‾∣2=9+25=34|\underline{u} + \underline{v}|^2 = 9 + 25 = 34 → ∣u‾+v‾∣2=9+2⋅7.5+25=49|\underline{u} + \underline{v}|^2 = 9 + 2 \cdot 7.5 + 25 = 49

Worked solution:

∣u‾+v‾∣2=9+15+25=49\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 15 + 25 \\ &= 49\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=7|\underline{u} + \underline{v}| = 7

היא חישבה את המכפלה ולא השתמשה בה. האיבר האמצעי 2 u‾⋅v‾2\,\underline{u}\cdot\underline{v} נשמט.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade