מבחן לדוגמא — סוף שנה

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן לדוגמא — סוף שנה. 7 שאלות עם סעיפים, 24 סעיפים בסך הכול, 120 דקות. החומר: כל החומר של השנה — גאומטריה אנליטית, דמיון וטריגונומטריה, פונקציית השורש, בעיית ערך קיצון, משוואות, עץ הסתברויות וסטיית תקן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercises

שאלה 1 — גאומטריה אנליטית

Exercise 1

נתון המשולש ABCABC: A(1,5)A(1, 5), B(5,1)B(5, 1), C(−1,1)C(-1, 1). CHCH הוא הגובה לצלע ABAB. א. מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -1 x+x + 6

Worked solution:

mAB=1−55−1=−1\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1-5}{5-1} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

y−5=−1(x−1)⇒y=−x+6\begin{aligned}y - 5 &= -1(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -x + 6\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

−5+6=1-5 + 6 = 1

בדיקה עם BB ✓

y=−x+6y = -x + 6. השיפוע −1-1: הישר יורד בזווית של 45∘45^\circ עם ציר ה-xx. המלכודת: להחליף מונה ומכנה בשיפוע — כאן זה לא משנה, ולכן בודקים עם נקודה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון המשולש ABCABC: A(1,5)A(1, 5), B(5,1)B(5, 1), C(−1,1)C(-1, 1). CHCH הוא הגובה לצלע ABAB. משוואת ABAB היא y=−x+6y = -x + 6. ב. מצאו את שיעורי הנקודה HH.

H=H = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: H=H = ( 2 , 4 )

Worked solution:

mCH⋅(−1)=−1⇒mCH=1\begin{aligned}m_{CH} \cdot (-1) &= -1 \Rightarrow m_{CH} \\ &= 1\end{aligned}

הגובה מאונך לצלע: מכפלת השיפועים −1-1

y−1=1⋅(x+1)⇒y=x+2\begin{aligned}y - 1 &= 1 \cdot (x + 1) \Rightarrow y \\ &= x + 2\end{aligned}

ישר דרך CC בשיפוע 11

−x+6=x+2⇒x=2 y=4\begin{aligned}-x + 6 &= x + 2 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

HH היא נקודת החיתוך של CHCH עם ABAB

H(2,4)H(2, 4). המלכודת: לקחת את אמצע ABAB, (3,3)(3, 3) — זה עקב התיכון, לא עקב הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המשולש ABCABC: A(1,5)A(1, 5), B(5,1)B(5, 1), C(−1,1)C(-1, 1). CHCH הוא הגובה לצלע ABAB. עקב הגובה הוא H(2,4)H(2, 4). ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

AB=42+42=42\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

אורך הבסיס, בנוסחת המרחק

CH=32+32=32\begin{aligned}CH &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

אורך הגובה, בנוסחת המרחק

S=42⋅322=242=12\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה; 2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2

השטח 1212. בדיקה: הצלע BCBC אופקית באורך 66, והגובה אליה 44, ו-6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12 ✓. המלכודת: לכפול את ABAB ב-CACA — גובה חייב להיות מאונך לבסיס.

Check the answer on elev

שאלה 2 — דמיון וטריגונומטריה במשולש ישר זווית

Exercise 4

ABCDM

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CDCD הוא הגובה ליתר, ו-CMCM הוא התיכון ליתר. א. מדוע △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC?

  1. צ.ז.צ — ACAC משותפת, והזווית AA משותפת
  2. המשולשים חופפים, ולכן גם דומים
  3. צ.צ.צ — שלוש הצלעות פרופורציוניות, לפי הנתונים
  4. ז.ז — הזווית AA משותפת, ו-∠ADC=∠ACB=90∘\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ
Show the answer and the solution

Answer: D ז.ז — הזווית AA משותפת, ו-∠ADC=∠ACB=90∘\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ

Worked solution:

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת לשני המשולשים

∠ADC=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

CDCD גובה, ו-CC זווית ישרה בנתון

△ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC

משולשים דומים לפי ז.ז

ז.ז. המלכודת: צ.ז.צ דורש יחס שווה בין שני זוגות צלעות, ו-ACAC אינה «משותפת» באותו תפקיד בשני המשולשים: בגדול היא ניצב, בקטן היא יתר.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDM

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CDCD הוא הגובה ליתר, ו-CMCM הוא התיכון ליתר. △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC. ב. חשבו את ADAD.

Show the answer and the solution

Answer: 3.6

Worked solution:

AB=62+82=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ABCABC

ADAC=ACAB\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}

משולשים דומים: ADAD מול ∠ACD\angle ACD מתאימה ל-ACAC מול ∠B\angle B

AD=6210=3.6\begin{aligned}AD &= \frac{6^2}{10} \\ &= 3.6\end{aligned}

פותרים

AD=3.6AD = 3.6. המלכודת: ADAC=ACBC\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC}, כלומר 4.54.5 — התאמה לפי מיקום ולא לפי הזוויות. היתר של הקטן (ACAC) מתאים ליתר של הגדול (ABAB).

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDM

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CDCD הוא הגובה ליתר, ו-CMCM הוא התיכון ליתר. מסעיף ב: AB=10AB = 10. ג. חשבו את CMCM.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

CM=12ABCM = \frac{1}{2} AB

במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר

CM=102=5\begin{aligned}CM &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

מציבים

CM=5CM = 5, ולכן גם MA=MB=MC=5MA = MB = MC = 5. המלכודת: לחשב את CMCM בפיתגורס בלי ניצב מתאים — המשפט נותן אותו מיד.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDM

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CDCD הוא הגובה ליתר, ו-CMCM הוא התיכון ליתר. △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC, ויחס הדמיון ACAB=35\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}. ד. חשבו את שטח המשולש ACDACD.

Show the answer and the solution

Answer: 8.64

Worked solution:

SABC=6⋅82=24\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

SACDSABC=(35)2=925\begin{aligned}\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

SACD=24⋅925=8.64\begin{aligned}S_{ACD} &= 24 \cdot \frac{9}{25} \\ &= 8.64\end{aligned}

מציבים

CD=6⋅810=4.83.6⋅4.82=8.64\begin{aligned}CD &= \frac{6 \cdot 8}{10} \\ &= 4.8 \\ \quad \frac{3.6 \cdot 4.8}{2} &= 8.64\end{aligned}

בדיקה: הגובה ליתר, ואז חצי בסיס כפול גובה ✓

SACD=8.64S_{ACD} = 8.64. המלכודת: לכפול ב-35\frac{3}{5} ולקבל 14.414.4 — יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDM

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. CDCD הוא הגובה ליתר, ו-CMCM הוא התיכון ליתר. מהסעיפים הקודמים: AD=3.6AD = 3.6 ו-AM=5AM = 5. נתון גם: CD=4.8CD = 4.8. ה. חשבו את הזווית ∠DCM\angle DCM. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 16.3

Worked solution:

DM=AM−AD=5−3.6=1.4\begin{aligned}DM &= AM - AD \\ &= 5 - 3.6 \\ &= 1.4\end{aligned}

DD בין AA ל-MM

tan⁡∠DCM=DMCD=1.44.8\begin{aligned}\tan \angle DCM &= \frac{DM}{CD} \\ &= \frac{1.4}{4.8}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית CDMCDM: ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠DCM=tan⁡−1(1.44.8)≈16.3∘\angle DCM = \tan^{-1}\left(\frac{1.4}{4.8}\right) \approx 16.3^\circ

במחשבון

∠MCA=∠A≈53.1∘∠ACD=90∘−53.1∘=36.9∘\begin{aligned}\angle MCA &= \angle A \approx 53.1^\circ \\ \quad \angle ACD &= 90^\circ - 53.1^\circ \\ &= 36.9^\circ\end{aligned}

בדיקה: MA=MCMA = MC (משולש שווה שוקיים) — וההפרש 53.1∘−36.9∘≈16.3∘53.1^\circ - 36.9^\circ \approx 16.3^\circ ✓

∠DCM≈16.3∘\angle DCM \approx 16.3^\circ. המלכודת: לחשב tan⁡−1(4.81.4)\tan^{-1}\left(\frac{4.8}{1.4}\right) — זו הזווית ∠CMD\angle CMD.

Check the answer on elev

שאלה 3 — פונקציית השורש

Exercise 9

הגרף של ff
-202468101214-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=x12−xf(x) = x\sqrt{12 - x}. א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. x<12x < 12
  2. x≥0x \ge 0
  3. x≥12x \ge 12
  4. x≤12x \le 12
Show the answer and the solution

Answer: D x≤12x \le 12

Worked solution:

12−x≥012 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי

x≤12x \le 12

פותרים

f(12)=12⋅0=0\begin{aligned}f(12) &= 12 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה x=12x = 12 בתחום: שורש של אפס מוגדר

x≤12x \le 12. המלכודת: לכתוב x<12x < 12 — השורש של 00 מוגדר. ו-x≥0x \ge 0 שגוי: ה-xx שמחוץ לשורש יכול להיות שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

הגרף של ff
-202468101214-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=x12−xf(x) = x\sqrt{12 - x}. ב. מהי הנגזרת f′(x)f'(x), בתחום x<12x < 12?

  1. 1212−x\dfrac{1}{2\sqrt{12 - x}}
  2. −x212−x\dfrac{-x}{2\sqrt{12 - x}}
  3. 12−x+x212−x\sqrt{12 - x} + \dfrac{x}{2\sqrt{12 - x}}
  4. 24−3x212−x\dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}
Show the answer and the solution

Answer: D 24−3x212−x\dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}

Worked solution:

(12−x)′=−1212−x(\sqrt{12 - x})' = \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}}

נגזרת של g(x)\sqrt{g(x)} היא g′(x)2g(x)\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}, ו-g′(x)=−1g'(x) = -1

f′(x)=1⋅12−x+x⋅−1212−xf'(x) = 1 \cdot \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}}

נגזרת של מכפלה

=2(12−x)−x212−x=24−3x212−x= \frac{2(12 - x) - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}

מכנה משותף

המלכודת: לשכוח את נגזרת הפנים, −1-1, ולקבל סימן ++ באיבר השני. ובקצה x=12x = 12 הנגזרת לא מוגדרת — מכנה אפס.

Check the answer on elev

Exercise 11

הגרף של ff
-202468101214-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=x12−xf(x) = x\sqrt{12 - x}. הנגזרת: f′(x)=24−3x212−xf'(x) = \dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff. (בקצה התחום, (12,0)(12, 0), יש נקודת קיצון נוספת.)

נקודת מקסימום: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: נקודת מקסימום: ( 8 , 16 )

Worked solution:

24−3x=0⇒x=8\begin{aligned}24 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

f′(x)=0f'(x) = 0: המונה אפס

f′(7)>0,f′(10)<0f'(7) > 0 ,\quad f'(10) < 0

טבלת סימנים: המכנה חיובי, והסימן הוא סימן המונה

f(8)=84=16\begin{aligned}f(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

מציבים ב-ff

מקסימום (8,16)(8, 16); בקצה (12,0)(12, 0) יש מינימום מקומי, כי ff יורדת אליו. המלכודת: להציב x=8x = 8 בנגזרת או לשכוח שהשורש של 44 הוא 22.

Check the answer on elev

Exercise 12

הגרף של ff
-202468101214-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=x12−xf(x) = x\sqrt{12 - x}. הנגזרת: f′(x)=24−3x212−xf'(x) = \dfrac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=3x = 3.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 2.5 x+x + 1.5

Worked solution:

f(3)=39=9\begin{aligned}f(3) &= 3\sqrt{9} \\ &= 9\end{aligned}

נקודת ההשקה (3,9)(3, 9)

f′(3)=24−92⋅3=156=2.5\begin{aligned}f'(3) &= \frac{24 - 9}{2 \cdot 3} \\ &= \frac{15}{6} \\ &= 2.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−9=2.5(x−3)⇒y=2.5x+1.5\begin{aligned}y - 9 &= 2.5(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 2.5x + 1.5\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=2.5x+1.5y = 2.5x + 1.5. המלכודת: לחשב 12−3\sqrt{12 - 3} כ-12−3\sqrt{12} - \sqrt{3}. מחשבים קודם את מה שבתוך השורש: 9=3\sqrt{9} = 3.

Check the answer on elev

שאלה 4 — בעיית ערך קיצון

Exercise 13

הקודקודים AA ו-BB של המלבן ABCDABCD נמצאים על ציר ה-xx, והקודקודים CC ו-DD על הפרבולה y=12−x2y = 12 - x^2. המלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy, ו-xx הוא שיעור ה-xx של BB (0<x<120 < x < \sqrt{12}). א. הביעו את שטח המלבן בעזרת xx.

  1. S(x)=2x+2(12−x2)S(x) = 2x + 2(12 - x^2)
  2. S(x)=2x2(12−x)S(x) = 2x^2(12 - x)
  3. S(x)=12x−x3S(x) = 12x - x^3
  4. S(x)=24x−2x3S(x) = 24x - 2x^3
Show the answer and the solution

Answer: D S(x)=24x−2x3S(x) = 24x - 2x^3

Worked solution:

AB=2xAB = 2x

המלבן סימטרי: A(−x,0)A(-x, 0) ו-B(x,0)B(x, 0)

BC=12−x2BC = 12 - x^2

הגובה הוא ה-yy של CC על הפרבולה

S(x)=2x(12−x2)=24x−2x3\begin{aligned}S(x) &= 2x(12 - x^2) \\ &= 24x - 2x^3\end{aligned}

שטח: אורך כפול רוחב

המלכודת: לקחת xx בתור הבסיס כולו ולקבל 12x−x312x - x^3 — זה רק חצי המלבן. xx הוא חצי הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 14

הקודקודים AA ו-BB של המלבן ABCDABCD נמצאים על ציר ה-xx, והקודקודים CC ו-DD על הפרבולה y=12−x2y = 12 - x^2. המלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy, ו-xx הוא שיעור ה-xx של BB (0<x<120 < x < \sqrt{12}). שטח המלבן: S(x)=24x−2x3S(x) = 24x - 2x^3. ב. לאיזה ערך של xx השטח מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

S′(x)=24−6x2S'(x) = 24 - 6x^2

גוזרים

24−6x2=0⇒x2=4⇒x=2\begin{aligned}24 - 6x^2 &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=−2x = -2 מחוץ לתחום 0<x<120 < x < \sqrt{12}

S′(1)=18>0S′(3)=−30<0\begin{aligned}S'(1) &= 18 > 0 \\ \quad S'(3) &= -30 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

x=2x = 2. המלכודת: לא לבדוק את סוג הקיצון. בבעיית קיצון צריך להראות שזה מקסימום, בטבלה או בקצוות התחום.

Check the answer on elev

Exercise 15

הקודקודים AA ו-BB של המלבן ABCDABCD נמצאים על ציר ה-xx, והקודקודים CC ו-DD על הפרבולה y=12−x2y = 12 - x^2. המלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy, ו-xx הוא שיעור ה-xx של BB (0<x<120 < x < \sqrt{12}). השטח מקסימלי כאשר x=2x = 2. ג. מהו השטח המקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

AB=2⋅2=4BC=12−22=8\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 2 \\ &= 4 \\ \quad BC &= 12 - 2^2 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בצלעות

S=4⋅8=32\begin{aligned}S &= 4 \cdot 8 \\ &= 32\end{aligned}

אורך כפול רוחב

S(2)=48−16=32\begin{aligned}S(2) &= 48 - 16 \\ &= 32\end{aligned}

בדיקה בפונקציית השטח ✓

השטח המקסימלי 3232. המלכודת: לענות 22 — זה ה-xx שבו מתקבל המקסימום, לא ערך המקסימום.

Check the answer on elev

שאלה 5 — משוואות

Exercise 16

א. פתרו את המשוואה x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0. היעזרו בהצבה t=x2t = x^2.

הפתרונות, מהקטן לגדול: ____ , ____ , ____ , ____

Show the answer and the solution

Answer: הפתרונות, מהקטן לגדול: -2 , -1 , 1 , 2

Worked solution:

t=x2⇒t2−5t+4=0\begin{aligned}t &= x^2 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה: משוואה ממעלה שנייה ב-tt

(t−1)(t−4)=0⇒t=1 t=4\begin{aligned}(t - 1)(t - 4) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

מפרקים

x2=1⇒x=±1x2=4⇒x=±2\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1 \\ \quad x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל-xx: לכל t>0t > 0 שני פתרונות

ארבעה פתרונות: −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. המלכודת: לעצור ב-t=1t = 1 ו-t=4t = 4 — אלה ערכי tt, ומכל אחד יוצאים שני ערכי xx.

Check the answer on elev

Exercise 17

ב. פתרו את המשוואה x+7=x+1\sqrt{x + 7} = x + 1.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x+7=(x+1)2=x2+2x+1\begin{aligned}x + 7 &= (x + 1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בריבוע

x2+x−6=0⇒(x+3)(x−2)=0\begin{aligned}x^2 + x - 6 &= 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

x=2: 9=3=2+1\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2 + 1\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: מתקיים

x=−3: 4=2≠−2\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

פתרון זר: שורש ריבועי אינו שלילי

x=2x = 2 בלבד. המלכודת: להשאיר את x=−3x = -3. העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

Check the answer on elev

שאלה 6 — עץ הסתברויות

Exercise 18

בחירת קופסה ואחר כך כדור
1/32/33/52/51/43/4קובייהלבנהשחורהאדוםכחולאדוםכחול

בקופסה לבנה 33 כדורים אדומים ו-22 כחולים; בקופסה שחורה כדור אדום אחד ו-33 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 11 או 22 בוחרים בקופסה הלבנה, אחרת בשחורה. מוציאים מהקופסה שנבחרה כדור אחד. א. מה ההסתברות שהכדור אדום?

  1. 1130\dfrac{11}{30}
  2. 25\dfrac{2}{5}
  3. 15\dfrac{1}{5}
  4. 1720\dfrac{17}{20}
Show the answer and the solution

Answer: A 1130\dfrac{11}{30}

Worked solution:

P(W)=26=13\begin{aligned}P(W) &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

WW — בוחרים בקופסה הלבנה: שתי תוצאות מתוך שש בקובייה

13⋅35=1523⋅14=16\begin{aligned}\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{1}{5} \\ \quad \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{1}{6}\end{aligned}

כופלים לאורך כל מסלול שמסתיים באדום

P(R)=15+16=1130\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{11}{30}\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את המסלולים

1130\frac{11}{30}. המלכודת: לחבר 35+14=1720\frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{17}{20} בלי לכפול בהסתברות לבחור כל קופסה. לאורך מסלול כופלים; בין מסלולים מחברים.

Check the answer on elev

Exercise 19

בחירת קופסה ואחר כך כדור
1/32/33/52/51/43/4קובייהלבנהשחורהאדוםכחולאדוםכחול

בקופסה לבנה 33 כדורים אדומים ו-22 כחולים; בקופסה שחורה כדור אדום אחד ו-33 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 11 או 22 בוחרים בקופסה הלבנה, אחרת בשחורה. מוציאים מהקופסה שנבחרה כדור אחד. ההסתברות שהכדור אדום היא 1130\frac{11}{30}. ב. הכדור שהוצא אדום. מה ההסתברות שהוא בא מהקופסה הלבנה?

  1. 35\dfrac{3}{5}
  2. 511\dfrac{5}{11}
  3. 15\dfrac{1}{5}
  4. 611\dfrac{6}{11}
Show the answer and the solution

Answer: D 611\dfrac{6}{11}

Worked solution:

P(W∣R)=P(W∩R)P(R)P(W \mid R) = \frac{P(W \cap R)}{P(R)}

WW — הקופסה הלבנה, RR — כדור אדום. הסתברות מותנית (נוסחת בייס)

1/511/30=15⋅3011=611\begin{aligned}\frac{1/5}{11/30} &= \frac{1}{5} \cdot \frac{30}{11} \\ &= \frac{6}{11}\end{aligned}

המונה: המסלול לבנה-אדום מסעיף א

611\frac{6}{11}. המלכודת: לענות 35\frac{3}{5} — זו P(R∣W)P(R \mid W), ההסתברות ההפוכה. ו-15\frac{1}{5} היא החיתוך, בלי לחלק.

Check the answer on elev

Exercise 20

שני כדורים מהקופסה הלבנה, בלי החזרה
3/52/52/42/43/41/4הוצאה ראשונהאדוםכחולאדוםכחולאדוםכחול

בקופסה לבנה 33 כדורים אדומים ו-22 כחולים. מוציאים ממנה שני כדורים, בזה אחר זה, בלי החזרה. R1R_1 — הראשון אדום, R2R_2 — השני אדום, B1B_1 ו-B2B_2 — כחול. ג. מה ההסתברות ששני הכדורים בצבעים שונים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

P(R1∩B2)=35⋅24=310\begin{aligned}P(R_1 \cap B_2) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

אדום ואחר כך כחול. בלי החזרה: בהוצאה השנייה נשארו 44 כדורים

P(B1∩R2)=25⋅34=310\begin{aligned}P(B_1 \cap R_2) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

כחול ואחר כך אדום: המסלול השני

310+310=0.6\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 0.6

שני מסלולים זרים: מחברים

0.60.6. המלכודת: לחשב רק «אדום ואחר כך כחול». «צבעים שונים» הם שני מסלולים בעץ.

Check the answer on elev

Exercise 21

שני כדורים מהקופסה הלבנה, בלי החזרה
3/52/52/42/43/41/4הוצאה ראשונהאדוםכחולאדוםכחולאדוםכחול

בקופסה לבנה 33 כדורים אדומים ו-22 כחולים. מוציאים ממנה שני כדורים, בזה אחר זה, בלי החזרה. R1R_1 — הראשון אדום, R2R_2 — השני אדום, B1B_1 ו-B2B_2 — כחול. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הכדור הראשון אדום» ו«הכדור השני אדום» בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

P(R2)=35⋅24+25⋅34=35\begin{aligned}P(R_2) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

ההסתברות שהשני אדום, בשני המסלולים

P(R2∣R1)=24=12\begin{aligned}P(R_2 \mid R_1) &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

אחרי אדום נשארו 22 אדומים מתוך 44

12≠35\frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}

בלתי תלויים אם ורק אם P(R2∣R1)=P(R2)P(R_2 \mid R_1) = P(R_2)

לא נכון: המאורעות תלויים — ההוצאה הראשונה משנה את תוכן הקופסה. עם החזרה הם היו בלתי תלויים. המלכודת: להסיק מ-P(R2)=P(R1)=35P(R_2) = P(R_1) = \frac{3}{5} שאין תלות.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פיזור וסטיית תקן

Exercise 22

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים
123450246810121416182022יוםטמפרטורה במעלות

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: 14,16,17,18,2014, 16, 17, 18, 20. א. חשבו את הטמפרטורה הממוצעת.

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

14+16+17+18+20=8514 + 16 + 17 + 18 + 20 = 85

סכום הנתונים

xˉ=855=17\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{85}{5} \\ &= 17\end{aligned}

מחלקים במספר הימים

הממוצע 17∘17^\circ. כאן הוא שווה גם לחציון — הנתונים סימטריים סביב 1717.

Check the answer on elev

Exercise 23

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים
123450246810121416182022יוםטמפרטורה במעלות

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: 14,16,17,18,2014, 16, 17, 18, 20. הממוצע 1717. ב. חשבו את סטיית התקן.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

−3, −1, 0, 1, 3-3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטייה של כל נתון מהממוצע

σ2=9+1+0+1+95=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: ממוצע ריבועי הסטיות

σ=4=2\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן: שורש השונות

סטיית התקן 2∘2^\circ. המלכודת: לעצור בשונות, 44. ומי שמחבר את הסטיות בלי ריבוע מקבל 00 תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 24

הטמפרטורה בצהריים בחמישה ימים
123450246810121416182022יוםטמפרטורה במעלות

בדיאגרמה: הטמפרטורה בצהריים בירושלים בחמישה ימים של חורף, במעלות צלזיוס: 14,16,17,18,2014, 16, 17, 18, 20. הממוצע 1717 וסטיית התקן 22. ממירים כל נתון למעלות פרנהייט לפי F=1.8C+32F = 1.8C + 32. ג. מהי סטיית התקן של הטמפרטורות בפרנהייט?

  1. 22
  2. 3434
  3. 35.635.6
  4. 3.63.6
Show the answer and the solution

Answer: D 3.63.6

Worked solution:

+32+32

הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים יחד: הפיזור לא משתנה

×1.8\times 1.8

כפל בקבוע חיובי מכפיל את סטיית התקן באותו קבוע

σF=1.8⋅2=3.6xˉF=1.8⋅17+32=62.6\begin{aligned}\sigma_F &= 1.8 \cdot 2 \\ &= 3.6 \\ \quad \bar{x}_F &= 1.8 \cdot 17 + 32 \\ &= 62.6\end{aligned}

והממוצע עובר את שתי הפעולות

3.63.6. המלכודת: להפעיל על סטיית התקן את הנוסחה כולה ולקבל 35.635.6. ה-+32+32 משנה את הממוצע בלבד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade