מבחן סוף שנה — חזרה 2

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן סוף שנה — חזרה 2. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פולינום, ובעיית ערך קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה אנליטית כתבו את התכונה שאתם משתמשים בה (אלכסונים מאונכים, חוצים זה את זה), ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercises

שאלה 1 — הסתברות

Exercise 1

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. א. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום?

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

\begin{aligned}P(P \cap \overline{D}) &= t \\ \quad P(P \cap D) &= 3t\end{aligned}

נסמן את ההסתברות הקטנה ב- $t$

\begin{aligned}3t + t &= 0.4 \Rightarrow t \\ &= 0.1\end{aligned}

שני התאים יחד הם כל תלמידי הפסנתר

\begin{aligned}P(P \cap D) &= 3 \cdot 0.1 \\ &= 0.3\end{aligned}

$0.3$ . המלכודת: להבין «פי $3$ » כאילו $3$ מכלל התלמידים מתאמנים — היחס הוא רק בתוך שורת הפסנתר, שסכומה $0.4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. מסעיף א: $D$ . ב. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מתאמן כל יום?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\begin{aligned}P(G) &= 1 - 0.4 \\ &= 0.6\end{aligned}

המשלים של פסנתר

\begin{aligned}P(G \cap D) &= 0.6 \cdot \frac{1}{3} \\ &= 0.2\end{aligned}

$\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה: כופלים בהסתברות לגיטרה

\begin{aligned}P(D) &= 0.3 + 0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

מחברים את שני התאים של עמודת $D$

$0.5$ . המלכודת: לחבר $0.5$ — ה- $\frac{1}{3}$ הוא הסתברות מותנית, ויש לכפול אותו ב- $P(G)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. מסעיף א: $P(P \cap D) = 0.3$ ו- $P(G \cap D) = 0.2$ . ג. ידוע שהתלמיד שנבחר מתאמן כל יום. מה ההסתברות שהוא לומד פסנתר?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

\begin{aligned}P(D) &= 0.3 + 0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

המכנה: הסתברות התנאי

\begin{aligned}P(P \mid D) &= \frac{P(P \cap D)}{P(D)} \\ &= \frac{0.3}{0.5} \\ &= 0.6\end{aligned}

הסתברות מותנית

$0.6$ . שימו לב: רק $0.6$ מכלל התלמידים לומדים פסנתר, אבל בין המתאמנים כל יום הם $60\%$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. מסעיף א: $P(P \cap D) = 0.3$ ו- $P(G \cap D) = 0.2$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «התלמיד לומד פסנתר» ו«התלמיד מתאמן כל יום» בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}P(D \mid P) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הסיכוי להתאמן כל יום בקרב תלמידי הפסנתר

P(D) = 0.5

הסיכוי להתאמן כל יום בקרב כלל התלמידים

0.75 \neq 0.5

בלתי תלויים אם ורק אם $P(D \mid P) = P(D)$

לא נכון: המאורעות תלויים. תלמידי פסנתר מתאמנים כל יום יותר מהממוצע. אותה מסקנה מהמכפלה: $0.4 \cdot 0.5 = 0.2 \neq 0.3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. $40\%$ מהתלמידים לומדים פסנתר. $\frac{1}{3}$ מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי $3$ מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: $P$ — לומד פסנתר, $G$ — לומד גיטרה, $D$ — מתאמן כל יום. בוחרים באקראי שני תלמידים. בבית הספר תלמידים רבים מאוד, ולכן ההסתברויות לא משתנות בין הבחירות. ה. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהשניים לומד גיטרה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.48

Worked solution:

\begin{aligned}P(G) &= 0.6 \\ \quad P(P) &= 0.4\end{aligned}

P(G, P) + P(P, G) = 0.6 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.6

שני סדרים אפשריים: הגיטריסט ראשון או שני

= 0.24 + 0.24 = 0.48

$0.48$ . המלכודת: לחשב רק סדר אחד ולקבל $0.24$ . «בדיוק אחד» לא אומר מי מהשניים.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

Exercise 6

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$x$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $40$ תלמידים. א. מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

9 + 12 + x + 6 + 3 = 40

סכום השכיחויות הוא מספר התלמידים

\begin{aligned}30 + x &= 40 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

$x = 10$ : עשרה תלמידים איחרו פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $40$ תלמידים. ב. חשבו את מספר האיחורים הממוצע לתלמיד.

Show the answer and the solution

Answer: 1.55

Worked solution:

0 \cdot 9 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 = 62

סכום כל האיחורים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{62}{40} \\ &= 1.55\end{aligned}

$1.55$ איחורים. המלכודת: להשמיט את $9$ התלמידים שלא איחרו — הם תורמים $0$ לסכום, אבל הם נספרים במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 8

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $40$ תלמידים. ג. מצאו את החציון ואת השכיח.

החציון ____ , והשכיח ____

Show the answer and the solution

Answer: החציון 1 , והשכיח 1

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 40 \Rightarrow Me \\ &= \frac{x_{(20)} + x_{(21)}}{2}\end{aligned}

מספר זוגי של נתונים

9 ,\ 21 ,\ 31 ,\ 37 ,\ 40

שכיחויות מצטברות: הנתונים $10$ עד $21$ שווים $1$

\begin{aligned}Me &= \frac{1 + 1}{2} \\ &= 1 \\ \quad Mo &= 1\end{aligned}

השכיח: הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר, $12$

החציון $1$ והשכיח $1$ . המלכודת: לענות שהחציון $2$ , הערך האמצעי בשורה העליונה של הטבלה.

Check the answer on elev

Exercise 9

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $40$ תלמידים. הממוצע $1.55$ איחורים. ד. כמה אחוזים מהתלמידים איחרו יותר פעמים מהממוצע?

Show the answer and the solution

Answer: 47.5

Worked solution:

x > 1.55 \Rightarrow x \in \{2, 3, 4\}

הערכים שגדולים מהממוצע

10 + 6 + 3 = 19

מספר התלמידים

\frac{19}{40} \cdot 100 = 47.5

$47.5\%$ — $19$ תלמידים מתוך $19$ . המלכודת: לספור גם את מי שאיחר פעם אחת. $1 < 1.55$ , ולכן הם מתחת לממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 10

האיחורים בחודש

מספר איחורים	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
מספר תלמידים	$9$	$12$	$10$	$6$	$3$

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה $40$ תלמידים. הממוצע $40$ , החציון $1.55$ והשכיח $1$ . לשכבה הצטרף תלמיד חדש, שלא איחר אף פעם בחודש הזה. ה. מה נכון?

הממוצע ירד, והחציון והשכיח לא השתנו
הממוצע, החציון והשכיח לא השתנו
הממוצע ירד, והשכיח עכשיו $0$
הממוצע והחציון ירדו, והשכיח לא השתנה

Show the answer and the solution

Answer: A הממוצע ירד, והחציון והשכיח לא השתנו

Worked solution:

\bar{x}' = \frac{62 + 0}{41} \approx 1.51 < 1.55

הסכום לא השתנה, ומספר התלמידים גדל

\begin{aligned}n &= 41 \Rightarrow Me \\ &= x_{(21)} \\ &= 1\end{aligned}

שכיחויות מצטברות: $10 ,\ 22$ — הנתון ה- $21$ עדיין $1$

\begin{aligned}f(0) &= 10 < f(1) \\ &= 12 \Rightarrow Mo \\ &= 1\end{aligned}

השכיח לא השתנה

הממוצע ירד, החציון והשכיח נשארו $1$ . נתון חדש שקטן מהממוצע מוריד אותו תמיד; החציון והשכיח זזים רק אם הנתון החדש «מזיז את האמצע» או את העמודה הגבוהה ביותר.

Check the answer on elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

Exercise 11

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. א. מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $M =$ ( 5 , 3 )

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1 + 11}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) \\ &= (5, 3)\end{aligned}

במעוין, כמו בכל מקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה: $M$ אמצע $AC$

$M(5, 3)$ . אין צורך לדעת את $B$ ואת $B$ : אמצע האלכסון האחד הוא גם אמצע השני.

Check the answer on elev

Exercise 12

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. $M$ . ב. מצאו את משוואת האלכסון $BD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -3 $x +$ 18

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{5 - 1}{11 - (-1)} \\ &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע האלכסון $AC$

m_{BD} = -3

במעוין האלכסונים מאונכים: שיפוע נגדי והפכי

\begin{aligned}y - 3 &= -3(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -3x + 18\end{aligned}

$BD$ עובר דרך $M$

$y = -3x + 18$ . שתי תכונות של המעוין עבדו כאן: האלכסונים מאונכים (השיפוע) וחוצים זה את זה (הנקודה $M$ ).

Check the answer on elev

Exercise 13

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. $M$ , ומשוואת $BD$ : $y = -3x + 18$ . ג. מצאו את שיעורי הקודקודים $B$ ו- $B$ .

$D$ ( ____ , ____ ) , $D =$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $B =$ ( 6 , 0 ) , $D =$ ( 4 , 6 )

Worked solution:

\begin{aligned}0 &= -3x + 18 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

$B$ על ציר ה- $B$ : מציבים $x$

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 5 - 6 ,\ 2 \cdot 3 - 0) \\ &= (4, 6)\end{aligned}

$M$ אמצע $BD$

-3 \cdot 4 + 18 = 6

בדיקה: $D$ על הישר $BD$ ✓

$B(6, 0)$ ו- $D(4, 6)$ . בדיקה: $AB = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}$ ו- $AD = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50}$ ✓ — הצלעות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 14

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. הקודקודים: $M$ , $B(6, 0)$ , $C(11, 5)$ , $D(4, 6)$ . ד. חשבו את שטח המעוין.

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{160}\end{aligned}

אורך אלכסון בנוסחת המרחק

\begin{aligned}BD &= \sqrt{2^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{\sqrt{160 \cdot 40}}{2} \\ &= \frac{80}{2} \\ &= 40\end{aligned}

שטח מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח $40$ . המלכודת: לכפול צלע בצלע, $40$ — זה שטח של ריבוע, והמעוין הזה אינו ריבוע (האלכסונים שלו לא שווים).

Check the answer on elev

Exercise 15

$ABCD$ הוא מעוין. נתון: $A(-1, 1)$ ו- $C(11, 5)$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $B$ . $x$ היא נקודת המפגש של האלכסונים. נתון: $MA = \sqrt{40}$ ו- $MB = \sqrt{10}$ . ה. חשבו את הזווית $\angle DAB$ של המעוין. עגלו לעשירית מעלה.

Show the answer and the solution

Answer: 53.130102354155994

Worked solution:

\angle AMB = 90^\circ

האלכסונים מאונכים: המשולש $AMB$ ישר זווית

\begin{aligned}\tan \angle MAB &= \frac{MB}{MA} \\ &= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle MAB \approx 26.57^\circ \Rightarrow \angle DAB = 2 \cdot 26.57^\circ \approx 53.1^\circ

במעוין האלכסון חוצה את הזווית

$\angle DAB \approx 53.1^\circ$ . המלכודת: לעצור ב- $26.6^\circ$ — זו רק מחצית הזווית. ( $\angle ABC = 180^\circ - 53.1^\circ = 126.9^\circ$ .)

Check the answer on elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

Exercise 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . א. מהי הנגזרת $f'(x)$ ?

$f'(x) = x^2 - 6x - 9$
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
$f'(x) = 3x^2 - 3x - 9$
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$

Show the answer and the solution

Answer: B $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

Worked solution:

(x^n)' = nx^{n-1}

גוזרים כל איבר בנפרד

3x^2 - 6x - 9 + 0

הנגזרת של קבוע היא $0$

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . המלכודת: להשאיר את ה- $+5$ — הקבוע נעלם בגזירה.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ . (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

מקסימום: ( ____ , ____ ) , מינימום: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: ( -1 , 10 ) , מינימום: ( 3 , -22 )

Worked solution:

\begin{aligned}3x^2 - 6x - 9 &= 3(x^2 - 2x - 3) \\ &= 3(x - 3)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \ f'(0) &= -9 < 0 \\ \ f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה, יורדת, עולה

\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 5 \\ &= 10 \\ \quad f(3) &= 27 - 27 - 27 + 5 \\ &= -22\end{aligned}

מקסימום ב- $(-1, 10)$ ומינימום ב- $(3, -22)$ . המלכודת: לקבוע את הסוג לפי הסדר — הנקודה השמאלית אינה תמיד מקסימום; רק טבלת הסימנים (או סימן המקדם של $x^3$ ) אומרת.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . נקודות הקיצון: מקסימום ב- $(-1, 10)$ ומינימום ב- $(3, -22)$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ ?

עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , ויורדת ב- $-1 < x < 3$
עולה ב- $x < 3$ , ויורדת ב- $x > 3$
יורדת ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , ועולה ב- $-1 < x < 3$
עולה ב- $x > -1$ , ויורדת ב- $x < -1$

Show the answer and the solution

Answer: A עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , ויורדת ב- $-1 < x < 3$

Worked solution:

f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)

פרבולה «מחייכת» שאפסיה $-1$ ו- $3$

f'(x) > 0 \iff x < -1 \ \lor \ x > 3

הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים

עולה ב- $x < -1$ וב- $x > 3$ , יורדת ב- $-1 < x < 3$ . בין מקסימום למינימום הפונקציה תמיד יורדת.

Check the answer on elev

Exercise 19

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $f$ . (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -9 $x +$ 5

Worked solution:

f(0) = 5

נקודת ההשקה $(0, 5)$

f'(0) = -9

שיפוע המשיק

y = -9x + 5

הנקודה על ציר ה- $y$ , ולכן $y$

$y = -9x + 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 20

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . הנגזרת: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ . המשיק בנקודה שבה $x = 0$ הוא $y = -9x + 5$ . בנקודה נוספת על הגרף המשיק מקביל למשיק הזה. ה. מצאו את שיעור ה- $x$ של הנקודה, ואת משוואת המשיק בה.

$x =$ ____ , והמשיק: $y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 2 , והמשיק: $y =$ -9 $x +$ 1

Worked solution:

3x^2 - 6x - 9 = -9

ישרים מקבילים: אותו שיפוע

\begin{aligned}3x(x - 2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \lor \ x \\ &= 2\end{aligned}

$x = 0$ היא הנקודה שכבר ידועה

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 - 18 + 5 \\ &= -17\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2, -17)$

\begin{aligned}y + 17 &= -9(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -9x + 1\end{aligned}

$x = 2$ , והמשיק $y = -9x + 1$ . המלכודת: לפתור $f(x) = -9$ — השיפוע הוא ערך של הנגזרת, לא של הפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 21

נתונה הפונקציה $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ . נקודות הקיצון: מקסימום ב- $(-1, 10)$ ומינימום ב- $(3, -22)$ . ו. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = 0$ ?

$3$
$0$
$2$
$1$

Show the answer and the solution

Answer: A $3$

Worked solution:

x \to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty

משמאל הגרף עולה מלמטה עד המקסימום

f(-1) = 10 > 0

חיתוך ראשון עם ציר ה- $x$ , משמאל ל- $x$

f(3) = -22 < 0

חיתוך שני, בין $-1$ ל- $3$

x \to \infty \Rightarrow f(x) \to \infty

חיתוך שלישי, מימין ל- $3$

$3$ פתרונות. המקסימום מעל ציר ה- $x$ והמינימום מתחתיו: הגרף חוצה את הציר בכל אחד משלושת תחומי המונוטוניות.

Check the answer on elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

Exercise 22

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). א. הביעו בעזרת $x$ את אורך הצלע $x$ .

$EF = 8 - \frac{4}{3}x$ , כי $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ ו- $\frac{EF}{BC} = \frac{EC}{AB}$
$EF = 6 - x$ , כי $AG = BE$
$EF = \frac{3}{4}x$ , כי $\frac{EF}{BE} = \frac{AB}{BC}$
$EF = 6 - \frac{3}{4}x$ , כי $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ ו- $\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{BC}$

Show the answer and the solution

Answer: D $EF = 6 - \frac{3}{4}x$ , כי $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ ו- $\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{BC}$

Worked solution:

EF \parallel AB

שניהם מאונכים ל- $BC$

\triangle FEC \sim \triangle ABC

ז.ז — הזווית $C$ משותפת, ו- $\angle FEC = \angle ABC = 90^\circ$

\begin{aligned}\frac{EF}{6} &= \frac{8 - x}{8} \Rightarrow EF \\ &= 6 - \frac{3}{4}x\end{aligned}

צלעות מתאימות: $EF \leftrightarrow AB$ , $EC \leftrightarrow BC$

$EF = 6 - \frac{3}{4}x$ . בדיקה: ב- $x = 0$ המלבן «נמחץ» אל $AB$ ו- $EF = 6$ ; ב- $x = 8$ הוא נעלם, $EF = 0$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 23

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). $EF = 6 - \frac{3}{4}x$ . ב. הביעו את שטח המלבן, $S(x)$ .

$S(x) = 2x + 2\left(6 - \frac{3}{4}x\right)$
$S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$
$S(x) = 6 - \frac{3}{4}x^2$
$S(x) = 6x - \frac{4}{3}x^2$

Show the answer and the solution

Answer: B $S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$

Worked solution:

S = BE \cdot EF

שטח מלבן

\begin{aligned}S(x) &= x\left(6 - \frac{3}{4}x\right) \\ &= 6x - \frac{3}{4}x^2\end{aligned}

$S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$ . האפשרות $2x + 2(\ldots)$ היא ההיקף, לא השטח.

Check the answer on elev

Exercise 24

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). שטח המלבן: $S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$ . ג. עבור איזה ערך של $x$ שטח המלבן מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

S'(x) = 6 - \frac{3}{2}x

גוזרים

\begin{aligned}6 - 1.5x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S'(2) &= 3 > 0 \\ \quad S'(6) &= -3 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: מקסימום

$x = 4$ ס״מ: $E$ היא אמצע $E$ .

Check the answer on elev

Exercise 25

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). שטח המלבן: $S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2$ , והוא מקסימלי כאשר $x = 4$ . ד. מהו השטח המקסימלי, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}EF &= 6 - \frac{3}{4} \cdot 4 \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}S(4) &= 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

$12$ סמ״ר: מלבן $12$ , שקודקודיו באמצעי הניצבים ובאמצע היתר.

Check the answer on elev

Exercise 26

במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) הניצבים הם $AB = 6$ ס״מ ו- $BC = 8$ ס״מ. חוסמים במשולש מלבן $GBEF$ : הקודקוד $E$ על $E$ , הקודקוד $G$ על $G$ , והקודקוד $F$ על היתר $F$ . נסמן $BE = x$ ס״מ ( $0 < x < 8$ ). השטח המקסימלי של המלבן הוא $12$ סמ״ר. ה. הוכיחו או הפריכו: השטח המקסימלי של המלבן שווה למחצית שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}S_{\triangle ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

במשולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

\frac{12}{24} = \frac{1}{2}

נכון. וזה לא מקרי: בכל משולש ישר זווית, המלבן המקסימלי מהסוג הזה עובר דרך אמצעי הצלעות, ושטחו מחצית שטח המשולש.

Check the answer on elev

Words in this lesson

שנה: shana year
סעיף: se’if part (of a question)
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
דקה: daka minute
הסתברות: histabrut probability
טבלה דו-ממדית: tavla du-meimadit two-way table
הסתברות מותנית: histabrut mutnit conditional probability
פולינום: polinom polynomial
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
כתבו: kitvu write
תכונה: tkhuna property
אלכסון: alakhson diagonal
מאונכים: me’unakhim perpendicular
חוצה: ḥotse bisects
חקירת פונקציה: ḥakirat funktsia curve sketching, function analysis
טבלת סימנים: tavlat simanim sign chart
יום: yom day
אקראי: akra’i random, at random
פי: pi times (as many)
מלכודת: malkodet trap
יחס: yaḥas ratio
עמודה: amuda column; bar (of a chart)
מכנה: mekhane denominator
תנאי: tnai condition
שימו לב: simu lev note, pay attention
הוכיחו: hokhiḥu prove
הפריכו: hafrikhu disprove
מאורע: me’ora event
בלתי תלויים: bilti tluyim independent
סיכוי: sikuy chance
אם ורק אם: im ve-rak im if and only if
לא נכון: lo nakhon false, incorrect
מאורעות תלויים: me’orot tluyim dependent events
ממוצע: memutsa average
מסקנה: maskana conclusion
מכפלה: makhpela product
חשבו: ḥishvu calculate
טבלה: tavla table
משך: meshekh duration, length of time
חודש: ḥodesh month
מצאו: mits’u find
סכום: skhum sum
שכיחות: shkhiḥut frequency
חציון: ḥetsyon median
שכיח: shakhiaḥ mode
מספר זוגי: mispar zugi even number
נתונים: netunim data
אחוז: aḥuz percent
מתוך: mitokh out of
נכון: nakhon true, correct
נתון: natun given
מעוין: me’uyan rhombus
קודקוד: kodkod vertex
ציר: tsir axis
נקודה: nekuda point
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
מקבילית: makbilit parallelogram
אמצע קטע: emtsa keta midpoint
משוואה: mishva’a equation
שיפוע: shipua slope
מספר נגדי: mispar negdi opposite (additive inverse)
להציב: lehatsiv to substitute
ישר: yashar line
צלע: tsela side
שטח: shetaḥ area
אורך: orekh length
נוסחת המרחק: nusḥat ha-merḥak distance formula
ריבוע: ribua square
זווית: zavit angle
עגלו: agelu round
עשירית: asirit tenth
משולש: meshulash triangle
ישר זווית: yashar zavit right-angled
ניצב: nitsav leg
חלקי: ḥalkei divided by
פונקציה: funktsia function
נגזרת: nigzeret derivative
גזירה: gzira differentiation
איבר: ever term
קבוע: kavua constant
שלילי: shlili negative
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
מקדם: mekadem coefficient
תחום עלייה: tḥum aliya interval of increase
פרבולה: parabola parabola
חיובי: ḥiyuvi positive
שורשים: shorashim roots, zeros
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik equation of the tangent
גרף: graf graph
נקודת השקה: nekudat hashaka point of tangency
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik slope of the tangent
משיק: mashik tangent
מקבילים: makbilim parallel
פתרו: pitru solve
פתרון: pitaron solution
פונקציה עולה: funktsia ola increasing function
חוצה: ḥotse crosses
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
ס״מ (סנטימטר): sentimeter centimeter (cm)
חוסם: ḥosem circumscribed
מלבן: malben rectangle
יתר: yeter hypotenuse
הביעו: habi’u express
היקף: hekef perimeter
סמ״ר (סנטימטר רבוע): sentimeter ravua square centimeter (cm²)

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade