מבחן לדוגמא — שליש ראשון

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן לדוגמא — שליש ראשון. 5 שאלות עם סעיפים, 18 סעיפים בסך הכול, 75 דקות. החומר: גאומטריה אנליטית, דמיון משולשים, טריגונומטריה במשולש ישר זווית, טכניקה אלגברית, הפונקציה הריבועית וסטטיסטיקה תיאורית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובסטטיסטיקה ספרו תלמידים, לא עמודות.

Exercises

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית

Exercise 1

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: A(−1,1)A(-1, 1), B(3,−1)B(3, -1) ו-C(5,3)C(5, 3). א. מצאו את שיעורי הקודקוד DD.

D=D = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: D=D = ( 1 , 5 )

Worked solution:

MAC=(−1+52,1+32)=(2,2)\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right) \\ &= (2, 2)\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן MM הוא גם אמצע BDBD

3+xD2=2−1+yD2=2\begin{aligned}\frac{3 + x_D}{2} &= 2 \\ \quad \frac{-1 + y_D}{2} &= 2\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, עם BB ו-DD

D=(1,5)D = (1, 5)

פותרים כל משוואה

D(1,5)D(1, 5). המלכודת: לחשב את אמצע ABAB או את אמצע BCBC. הנקודה המשותפת לשני האלכסונים היא אמצע ACAC, ו-DD נמצא בקצה השני של האלכסון BDBD.

Check the answer on elev

Exercise 2

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: A(−1,1)A(-1, 1), B(3,−1)B(3, -1) ו-C(5,3)C(5, 3). הקודקוד הרביעי הוא D(1,5)D(1, 5). ב. איזה מרובע הוא ABCDABCD? היעזרו בשיפועים ובאורכי הצלעות.

  1. ריבוע
  2. מלבן שאינו ריבוע
  3. מעוין שאינו ריבוע
  4. מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
Show the answer and the solution

Answer: A ריבוע

Worked solution:

mAB=−1−13−(−1)=−12mBC=3−(−1)5−3=2\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1-1}{3-(-1)} \\ &= -\frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3-(-1)}{5-3} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע: הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

−12⋅2=−1⇒AB⊥BC-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \Rightarrow AB \perp BC

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

AB=42+22=20BC=22+42=20\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad BC &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק בין שתי נקודות

AB=BCAB = BC

מלבן ששתי צלעות סמוכות בו שוות הוא ריבוע

ABCDABCD ריבוע. המלכודת: לעצור אחרי הזווית הישרה ולענות «מלבן». צריך לבדוק גם את אורכי הצלעות הסמוכות.

Check the answer on elev

Exercise 3

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. נתונים שלושה מקודקודיה: A(−1,1)A(-1, 1), B(3,−1)B(3, -1) ו-C(5,3)C(5, 3). הקודקוד הרביעי הוא D(1,5)D(1, 5), ו-ABCDABCD ריבוע. ג. חשבו את שטח ABCDABCD.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

AB=20AB = \sqrt{20}

אורך הצלע, מסעיף ב

S=AB2=(20)2=20\begin{aligned}S &= AB^2 \\ &= (\sqrt{20})^2 \\ &= 20\end{aligned}

שטח ריבוע: צלע בריבוע

AC=BD=40⇒S=AC⋅BD2=402=20\begin{aligned}AC &= BD \\ &= \sqrt{40} \Rightarrow S \\ &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

בדיקה: שטח ריבוע הוא חצי מכפלת האלכסונים

השטח 2020. המלכודת: לכתוב 20\sqrt{20} — זה אורך הצלע, לא השטח.

Check the answer on elev

שאלה 2 — דמיון משולשים וטריגונומטריה

Exercise 4

CABDE

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. הנקודה DD היא אמצע ACAC. דרך DD העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB בנקודה EE. א. הוכיחו כי △ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB, וחשבו את DEDE.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

∠ADE=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים DE∥CBDE \parallel CB

△ADE∼△ACB\triangle ADE \sim \triangle ACB

משולשים דומים לפי ז.ז

DECB=ADAC=48⇒DE=3\begin{aligned}\frac{DE}{CB} &= \frac{AD}{AC} \\ &= \frac{4}{8} \Rightarrow DE \\ &= 3\end{aligned}

במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות

DE=3DE = 3: יחס הדמיון 12\frac{1}{2}. המלכודת: להתאים צלעות לפי המיקום בשרטוט במקום לפי הזוויות — DEDE מול ∠A\angle A מתאימה ל-CBCB מול ∠A\angle A.

Check the answer on elev

Exercise 5

CABDE

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. הנקודה DD היא אמצע ACAC. דרך DD העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB בנקודה EE. המשולשים ADEADE ו-ACBACB דומים ביחס 12\frac{1}{2}. ב. חשבו את שטח הטרפז DCBEDCBE.

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

SACB=8⋅62=24\begin{aligned}S_{ACB} &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

SADESACB=(12)2=14⇒SADE=6\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ACB}} &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 6\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

SDCBE=24−6=18\begin{aligned}S_{DCBE} &= 24 - 6 \\ &= 18\end{aligned}

שטח הטרפז: המשולש הגדול פחות הקטן

שטח הטרפז 1818. המלכודת: לקחת את יחס השטחים 12\frac{1}{2} כמו יחס הצלעות, ולקבל 1212.

Check the answer on elev

Exercise 6

CABDE

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=8AC = 8 ו-BC=6BC = 6. הנקודה DD היא אמצע ACAC. דרך DD העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB בנקודה EE. מסעיף א: DE=3DE = 3. ג. חשבו את הזווית ∠AED\angle AED. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 53.1

Worked solution:

∠ADE=90∘\angle ADE = 90^\circ

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: ∠ADE=∠ACB\angle ADE = \angle ACB

tan⁡∠AED=ADDE=43\begin{aligned}\tan \angle AED &= \frac{AD}{DE} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

במשולש ישר זווית: טנגנס = ניצב מול הזווית חלקי ניצב ליד הזווית

∠AED=tan⁡−1(43)≈53.1∘\angle AED = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ

במחשבון

∠AED≈53.1∘\angle AED \approx 53.1^\circ. המלכודת: לחשב tan⁡−1(34)≈36.9∘\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.9^\circ — זו הזווית AA. הניצב שמול ∠AED\angle AED הוא ADAD.

Check the answer on elev

שאלה 3 — טכניקה אלגברית ומשוואות

Exercise 7

א. צמצמו את השבר x2−9x2+x−6\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}.

  1. x+3x−2\dfrac{x+3}{x-2}
  2. x−3x+2\dfrac{x-3}{x+2}
  3. x−3x−2\dfrac{x-3}{x-2}
  4. −9x−6\dfrac{-9}{x-6}
Show the answer and the solution

Answer: C x−3x−2\dfrac{x-3}{x-2}

Worked solution:

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)

טרינום: מכפלה −6-6, סכום 11

(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)=x−3x−2x≠−3 x≠2\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-2)} &= \frac{x-3}{x-2} \\ \quad x \neq -3 \\ \ x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים את הגורם המשותף, ותחום ההצבה נשאר של השבר המקורי

המלכודת: «לצמצם» את x2x^2 עם x2x^2 ולקבל −9x−6\frac{-9}{x-6}. מצמצמים רק גורמים של מכפלה, אחרי פירוק.

Check the answer on elev

Exercise 8

ב. פתרו את המשוואה xx−2−3x+2=1\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{3}{x+2} = 1.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

x≠2,x≠−2x \neq 2 ,\quad x \neq -2

תחום ההצבה: המכנים שונים מאפס

x(x+2)−3(x−2)=(x−2)(x+2)x(x+2) - 3(x-2) = (x-2)(x+2)

כופלים במכנה המשותף (x−2)(x+2)(x-2)(x+2)

x2+2x−3x+6=x2−4⇒−x=−10\begin{aligned}x^2 + 2x - 3x + 6 &= x^2 - 4 \Rightarrow -x \\ &= -10\end{aligned}

פותחים סוגריים; x2x^2 מתבטל

x=10x = 10

בתחום ההצבה. בדיקה: 108−312=1.25−0.25=1\frac{10}{8} - \frac{3}{12} = 1.25 - 0.25 = 1 ✓

x=10x = 10. המלכודת: לכפול רק את השברים במכנה המשותף ולשכוח את אגף ימין — גם ה-11 נכפל ב-(x−2)(x+2)(x-2)(x+2).

Check the answer on elev

Exercise 9

ג. בשרטוט הגרפים של y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 ושל y=x+1y = x + 1. מצאו את נקודות החיתוך שלהם בדרך אלגברית.

הנקודה עם xx הקטן: ( ____ , ____ ) ; הנקודה עם xx הגדול: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: הנקודה עם xx הקטן: ( -1 , 0 ) ; הנקודה עם xx הגדול: ( 4 , 5 )

Worked solution:

x2−2x−3=x+1x^2 - 2x - 3 = x + 1

בנקודת חיתוך שני ה-yy שווים

x2−3x−4=0⇒(x−4)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

x=−1⇒y=0x=4⇒y=5\begin{aligned}x &= -1 \Rightarrow y \\ &= 0 \\ \quad x &= 4 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר, שהיא הפשוטה

(−1,0)(-1, 0) ו-(4,5)(4, 5). שני פתרונות למערכת: הישר חותך את הפרבולה פעמיים. המלכודת: לעצור אחרי ה-xx ולא למצוא את ה-yy.

Check the answer on elev

שאלה 4 — הפונקציה הריבועית

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. א. מצאו את קודקוד הפרבולה.

הקודקוד: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: הקודקוד: ( 1 , 9 )

Worked solution:

x=−b2a=−22⋅(−1)=1\begin{aligned}x &= -\frac{b}{2a} \\ &= -\frac{2}{2 \cdot (-1)} \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה-xx של הקודקוד

f(1)=−1+2+8=9\begin{aligned}f(1) &= -1 + 2 + 8 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים בפונקציה

f(x)=−(x−1)2+9f(x) = -(x-1)^2 + 9

בדיקה בצורת הקודקוד

הקודקוד (1,9)(1, 9), והוא נקודת מקסימום כי a=−1<0a = -1 < 0. המלכודת: לשכוח את המינוס של aa ולקבל x=−1x = -1.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. הקודקוד הוא (1,9)(1, 9). ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

x=x = ____ (הקטן) ו-x=x = ____ (הגדול)

Show the answer and the solution

Answer: x=x = -2 (הקטן) ו-x=x = 4 (הגדול)

Worked solution:

−x2+2x+8=0⇒x2−2x−8=0\begin{aligned}-x^2 + 2x + 8 &= 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה-xx: f(x)=0f(x) = 0; כופלים ב-−1-1

(x−4)(x+2)=0⇒x=4 x=−2\begin{aligned}(x-4)(x+2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

טרינום: מכפלה −8-8, סכום −2-2

−2+42=1\frac{-2 + 4}{2} = 1

בדיקה: הקודקוד באמצע בין נקודות האפס ✓

x=−2x = -2 ו-x=4x = 4. המלכודת: לקחת את המספרים שבתוך הסוגריים עם הסימן שלהם, ולקבל −4-4 ו-22.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. נקודות האפס שלה x=−2x = -2 ו-x=4x = 4. ג. פתרו את אי-השוויון f(x)>0f(x) > 0.

  1. x<−2x < -2 או x>4x > 4
  2. −2≤x≤4-2 \le x \le 4
  3. −2<x<4-2 < x < 4
  4. x>4x > 4
Show the answer and the solution

Answer: C −2<x<4-2 < x < 4

Worked solution:

a=−1<0a = -1 < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

f(x)>0  ⟺  −2<x<4f(x) > 0 \iff -2 < x < 4

פרבולת מקסימום חיובית בין נקודות האפס

f(0)=8>0f(0) = 8 > 0

בדיקה בנקודה x=0x = 0 שבקטע ✓

הפתרון −2<x<4-2 < x < 4. המלכודת: להעתיק את התבנית של פרבולה פתוחה כלפי מעלה — «מחוץ לשורשים». כאן a<0a < 0, ולכן להפך. ואי-שוויון חזק: הקצוות לא בפנים.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה הפונקציה f(x)=−x2+2x+8f(x) = -x^2 + 2x + 8. הקודקוד שלה הוא (1,9)(1, 9). ד. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k בדיוק שני פתרונות?

  1. k=9k = 9
  2. k<8k < 8
  3. k<9k < 9
  4. k>9k > 9
Show the answer and the solution

Answer: C k<9k < 9

Worked solution:

y=ky = k

פתרונות המשוואה הם נקודות החיתוך של הפרבולה עם הישר האופקי y=ky = k

k<9k < 9

מתחת לקודקוד הישר חותך את פרבולת המקסימום בשתי נקודות

k=9⇒x=1\begin{aligned}k &= 9 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בגובה הקודקוד — פתרון אחד; מעליו — אין פתרון

k<9k < 9. המלכודת: לענות k<8k < 8 כי f(0)=8f(0) = 8. חיתוך עם ציר ה-yy לא משנה כאן — רק הגובה של הקודקוד.

Check the answer on elev

שאלה 5 — סטטיסטיקה תיאורית

Exercise 14

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. א. חשבו את הממוצע של מספר התשובות הנכונות.

Show the answer and the solution

Answer: 7.65

Worked solution:

5⋅1+6⋅3+7⋅5+8⋅6+9⋅3+10⋅2=1535 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 2 = 153

ערך כפול שכיחות, לכל עמודה

xˉ=15320=7.65\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{153}{20} \\ &= 7.65\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים

הממוצע 7.657.65. המלכודת: לחלק ב-66 — מספר העמודות. מחלקים במספר התלמידים, 2020.

Check the answer on elev

Exercise 15

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. ב. מצאו את החציון של מספר התשובות הנכונות.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

n=20n = 20

מספר זוגי של נתונים: החציון הוא ממוצע הנתון ה-1010 והנתון ה-1111

1, 4, 9, 15, 18, 201,\ 4,\ 9,\ 15,\ 18,\ 20

שכיחויות מצטברות

x10=x11=8⇒Me=8\begin{aligned}x_{10} &= x_{11} \\ &= 8 \Rightarrow \text{Me} \\ &= 8\end{aligned}

הנתונים 1010 עד 1515 שווים ל-88

החציון 88. המלכודת: לבחור את העמודה האמצעית בדיאגרמה (77 או 88) בלי לספור תלמידים.

Check the answer on elev

Exercise 16

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. ג. כמה אחוזים מהתלמידים ענו נכון על 99 שאלות לפחות?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

3+2=53 + 2 = 5

«לפחות 99»: 99 או 1010 תשובות נכונות

520⋅100=25%\frac{5}{20} \cdot 100 = 25\%

שכיחות יחסית באחוזים

25%25\%. המלכודת: לספור רק את מי שענו על 99 בדיוק (15%15\%). «לפחות 99» כולל גם את ה-1010.

Check the answer on elev

Exercise 17

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. הממוצע של מספר התשובות הנכונות הוא 7.657.65. הציון בבוחן מחושב כך: 88 נקודות לכל תשובה נכונה, ועוד 2020 נקודות לכל תלמיד. ד. מהו ממוצע הציונים?

Show the answer and the solution

Answer: 81.2

Worked solution:

y=8x+20y = 8x + 20

כל ציון מתקבל ממספר התשובות: כפל ב-88, ואחר כך חיבור 2020

yˉ=8⋅7.65+20=81.2\begin{aligned}\bar{y} &= 8 \cdot 7.65 + 20 \\ &= 81.2\end{aligned}

הממוצע עובר את אותן פעולות

8⋅5+20=608⋅10+20=100\begin{aligned}8 \cdot 5 + 20 &= 60 \\ \quad 8 \cdot 10 + 20 &= 100\end{aligned}

בדיקה: הציונים בין 6060 ל-100100 ✓

ממוצע הציונים 81.281.2. המלכודת: לחבר את 2020 ואז לכפול ב-88. סדר הפעולות על הממוצע הוא סדר הפעולות על כל ציון.

Check the answer on elev

Exercise 18

מספר התשובות הנכונות בבוחן — 20 תלמידים
567891001234567מספר תשובות נכונותמספר תלמידים

בבוחן של 1010 שאלות השתתפו 2020 תלמידים. בדיאגרמה: כמה תלמידים ענו נכון על כל מספר של שאלות. הציון: 88 נקודות לכל תשובה נכונה ועוד 2020. ה. הוכיחו או הפריכו: הטווח של הציונים שווה לטווח של מספר התשובות הנכונות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

10−5=510 - 5 = 5

טווח מספר התשובות: הגדול פחות הקטן

100−60=40=8⋅5\begin{aligned}100 - 60 &= 40 \\ &= 8 \cdot 5\end{aligned}

טווח הציונים

+20+20

חיבור קבוע לא משנה את הטווח; כפל ב-88 מכפיל אותו ב-88

לא נכון: הטווח גדל מ-55 ל-4040. המלכודת: לחשוב שמדד פיזור לא משתנה בכלל. רק ה-+20+20 לא משנה אותו; ה-×8\times 8 כן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade