The dot product

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כבר כפלנו וקטור במספר. עכשיו כופלים וקטור בווקטור, והתוצאה היא מספר. קוראים לה המכפלה הסקלרית.

u‾⋅v‾=x1x2+y1y2\underline{u} \cdot \underline{v} = x_1x_2 + y_1y_2

במישור: כופלים רכיב ברכיב, ומחברים

u‾⋅v‾=x1x2+y1y2+z1z2\underline{u} \cdot \underline{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

במרחב: אותו דבר, עם רכיב שלישי

המכפלה של u‾=(2,1)\underline{u} = (2, 1) ו-v‾=(3,−4)\underline{v} = (3, -4)

כופלים את רכיבי ה-xx, כופלים את רכיבי ה-yy, ומחברים.

u‾⋅v‾=2⋅3+1⋅(−4)\underline{u} \cdot \underline{v} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4)
=6−4=2= 6 - 4 = 2

מספר, לא וקטור

מה המספר הזה אומר

למכפלה הסקלרית יש גם משמעות של זווית. אם α\alpha היא הזווית בין הווקטורים, אז:

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u} \cdot \underline{v} = |\underline{u}| \cdot |\underline{v}| \cdot \cos\alpha

מתי המכפלה הסקלרית שווה 00?

Show the answer and the solution

כשהזווית היא 90∘90^\circ, כי cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0. זה המבחן לניצבות: u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0 בדיוק כשהווקטורים ניצבים.

u‾⋅v‾>0\underline{u} \cdot \underline{v} > 0

הזווית חדה

u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0

הווקטורים ניצבים

u‾⋅v‾<0\underline{u} \cdot \underline{v} < 0

הזווית קהה

שאלה עם פרמטר, כמו «לאיזה kk הווקטורים ניצבים?»: כותבים u‾⋅v‾=0\underline{u} \cdot \underline{v} = 0, ופותרים את המשוואה.

הזווית בין שני וקטורים

מהנוסחה מבודדים את הקוסינוס. מחשבים מכפלה ושני אורכים, ומחלקים.

cos⁡α=u‾⋅v‾∣u‾∣⋅∣v‾∣\cos\alpha = \frac{\underline{u} \cdot \underline{v}}{|\underline{u}| \cdot |\underline{v}|}

הזווית בין u‾=(3,1)\underline{u} = (3, 1) ל-v‾=(1,2)\underline{v} = (1, 2)

שלושה חישובים קטנים, ואז מחלקים.

u‾⋅v‾=3+2=5\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}
∣u‾∣=10∣v‾∣=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{10} \\ \quad |\underline{v}| &= \sqrt{5}\end{aligned}
cos⁡α=510⋅5=550=12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{50}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}
α=45∘\alpha = 45^\circ

וקטור כפול עצמו נותן את ריבוע האורך. מזה יוצא פיתוח כמו בנוסחאות הכפל המקוצר.

u‾⋅u‾=∣u‾∣2∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ \qquad |\underline{u} + \underline{v}|^2 &= |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2\end{aligned}

נתון ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מוצאים את ∣u‾+v‾∣|\underline{u} + \underline{v}|

אין רכיבים, ולכן עובדים עם הפיתוח.

u‾⋅v‾=3⋅2⋅cos⁡60∘=3\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 3\end{aligned}
∣u‾+v‾∣2=9+2⋅3+4=19\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}|^2 &= 9 + 2 \cdot 3 + 4 \\ &= 19\end{aligned}
∣u‾+v‾∣=19|\underline{u} + \underline{v}| = \sqrt{19}

שתי טעויות בחישוב.

(2,1)⋅(3,−4)=(6,−4)(2, 1) \cdot (3, -4) = (6, -4)
(2,1)⋅(3,−4)=6−4=2\begin{aligned}(2, 1) \cdot (3, -4) &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה היא מספר: מחברים את המכפלות.

∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
∣u‾+v‾∣2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2

כמו (a+b)2(a + b)^2: אסור לשכוח את האיבר האמצעי.

Exercises

Exercise 1

חשבו את המכפלה הסקלרית (3,−2)⋅(4,5)(3, -2) \cdot (4, 5).

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

3⋅4+(−2)⋅5=12−10=2\begin{aligned}3 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 &= 12 - 10 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה היא מספר אחד: מחברים את שתי המכפלות.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את המכפלה הסקלרית (1,2,−3)⋅(4,0,2)(1, 2, -3) \cdot (4, 0, 2).

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

1⋅4+2⋅0+(−3)⋅2=4+0−6=−2\begin{aligned}1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 &= 4 + 0 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

המכפלה יכולה להיות שלילית: הזווית קהה.

Check the answer on elev

Exercise 3

הטענה: הווקטורים (2,−3)(2, -3) ו-(6,4)(6, 4) ניצבים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2⋅6+(−3)⋅4=12−12=0\begin{aligned}2 \cdot 6 + (-3) \cdot 4 &= 12 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה סקלרית אפס פירושה ניצבות. לא צריך לחשב אורכים.

Check the answer on elev

Exercise 4

לאיזה ערך של kk הווקטורים (k,3)(k, 3) ו-(2,−4)(2, -4) ניצבים?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

2k+3⋅(−4)=02k + 3 \cdot (-4) = 0

מכפלה סקלרית שווה אפס

2k=12⇒k=6\begin{aligned}2k &= 12 \Rightarrow k \\ &= 6\end{aligned}

ניצבים פירושו מכפלה אפס, לא רכיבים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהי הזווית בין u‾=(4,2)\underline{u} = (4, 2) ל-v‾=(−1,3)\underline{v} = (-1, 3)? עגלו לעשירית מעלה.

Show the answer and the solution

Answer: 81.9

Worked solution:

u‾⋅v‾=−4+6=2\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= -4 + 6 \\ &= 2\end{aligned}
cos⁡α=220⋅10=2200≈0.141\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{200}} \approx 0.141\end{aligned}
α≈81.9∘\alpha \approx 81.9^\circ

מחלקים במכפלת שני האורכים. ב-cos⁡−1\cos^{-1} המחשבון במצב מעלות.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון u‾⋅v‾=−5\underline{u} \cdot \underline{v} = -5. מה אפשר לומר על הזווית בין הווקטורים?

  1. היא ישרה
  2. היא חדה
  3. היא קהה
  4. אי אפשר לדעת בלי האורכים
Show the answer and the solution

Answer: C היא קהה

Worked solution:

cos⁡α=−5∣u‾∣⋅∣v‾∣<0\cos\alpha = \frac{-5}{|\underline{u}| \cdot |\underline{v}|} < 0

האורכים חיוביים, ולכן הסימן נקבע על ידי המונה

בשביל הסוג של הזווית מספיק הסימן. את הגודל המדויק אי אפשר לדעת בלי האורכים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון ∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=5|\underline{v}| = 5, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. מהי המכפלה u‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{v}?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

4⋅5⋅cos⁡60∘=20⋅12=10\begin{aligned}4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ &= 20 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 10\end{aligned}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, ולא sin⁡60∘\sin 60^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון u‾=(2,−1,2)\underline{u} = (2, -1, 2). מהי המכפלה u‾⋅u‾\underline{u} \cdot \underline{u}?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

4+1+4=94 + 1 + 4 = 9
u‾⋅u‾=∣u‾∣2=32\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 3^2\end{aligned}

בדיקה

(−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1. ומכאן ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון ∣u‾∣=3|\underline{u}| = 3, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2 ו-u‾⋅v‾=−3\underline{u} \cdot \underline{v} = -3. מהו האורך ∣u‾−v‾∣|\underline{u} - \underline{v}|? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 4.36

Worked solution:

∣u‾−v‾∣2=9−2⋅(−3)+4=19\begin{aligned}|\underline{u} - \underline{v}|^2 &= 9 - 2 \cdot (-3) + 4 \\ &= 19\end{aligned}

כמו (a−b)2(a - b)^2

∣u‾−v‾∣=19≈4.36|\underline{u} - \underline{v}| = \sqrt{19} \approx 4.36

בחיסור האיבר האמצעי הוא −2 u‾⋅v‾-2\,\underline{u} \cdot \underline{v}. כאן המכפלה שלילית, ולכן הוא מוסיף 66.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו כל מכפלה סקלרית לזווית שהיא מתארת.

  • המכפלה חיובית
  • המכפלה אפס
  • המכפלה שלילית
  • המכפלה שווה למכפלת האורכים
  • אותו כיוון, זווית אפס
  • זווית חדה
  • זווית ישרה
  • זווית קהה
Show the answer and the solution

Answer: המכפלה חיובית — זווית חדה · המכפלה אפס — זווית ישרה · המכפלה שלילית — זווית קהה · המכפלה שווה למכפלת האורכים — אותו כיוון, זווית אפס

Worked solution:

cos⁡0∘=1 cos⁡90∘=0\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \\ \ \cos 90^\circ &= 0\end{aligned}

הסימן של המכפלה הוא הסימן של cos⁡α\cos\alpha, כי האורכים תמיד חיוביים.

Check the answer on elev

Exercise 11

שירה חישבה את הזווית בין (3,4)(3, 4) ל-(4,3)(4, 3). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

u‾⋅v‾=12+12=24\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 12 + 12 \\ &= 24\end{aligned}
∣u‾∣=9+16=5\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}
∣v‾∣=16+9=5\begin{aligned}|\underline{v}| &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}
cos⁡α=245\cos\alpha = \frac{24}{5}
Show the answer and the solution

Answer: cos⁡α=245\cos\alpha = \frac{24}{5} → cos⁡α=245⋅5=2425\cos\alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}

Worked solution:

cos⁡α=2425=0.96\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{24}{25} \\ &= 0.96\end{aligned}

מחלקים במכפלת שני האורכים

סימן אזהרה: קוסינוס גדול מ-11 לא קיים. היא חילקה רק באורך אחד.

Check the answer on elev

Exercise 12

השלימו.

במשולש ABCABC: A(1,1)A(1, 1), B(4,2)B(4, 2), C(0,4)C(0, 4). המכפלה AB‾⋅AC‾\underline{AB} \cdot \underline{AC} שווה ____, ולכן הזווית AA בת ____ מעלות.

Show the answer and the solution

Answer: במשולש ABCABC: A(1,1)A(1, 1), B(4,2)B(4, 2), C(0,4)C(0, 4). המכפלה AB‾⋅AC‾\underline{AB} \cdot \underline{AC} שווה 0, ולכן הזווית AA בת 90 מעלות.

Worked solution:

AB‾=(3,1)AC‾=(−1,3)\begin{aligned}\underline{AB} &= (3, 1) \\ \quad \underline{AC} &= (-1, 3)\end{aligned}

שני הווקטורים יוצאים מ-AA

AB‾⋅AC‾=−3+3=0\begin{aligned}\underline{AB} \cdot \underline{AC} &= -3 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

הזווית AA היא בין וקטורים שיוצאים מ-AA. עם BA‾\underline{BA} במקום AB‾\underline{AB} הסימן היה מתהפך.

Check the answer on elev

Exercise 13

הטענה: לכל שני וקטורים מתקיים (u‾+v‾)⋅(u‾−v‾)=∣u‾∣2−∣v‾∣2(\underline{u} + \underline{v}) \cdot (\underline{u} - \underline{v}) = |\underline{u}|^2 - |\underline{v}|^2.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−v‾⋅v‾\underline{u} \cdot \underline{u} - \underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{u} - \underline{v} \cdot \underline{v}

פותחים סוגריים

=∣u‾∣2−∣v‾∣2= |\underline{u}|^2 - |\underline{v}|^2

האיברים האמצעיים מצטמצמים

זה הפרש ריבועים. הוא עובד כי u‾⋅v‾=v‾⋅u‾\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{v} \cdot \underline{u}.

Check the answer on elev

Exercise 14

איזה ביטוי שווה ל-∣2u‾−v‾∣2|2\underline{u} - \underline{v}|^2?

  1. 4∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
  2. 4∣u‾∣2+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2
  3. 4∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
  4. 2∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣22|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2
Show the answer and the solution

Answer: A 4∣u‾∣2−4 u‾⋅v‾+∣v‾∣24|\underline{u}|^2 - 4\,\underline{u} \cdot \underline{v} + |\underline{v}|^2

Worked solution:

(2u‾−v‾)⋅(2u‾−v‾)=4 u‾⋅u‾−2 u‾⋅v‾−2 v‾⋅u‾+v‾⋅v‾(2\underline{u} - \underline{v}) \cdot (2\underline{u} - \underline{v}) = 4\,\underline{u} \cdot \underline{u} - 2\,\underline{u} \cdot \underline{v} - 2\,\underline{v} \cdot \underline{u} + \underline{v} \cdot \underline{v}

האיבר האמצעי הוא 2⋅(2u‾)⋅v‾2 \cdot (2\underline{u}) \cdot \underline{v}, כלומר 4 u‾⋅v‾4\,\underline{u} \cdot \underline{v}. וגם 22 עולה בריבוע: 44.

Check the answer on elev

Exercise 15

לאיזה ערך של kk הווקטורים (k,2,1)(k, 2, 1) ו-(3,k,−4)(3, k, -4) ניצבים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

3k+2k−4=03k + 2k - 4 = 0

מכפלה סקלרית שווה אפס

5k=4⇒k=0.8\begin{aligned}5k &= 4 \Rightarrow k \\ &= 0.8\end{aligned}

kk מופיע בשני הווקטורים: יש שני איברים עם kk.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade