Perpendicular bisectors and altitudes · Special lines of the triangle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני יישובים, $A$ ו- $B$ , רוצים מגדל מים משותף, במרחק שווה משניהם. איפה אפשר להציב אותו? לא בנקודה אחת: יש קו שלם של מקומות אפשריים, וכולם על ישר אחד, שעובר באמצע הדרך בין היישובים ומאונך לה.

M

אמצע

AB

, והישר

MP

מאונך ל-

AB

: זה האנך האמצעי. לכל נקודה עליו,

P

או

Q

, המרחקים משני הקצוות שווים.

למה $PA = PB$ בשרטוט? נסו לנמק בעזרת חפיפת משולשים.

Show the answer and the solution

המשולשים $PMA$ ו- $PMB$ חופפים לפי צ.ז.צ: $AM = MB$ (אמצע), $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$ (אנך), ו- $PM$ צלע משותפת. לכן $PA = PB$ . וזה נכון לכל נקודה על הישר.

הגדרה ומקום גאומטרי

אנך אמצעי לקטע הוא ישר המאונך לקטע ועובר דרך אמצעו. שימו לב: התיכון, הגובה וחוצה הזווית יוצאים מקודקוד; האנך האמצעי לא חייב לעבור דרך אף קודקוד.

PA = PB

משפט: כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע. וההפך: נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו.

כמו חוצה הזווית, גם האנך האמצעי הוא מקום גאומטרי: קבוצת כל הנקודות שמקיימות תנאי. חוצה הזווית אוסף את הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקיים; האנך האמצעי אוסף את הנקודות ששוות-מרחק משתי נקודות.

האנך האמצעי לצלע

BC

עובר דרך אמצע הצלע,

D

, ובדרך כלל לא דרך הקודקוד

A

במשולש $ABC$ שבשרטוט, האם האנך האמצעי לצלע $BC$ עובר דרך $A$ ? מתי כן?

Show the answer and the solution

בדרך כלל לא. הוא עובר דרך $A$ רק כש- $AB = AC$ , כי אז $A$ שוות-מרחק מ- $B$ ומ- $C$ , ולפי המשפט ההפוך היא על האנך האמצעי. במשולש שווה שוקיים האנך האמצעי לבסיס הוא גם הגובה, התיכון וחוצה זווית הראש.

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

D

E

F

אמצעי הצלעות. שלושת האנכים האמצעיים נפגשים ב-

O

, ו-

OA = OB = OC

משפט: שלושת האנכים האמצעיים של צלעות המשולש נחתכים בנקודה אחת. ההסבר בא מהמקום הגאומטרי: הנקודה שבה נפגשים האנכים האמצעיים של $AB$ ושל $BC$ מקיימת $OA = OB$ וגם $OB = OC$ , ולכן $OA = OC$ , ולכן היא גם על האנך האמצעי של $AC$ . נקודת המפגש נמצאת במרחק שווה משלושת הקודקודים.

\alpha, \beta, \gamma < 90^\circ

משולש חד זוויות: נקודת המפגש בתוך המשולש

\gamma = 90^\circ

משולש ישר זווית: נקודת המפגש על אמצע היתר

\gamma > 90^\circ

משולש קהה זווית: נקודת המפגש מחוץ למשולש

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר.

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר. איזה משפט מהיחידה הקודמת אומר את אותו דבר?

Show the answer and the solution

התיכון ליתר שווה למחצית היתר. אמצע היתר $O$ מקיים $OA = OC$ (חצי היתר) וגם $OB =$ חצי היתר, לפי המשפט. שלושת המרחקים שווים, ולכן $O$ על שלושת האנכים האמצעיים.

גבהים

גובה במשולש הוא קטע היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שממול, או להמשכה. משפט: שלושת הגבהים של משולש, או המשכיהם, נחתכים בנקודה אחת. כאן ההבדל בין שלושת סוגי המשולשים בולט ביותר:

\alpha, \beta, \gamma < 90^\circ

חד זוויות: שלושת הגבהים בתוך המשולש, ונקודת המפגש בפנים

\gamma = 90^\circ

ישר זווית: שני הניצבים הם גבהים, ונקודת המפגש היא קודקוד הזווית הישרה

\gamma > 90^\circ

קהה זווית: שני גבהים נופלים על המשכי הצלעות, ונקודת המפגש מחוץ למשולש

הגובה ליתר במשולש ישר זווית

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CH$ הגובה ליתר. מצאו את $CH$ .

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח בעזרת שני הניצבים: כל ניצב הוא גובה לניצב השני

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CH}{2} \ \Rightarrow \ \frac{10 \cdot CH}{2} \\ &= 24 \ \Rightarrow \ CH \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח בעזרת היתר והגובה אליו

«שטח בשתי דרכים» הוא הכלי לכל גובה במשולש ישר זווית: הניצבים נותנים את השטח, והיתר עם הגובה אליו נותן אותו שטח.

שלוש טעויות של האנך האמצעי והגובה.

AH \perp BC \ \Rightarrow \ BH = HC

\begin{aligned}BH &= HC \ \Leftrightarrow \ AB \\ &= AC\end{aligned}

גובה יוצא מקודקוד ומאונך לצלע; אנך אמצעי מאונך לצלע ועובר באמצעה, ובדרך כלל לא מגיע לקודקוד. הם מתלכדים רק במשולש שווה שוקיים.

\angle B > 90^\circ \ \Rightarrow \ H \ \text{בפנים}

\angle B > 90^\circ \ \Rightarrow \ H \ \text{בחוץ}

במשולש קהה זווית הגבהים עצמם לא נפגשים; המשכיהם נפגשים, מחוץ למשולש.

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \ \Rightarrow \ O \\ &= G\end{aligned}

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \ \Rightarrow \ O \neq G\end{aligned}

$G$ היא נקודת מפגש התיכונים. הנקודה ששוות-מרחק מהקודקודים היא מפגש האנכים האמצעיים, ובדרך כלל היא נקודה אחרת: מרחקי $G$ מהקודקודים שונים זה מזה.

Exercises

Exercise 1

$P$ נקודה על האנך האמצעי של הקטע $AB$ . נתון $PA = 7$ . מהו $PB$ ?

$14$
לא ניתן לדעת בלי $AB$
$7$
$3.5$

Show the answer and the solution

Answer: C $7$

Worked solution:

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 7\end{aligned}

נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

הנכונה: $7$ . אורך $AB$ לא נחוץ: המשפט מדבר על שני המרחקים בלבד, והם שווים.

Check the answer on elev

Exercise 2

האנך האמצעי לצלע

BC

עובר דרך אמצע הצלע,

D

, ובדרך כלל לא דרך הקודקוד

A

הוכיחו או הפריכו: בכל משולש, האנך האמצעי לצלע עובר דרך הקודקוד שממול לצלע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

AB \neq AC

דוגמה נגדית: במשולש שבו $AB = 5$ ו- $AC = 8$ הקודקוד $A$ אינו שווה-מרחק מ- $B$ ומ- $C$

AB \neq AC \ \Rightarrow \ A \notin \ell

$\ell$ האנך האמצעי של $BC$ : לפי המקום הגאומטרי, $A$ נמצאת עליו רק אם $AB = AC$

הטענה לא נכונה. האנך האמצעי לצלע $BC$ עובר דרך $A$ רק כש- $AB = AC$ . זו טעות של ערבוב בין אנך אמצעי לגובה.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש ישר זווית, איפה נמצאת נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים?

באמצע הניצב הארוך
באמצע היתר
בקודקוד הזווית הישרה
מחוץ למשולש

Show the answer and the solution

Answer: B באמצע היתר

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים: התיכון ליתר שווה למחצית היתר

הנכונה: באמצע היתר. בקודקוד הזווית הישרה נפגשים הגבהים, לא האנכים האמצעיים.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר.

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $O$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OA$ .

Show the answer and the solution

Answer: 7.5

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

OA = OC

$O$ אמצע היתר: במשולש ישר זווית האנכים האמצעיים נפגשים באמצע היתר

\begin{aligned}OA &= \frac{AC}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

חצי היתר

$OA = 7.5$ , וכך גם $OB$ ו- $OC$ . שני צעדים: היתר, ואז חצי ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש קהה זווית, איפה נפגשים שלושת הגבהים או המשכיהם?

מחוץ למשולש
בתוך המשולש
על הצלע הארוכה
בקודקוד הזווית הקהה

Show the answer and the solution

Answer: A מחוץ למשולש

Worked solution:

\angle B > 90^\circ

הגבהים מ- $A$ ומ- $C$ נופלים על המשכי הצלעות, מחוץ למשולש

\Rightarrow

המשכי הגבהים נפגשים מחוץ למשולש

הנכונה: מחוץ למשולש. בקודקוד הזווית נפגשים הגבהים רק כשהזווית ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 6

CH

הגובה ליתר. שני הניצבים

AC

ו-

BC

הם גם הם גבהים של המשולש.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CH$ הגובה ליתר $AB$ . מצאו את $CH$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4.8

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח בעזרת הניצבים

\begin{aligned}\frac{10 \cdot CH}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ CH \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח בעזרת היתר והגובה ליתר

$CH = 4.8$ . הגובה ליתר קצר משני הניצבים, וזה תמיד כך: הוא הקטע הקצר ביותר מ- $C$ אל $AB$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל סוג משולש את מיקום נקודת המפגש של הגבהים (או המשכיהם).

חד זוויות
ישר זווית
קהה זווית

בקודקוד הזווית הישרה
בתוך המשולש
מחוץ למשולש

Show the answer and the solution

Answer: חד זוויות — בתוך המשולש · ישר זווית — בקודקוד הזווית הישרה · קהה זווית — מחוץ למשולש

Worked solution:

\angle C = 90^\circ \ \Rightarrow \ AC \perp BC

במשולש ישר זווית שני הניצבים הם גבהים, ושניהם עוברים דרך $C$

שלושה סוגים, שלושה מקומות. הכלל לזכור: ככל שהזווית הגדולה גדלה, נקודת המפגש «נדחפת» מהפנים אל הקודקוד ואז החוצה.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 10$ ו- $BC = 12$ . $AD$ הגובה לבסיס $BC$ . השלימו.

$BD =$ ____ , $AD =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $BD =$ 6 , $AD =$ 8

Worked solution:

\begin{aligned}BD &= DC \\ &= 6\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AD^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ AD \\ &= 8\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$

$BD = 6$ ו- $AD = 8$ . הגובה $AD$ הוא כאן גם התיכון, גם חוצה זווית הראש וגם האנך האמצעי ל- $BC$ . ארבעה שמות, קטע אחד.

Check the answer on elev

Exercise 9

$P$ נקודה על האנך האמצעי של הקטע $AB$ . נתון $PA = 2x + 1$ ו- $PB = 3x - 4$ . מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

PA = PB

נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע

\begin{aligned}2x + 1 &= 3x - 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 11\end{aligned}

בדיקה ✓

$x = 5$ . המשפט הופך שרטוט למשוואה: שוויון מרחקים, ואז אלגברה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון: $PA = PB$ ו- $QA = QB$ . הוכיחו: הישר $PQ$ הוא האנך האמצעי של הקטע $AB$ .

$PA = PB$
$QA = QB$

$PQ$ הוא האנך האמצעי של $AB$

Show the answer and the solution

$P$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ — נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו (המשפט ההפוך)
$Q$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ — אותו נימוק: $QA = QB$
$PQ$ הוא האנך האמצעי של $AB$ — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד, ושתיהן על האנך האמצעי

Worked solution:

\begin{aligned}PA &= PB \\ \ QA &= QB \ \Rightarrow \ P \\ Q \in \ell\end{aligned}

$\ell$ האנך האמצעי של $AB$ : המשפט ההפוך, פעמיים

PQ = \ell

דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד

בלי חפיפת משולשים בכלל. המקום הגאומטרי עושה את העבודה: כל נקודה ששוות-מרחק מ- $A$ ומ- $B$ נמצאת על אותו ישר.

Check the answer on elev

הגדרה ומקום גאומטרי

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

גבהים

Exercises

Keep practising on elev