מבחן סוף שנה — חזרה 3

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן סוף שנה — חזרה 3. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית, «ו/או» והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש, ובעיית ערך קיצון מתחת לפרבולה.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בחקירה של פונקציית שורש אל תשכחו את קצה התחום: גם הוא יכול להיות נקודת קיצון. ובבעיית קיצון בדקו שהפתרון בתוך התחום של המשתנה.

Exercises

שאלה 1 — הסתברות

Exercise 1

במוזיאון גדול 60%60\% מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. 14\frac{1}{4} מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי 2.52.5 מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: II — קנה באינטרנט, KK — קנה בקופה, TT — הצטרף לסיור. א. מה ההסתברות שהמבקר קנה בקופה והצטרף לסיור?

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

P(T∣I)=14=0.25\begin{aligned}P(T \mid I) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

«14\frac{1}{4} מהמבקרים שקנו באינטרנט» — הסתברות מותנית

P(T∣K)=2.5⋅0.25=0.625\begin{aligned}P(T \mid K) &= 2.5 \cdot 0.25 \\ &= 0.625\end{aligned}

פי 2.52.5

P(K∩T)=P(K)⋅P(T∣K)=0.4⋅0.625=0.25\begin{aligned}P(K \cap T) &= P(K) \cdot P(T \mid K) \\ &= 0.4 \cdot 0.625 \\ &= 0.25\end{aligned}

כלל הכפל

0.250.25. המלכודת: לענות 0.6250.625 — זו ההסתברות להצטרף לסיור מתוך קוני הקופה, לא מתוך כל המבקרים.

Check the answer on elev

Exercise 2

במוזיאון גדול 60%60\% מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. 14\frac{1}{4} מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי 2.52.5 מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: II — קנה באינטרנט, KK — קנה בקופה, TT — הצטרף לסיור. מסעיף א: P(K∩T)=0.25P(K \cap T) = 0.25. ב. מה ההסתברות שהמבקר קנה באינטרנט ו/או הצטרף לסיור?

Show the answer and the solution

Answer: 0.85

Worked solution:

P(K∩T‾)=0.4−0.25=0.15\begin{aligned}P(K \cap \overline{T}) &= 0.4 - 0.25 \\ &= 0.15\end{aligned}

קנה בקופה ולא הצטרף: שאר שורת הקופה

P(I∪T)=1−P(K∩T‾)P(I \cup T) = 1 - P(K \cap \overline{T})

המשלים של «אינטרנט ו/או סיור» הוא «קופה ובלי סיור»

=1−0.15=0.85= 1 - 0.15 = 0.85

בדיקה: P(I)+P(K∩T)=0.6+0.25=0.85P(I) + P(K \cap T) = 0.6 + 0.25 = 0.85 ✓

0.850.85. המלכודת: לחבר P(I)+P(T)=0.6+0.4=1P(I) + P(T) = 0.6 + 0.4 = 1 — כך סופרים פעמיים את מי שקנה באינטרנט וגם הצטרף, 0.150.15.

Check the answer on elev

Exercise 3

במוזיאון גדול 60%60\% מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. 14\frac{1}{4} מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי 2.52.5 מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: II — קנה באינטרנט, KK — קנה בקופה, TT — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: P(I∩T)=0.15P(I \cap T) = 0.15, P(I∩T‾)=0.45P(I \cap \overline{T}) = 0.45, P(K∩T)=0.25P(K \cap T) = 0.25, P(K∩T‾)=0.15P(K \cap \overline{T}) = 0.15. ג. ידוע שהמבקר הצטרף לסיור. מה ההסתברות שקנה את הכרטיס באינטרנט?

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

P(T)=0.15+0.25=0.4\begin{aligned}P(T) &= 0.15 + 0.25 \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: הסתברות התנאי

P(I∣T)=0.150.4=38=0.375\begin{aligned}P(I \mid T) &= \frac{0.15}{0.4} \\ &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

0.3750.375. אף ש-60%60\% מהמבקרים קנו באינטרנט, בין המצטרפים לסיור הם מיעוט: 37.5%37.5\%.

Check the answer on elev

Exercise 4

במוזיאון גדול 60%60\% מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. 14\frac{1}{4} מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי 2.52.5 מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: II — קנה באינטרנט, KK — קנה בקופה, TT — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: P(I∩T)=0.15P(I \cap T) = 0.15, P(I∩T‾)=0.45P(I \cap \overline{T}) = 0.45, P(K∩T)=0.25P(K \cap T) = 0.25, P(K∩T‾)=0.15P(K \cap \overline{T}) = 0.15. ד. ידוע שהמבקר לא הצטרף לסיור. מה ההסתברות שקנה בקופה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

P(T‾)=0.45+0.15=0.6\begin{aligned}P(\overline{T}) &= 0.45 + 0.15 \\ &= 0.6\end{aligned}

עמודת «לא הצטרף»

P(K∣T‾)=0.150.6=0.25\begin{aligned}P(K \mid \overline{T}) &= \frac{0.15}{0.6} \\ &= 0.25\end{aligned}

0.250.25. המלכודת: לחלק ב-P(K)=0.4P(K) = 0.4 ולקבל 0.3750.375 — זו התשובה לשאלה ההפוכה, «ידוע שקנה בקופה, מה הסיכוי שלא הצטרף».

Check the answer on elev

Exercise 5

במוזיאון גדול 60%60\% מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. 14\frac{1}{4} מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי 2.52.5 מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: II — קנה באינטרנט, KK — קנה בקופה, TT — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: P(I∩T)=0.15P(I \cap T) = 0.15, P(I∩T‾)=0.45P(I \cap \overline{T}) = 0.45, P(K∩T)=0.25P(K \cap T) = 0.25, P(K∩T‾)=0.15P(K \cap \overline{T}) = 0.15. ביום מסוים ביקרו במוזיאון 24002400 איש. ה. כמה מהם, לפי ההסתברויות האלה, קנו בקופה ולא הצטרפו לסיור?

Show the answer and the solution

Answer: 360

Worked solution:

P(K∩T‾)=0.15P(K \cap \overline{T}) = 0.15
0.15⋅2400=3600.15 \cdot 2400 = 360

מספר צפוי: הסתברות כפול גודל האוכלוסייה

360360 מבקרים.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

Exercise 6

0123456123456שעות בשבועמספר חברים

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. א. כמה חברים בקבוצה, ומהו השכיח?

בקבוצה ____ חברים, והשכיח הוא ____ שעות.

Show the answer and the solution

Answer: בקבוצה 20 חברים, והשכיח הוא 4 שעות.

Worked solution:

2+3+5+6+3+1=202 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20

סכום גובהי העמודות

Mo=4Mo = 4

העמודה הגבוהה ביותר, 66 חברים

2020 חברים, השכיח 44 שעות.

Check the answer on elev

Exercise 7

0123456123456שעות בשבועמספר חברים

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה 2020 חברים. ב. חשבו את מספר שעות ההתנדבות הממוצע.

Show the answer and the solution

Answer: 3.4

Worked solution:

1⋅2+2⋅3+3⋅5+4⋅6+5⋅3+6⋅1=681 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 68

סכום כל השעות

xˉ=6820=3.4\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{68}{20} \\ &= 3.4\end{aligned}

3.43.4 שעות.

Check the answer on elev

Exercise 8

0123456123456שעות בשבועמספר חברים

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה 2020 חברים. ג. מצאו את החציון.

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

Me=x(10)+x(11)2Me = \frac{x_{(10)} + x_{(11)}}{2}

מספר זוגי של נתונים

2, 5, 10, 162 ,\ 5 ,\ 10 ,\ 16

שכיחויות מצטברות: הנתון ה-1010 הוא 33, והנתון ה-1111 הוא כבר 44

Me=3+42=3.5\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 4}{2} \\ &= 3.5\end{aligned}

החציון 3.53.5 — ערך שאף חבר לא מתנדב בדיוק. זה קורה כשהנתון ה-1010 וה-1111 שונים. המלכודת: לעצור בנתון ה-1010 ולענות 33.

Check the answer on elev

Exercise 9

0123456123456שעות בשבועמספר חברים

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה 2020 חברים, והממוצע 3.43.4 שעות. לקבוצה הצטרפו שני חברים חדשים, ואחרי הצטרפותם הממוצע הוא 3.53.5 שעות. ד. כמה שעות בשבוע מתנדבים שני החדשים יחד?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

20⋅3.4=6820 \cdot 3.4 = 68

הסכום לפני ההצטרפות

22⋅3.5=7722 \cdot 3.5 = 77

הסכום אחרי ההצטרפות: 2222 חברים

77−68=977 - 68 = 9

99 שעות יחד. המלכודת: «הממוצע עלה ב-0.10.1, אז הם תרמו 0.10.1» — עובדים תמיד עם סכומים, לא עם הפרשי ממוצעים.

Check the answer on elev

Exercise 10

0123456123456שעות בשבועמספר חברים

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה 2020 חברים, והחציון 3.53.5. הצטרפו שני חברים חדשים: אחד מתנדב 44 שעות בשבוע, והשני 55. ה. מהו החציון החדש?

  1. 33
  2. 4.54.5
  3. 44
  4. 3.53.5
Show the answer and the solution

Answer: C 44

Worked solution:

n=22⇒Me=x(11)+x(12)2\begin{aligned}n &= 22 \Rightarrow Me \\ &= \frac{x_{(11)} + x_{(12)}}{2}\end{aligned}
2, 5, 10, 172 ,\ 5 ,\ 10 ,\ 17

שכיחויות מצטברות חדשות: לערך 44 יש עכשיו 77 חברים

Me=4+42=4\begin{aligned}Me &= \frac{4 + 4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הנתון ה-1111 וה-1212 שניהם 44

החציון עלה ל-44. שני הנתונים החדשים גדולים מהחציון הקודם, ולכן «האמצע» זז ימינה: עכשיו 1010 חברים מתחת לערך 44, ו-55 מעליו.

Check the answer on elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

Exercise 11

במערכת צירים נתון המשולש OABOAB: O(0,0)O(0, 0) ראשית הצירים, A(10,0)A(10, 0) ו-B(2,8)B(2, 8). הישר y=6y = 6 חותך את הצלע OBOB בנקודה DD ואת הצלע ABAB בנקודה EE. א. מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -1 x+x + 10

Worked solution:

mAB=8−02−10=−1\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8 - 0}{2 - 10} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

y−0=−1(x−10)⇒y=−x+10\begin{aligned}y - 0 &= -1(x - 10) \Rightarrow y \\ &= -x + 10\end{aligned}

ישר דרך AA

−2+10=8-2 + 10 = 8

בדיקה עם BB ✓

y=−x+10y = -x + 10.

Check the answer on elev

Exercise 12

במערכת צירים נתון המשולש OABOAB: O(0,0)O(0, 0) ראשית הצירים, A(10,0)A(10, 0) ו-B(2,8)B(2, 8). הישר y=6y = 6 חותך את הצלע OBOB בנקודה DD ואת הצלע ABAB בנקודה EE. משוואת ABAB: y=−x+10y = -x + 10. ב. מצאו את שיעור ה-xx של DD ושל EE.

D=D = ( ____ , 66 ) , E=E = ( ____ , 66 )

Show the answer and the solution

Answer: D=D = ( 1.5 , 66 ) , E=E = ( 4 , 66 )

Worked solution:

mOB=82=4⇒OB: y=4x\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{8}{2} \\ &= 4 \Rightarrow OB: \ y \\ &= 4x\end{aligned}

ישר דרך ראשית הצירים

4x=6⇒x=1.5\begin{aligned}4x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 1.5\end{aligned}

DD: חיתוך OBOB עם y=6y = 6

−x+10=6⇒x=4\begin{aligned}-x + 10 &= 6 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

EE: חיתוך ABAB עם y=6y = 6

D(1.5,6)D(1.5, 6) ו-E(4,6)E(4, 6), ולכן DE=2.5DE = 2.5.

Check the answer on elev

Exercise 13

במערכת צירים נתון המשולש OABOAB: O(0,0)O(0, 0) ראשית הצירים, A(10,0)A(10, 0) ו-B(2,8)B(2, 8). הישר y=6y = 6 חותך את הצלע OBOB בנקודה DD ואת הצלע ABAB בנקודה EE. נתון: D(1.5,6)D(1.5, 6) ו-E(4,6)E(4, 6). ג. מדוע △BDE∼△BOA\triangle BDE \sim \triangle BOA?

  1. צ.צ.צ — DE=12OADE = \frac{1}{2} OA, ולכן כל הצלעות ביחס 12\frac{1}{2}
  2. ז.ז — ∠BDE=∠BAO\angle BDE = \angle BAO כזוויות מתחלפות, והזווית BB משותפת
  3. ז.ז — DE∥OADE \parallel OA (שניהם אופקיים), ולכן ∠BDE=∠BOA\angle BDE = \angle BOA כזוויות מתאימות; והזווית BB משותפת
  4. המשולשים חופפים, כי הזווית BB משותפת
Show the answer and the solution

Answer: C ז.ז — DE∥OADE \parallel OA (שניהם אופקיים), ולכן ∠BDE=∠BOA\angle BDE = \angle BOA כזוויות מתאימות; והזווית BB משותפת

Worked solution:

DE∥OADE \parallel OA

DEDE על הישר y=6y = 6, ו-OAOA על ציר ה-xx

∠BDE=∠BOA∠BED=∠BAO\begin{aligned}\angle BDE &= \angle BOA \\ \quad \angle BED &= \angle BAO\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים

△BDE∼△BOA\triangle BDE \sim \triangle BOA

ז.ז

ז.ז. ההתאמה: D↔OD \leftrightarrow O, E↔AE \leftrightarrow A. המלכודת: DEDE אינו קטע אמצעים — DE=2.5DE = 2.5 ו-OA=10OA = 10, יחס 14\frac{1}{4}.

Check the answer on elev

Exercise 14

במערכת צירים נתון המשולש OABOAB: O(0,0)O(0, 0) ראשית הצירים, A(10,0)A(10, 0) ו-B(2,8)B(2, 8). הישר y=6y = 6 חותך את הצלע OBOB בנקודה DD ואת הצלע ABAB בנקודה EE. נתון: △BDE∼△BOA\triangle BDE \sim \triangle BOA, D(1.5,6)D(1.5, 6) ו-E(4,6)E(4, 6). ד. חשבו את שטח הטרפז ODEAODEA.

Show the answer and the solution

Answer: 37.5

Worked solution:

k=DEOA=2.510=14\begin{aligned}k &= \frac{DE}{OA} \\ &= \frac{2.5}{10} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון

S△BOA=10⋅82=40\begin{aligned}S_{\triangle BOA} &= \frac{10 \cdot 8}{2} \\ &= 40\end{aligned}

הגובה מ-BB לציר ה-xx הוא 88

S△BDE=40⋅(14)2=2.5\begin{aligned}S_{\triangle BDE} &= 40 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס השטחים: k2k^2

SODEA=40−2.5=37.5\begin{aligned}S_{ODEA} &= 40 - 2.5 \\ &= 37.5\end{aligned}

בדיקה: (10+2.5)⋅62=37.5\frac{(10 + 2.5) \cdot 6}{2} = 37.5 ✓

37.537.5. המלכודת: להכפיל את שטח המשולש ב-14\frac{1}{4} ולא ב-116\frac{1}{16} — השטחים מתייחסים כריבוע יחס הדמיון.

Check the answer on elev

Exercise 15

במערכת צירים נתון המשולש OABOAB: O(0,0)O(0, 0) ראשית הצירים, A(10,0)A(10, 0) ו-B(2,8)B(2, 8). הישר y=6y = 6 חותך את הצלע OBOB בנקודה DD ואת הצלע ABAB בנקודה EE. ה. חשבו את הזווית ∠OBA\angle OBA. עגלו לעשירית מעלה.

Show the answer and the solution

Answer: 59.03624346792647

Worked solution:

tan⁡∠BOA=mOB=4⇒∠BOA≈75.96∘\begin{aligned}\tan \angle BOA &= m_{OB} \\ &= 4 \Rightarrow \angle BOA \approx 75.96^\circ\end{aligned}

שיפוע ישר הוא הטנגנס של זווית הנטייה שלו

mAB=−1⇒∠BAO=45∘\begin{aligned}m_{AB} &= -1 \Rightarrow \angle BAO \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית הנטייה של ABAB היא 135∘135^\circ, והזווית במשולש משלימה אותה ל-180∘180^\circ

∠OBA=180∘−75.96∘−45∘≈59.0∘\angle OBA = 180^\circ - 75.96^\circ - 45^\circ \approx 59.0^\circ

סכום הזוויות במשולש

∠OBA≈59.0∘\angle OBA \approx 59.0^\circ. המלכודת: לקחת tan⁡−1(−1)=−45∘\tan^{-1}(-1) = -45^\circ כזווית במשולש — זווית במשולש חיובית תמיד.

Check the answer on elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

Exercise 16

נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−3f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}. א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. x≤3x \le 3
  2. x≥3x \ge 3
  3. x≥0x \ge 0
  4. x>3x > 3
Show the answer and the solution

Answer: B x≥3x \ge 3

Worked solution:

x−3≥0⇒x≥3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3

הביטוי שבתוך השורש אי-שלילי

f(3)=3−4⋅0=3\begin{aligned}f(3) &= 3 - 4 \cdot 0 \\ &= 3\end{aligned}

הקצה x=3x = 3 בתחום

x≥3x \ge 3. המלכודת: x>3x > 3 — הפונקציה מוגדרת ב-x=3x = 3; רק הנגזרת לא מוגדרת שם.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−3f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}. ב. מהי הנגזרת f′(x)f'(x), בתחום x>3x > 3?

  1. f′(x)=−2x−3f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}
  2. f′(x)=1−4x−3f'(x) = 1 - \dfrac{4}{\sqrt{x - 3}}
  3. f′(x)=1−12x−3f'(x) = 1 - \dfrac{1}{2\sqrt{x - 3}}
  4. f′(x)=1−2x−3f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}
Show the answer and the solution

Answer: D f′(x)=1−2x−3f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}

Worked solution:

(x−3)′=12x−3\left(\sqrt{x - 3}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x - 3}}

נגזרת של שורש; הנגזרת הפנימית של x−3x - 3 היא 11

f′(x)=1−4⋅12x−3=1−2x−3\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 3}} \\ &= 1 - \frac{2}{\sqrt{x - 3}}\end{aligned}

f′(x)=1−2x−3f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt{x - 3}}. המלכודת: לשכוח את ה-22 שבמכנה של נגזרת השורש ולקבל 4x−3\frac{4}{\sqrt{x - 3}}.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−3f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}. הנגזרת: f′(x)=1−2x−3f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}. ג. מצאו את נקודות הקיצון של ff: הפנימית, ונקודת הקצה של התחום. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

מינימום: ( ____ , ____ ) , מקסימום קצה: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: מינימום: ( 7 , -1 ) , מקסימום קצה: ( 3 , 3 )

Worked solution:

1−2x−3=0⇒x−3=2⇒x=7\begin{aligned}1 - \frac{2}{\sqrt{x - 3}} &= 0 \Rightarrow \sqrt{x - 3} \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

f′(4)=1−2=−1<0f′(12)=1−23>0\begin{aligned}f'(4) &= 1 - 2 \\ &= -1 < 0 \\ \quad f'(12) &= 1 - \frac{2}{3} > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: יורדת ואחר כך עולה — מינימום

f(7)=7−4⋅2=−1f(3)=3\begin{aligned}f(7) &= 7 - 4 \cdot 2 \\ &= -1 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

ובקצה: הפונקציה יורדת מיד אחרי x=3x = 3 — מקסימום קצה

מינימום ב-(7,−1)(7, -1), ומקסימום קצה ב-(3,3)(3, 3).

Check the answer on elev

Exercise 19

נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−3f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}. ד. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

x1=x_1 = ____ , x2=x_2 = ____ (כאשר x1<x2x_1 < x_2)

Show the answer and the solution

Answer: x1=x_1 = 4 , x2=x_2 = 12 (כאשר x1<x2x_1 < x_2)

Worked solution:

x=4x−3x = 4\sqrt{x - 3}

מבודדים את השורש

x2=16(x−3)⇒x2−16x+48=0\begin{aligned}x^2 &= 16(x - 3) \Rightarrow x^2 - 16x + 48 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע (שני האגפים אי-שליליים בתחום)

(x−4)(x−12)=0⇒x=4 x=12\begin{aligned}(x - 4)(x - 12) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 12\end{aligned}
f(4)=4−4=0f(12)=12−12=0\begin{aligned}f(4) &= 4 - 4 \\ &= 0 \\ \quad f(12) &= 12 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה בפונקציה המקורית ✓

(4,0)(4, 0) ו-(12,0)(12, 0). אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק בפונקציה המקורית — כאן שני הפתרונות נשארים.

Check the answer on elev

Exercise 20

נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−3f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}. הנגזרת: f′(x)=1−2x−3f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}. ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודה (12,0)(12, 0). (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס; אפשר לכתוב שבר.)

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 0.3333333333333333 x+x + -4

Worked solution:

f′(12)=1−29=13\begin{aligned}f'(12) &= 1 - \frac{2}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−0=13(x−12)⇒y=13x−4\begin{aligned}y - 0 &= \frac{1}{3}(x - 12) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{3}x - 4\end{aligned}

y=13x−4y = \frac{1}{3}x - 4.

Check the answer on elev

Exercise 21

הגרף של ff
0246810121416182022-2-10123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=x−4x−3f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}. מינימום ב-(7,−1)(7, -1), מקסימום קצה ב-(3,3)(3, 3), ומ-x=7x = 7 ואילך הפונקציה עולה בלי הגבלה. ו. לאילו ערכים של kk הישר y=ky = k חותך את הגרף של ff בשתי נקודות בדיוק?

  1. k>−1k > -1
  2. −1<k<3-1 < k < 3
  3. −1<k≤3-1 < k \le 3
  4. 0<k≤30 < k \le 3
Show the answer and the solution

Answer: C −1<k≤3-1 < k \le 3

Worked solution:

3≤x≤73 \le x \le 7

בענף היורד ff מקבלת כל ערך בין −1-1 ל-33 פעם אחת

x≥7x \ge 7

בענף העולה ff מקבלת כל ערך מ-−1-1 ומעלה פעם אחת

−1<k≤3-1 < k \le 3

שתי נקודות: kk בשני הטווחים, ולא k=−1k = -1, שבו שני הענפים נפגשים במינימום

−1<k≤3-1 < k \le 3. ב-k=3k = 3 יש שתי נקודות: הקצה (3,3)(3, 3) ונקודה על הענף העולה. ב-k=−1k = -1 יש נקודה אחת בלבד, המינימום.

Check the answer on elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

Exercise 22

נתונה הפרבולה y=9−x2y = 9 - x^2. CC היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-xx. AA היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-xx, ו-BB היא הנקודה על ציר ה-xx שמתחת ל-AA (ABAB מאונך לציר ה-xx). נסמן ב-xx את שיעור ה-xx של AA (−3<x<3-3 < x < 3). א. מצאו את שיעורי הנקודה CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: C=C = ( 3 , 0 )

Worked solution:

9−x2=0⇒x=±3\begin{aligned}9 - x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: y=0y = 0

C(3,0)C(3, 0)

החלק החיובי של הציר

C(3,0)C(3, 0).

Check the answer on elev

Exercise 23

נתונה הפרבולה y=9−x2y = 9 - x^2. CC היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-xx. AA היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-xx, ו-BB היא הנקודה על ציר ה-xx שמתחת ל-AA (ABAB מאונך לציר ה-xx). נסמן ב-xx את שיעור ה-xx של AA (−3<x<3-3 < x < 3). C(3,0)C(3, 0). ב. הביעו בעזרת xx את שטח המשולש ABCABC.

  1. S(x)=x(9−x2)2S(x) = \dfrac{x(9 - x^2)}{2}
  2. S(x)=(3+x)(9−x2)2S(x) = \dfrac{(3 + x)(9 - x^2)}{2}
  3. S(x)=(3−x)(9−x2)S(x) = (3 - x)(9 - x^2)
  4. S(x)=(3−x)(9−x2)2S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}
Show the answer and the solution

Answer: D S(x)=(3−x)(9−x2)2S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}

Worked solution:

AB=9−x2AB = 9 - x^2

הגובה: שיעור ה-yy של AA

BC=3−xBC = 3 - x

מרחק בין שתי נקודות על ציר ה-xx; x<3x < 3, ולכן חיובי

S(x)=BC⋅AB2=(3−x)(9−x2)2\begin{aligned}S(x) &= \frac{BC \cdot AB}{2} \\ &= \frac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}\end{aligned}

משולש ישר זווית ב-BB

S(x)=(3−x)(9−x2)2S(x) = \frac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}. המלכודת: לכתוב BC=xBC = x — זה המרחק מ-BB לראשית, לא ל-CC. וכש-AA משמאל לציר ה-yy, xx שלילי ו-3−x3 - x גדול מ-33.

Check the answer on elev

Exercise 24

נתונה הפרבולה y=9−x2y = 9 - x^2. CC היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-xx. AA היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-xx, ו-BB היא הנקודה על ציר ה-xx שמתחת ל-AA (ABAB מאונך לציר ה-xx). נסמן ב-xx את שיעור ה-xx של AA (−3<x<3-3 < x < 3). שטח המשולש: S(x)=(3−x)(9−x2)2=x3−3x2−9x+272S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2} = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 9x + 27}{2}. ג. עבור איזה ערך של xx שטח המשולש מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

S′(x)=3x2−6x−92=3(x−3)(x+1)2\begin{aligned}S'(x) &= \frac{3x^2 - 6x - 9}{2} \\ &= \frac{3(x - 3)(x + 1)}{2}\end{aligned}

גוזרים

x=−1 ∨ x=3\begin{aligned}x &= -1 \ \lor \ x \\ &= 3\end{aligned}

x=3x = 3 מחוץ לתחום −3<x<3-3 < x < 3

S′(−2)=7.5>0S′(0)=−4.5<0\begin{aligned}S'(-2) &= 7.5 > 0 \\ \quad S'(0) &= -4.5 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

x=−1x = -1. המקסימום מתקבל כש-AA משמאל לציר ה-yy: הבסיס BCBC מתארך יותר ממה שהגובה מתקצר. המלכודת: להניח ש-AA ברביע הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 25

נתונה הפרבולה y=9−x2y = 9 - x^2. CC היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-xx. AA היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-xx, ו-BB היא הנקודה על ציר ה-xx שמתחת ל-AA (ABAB מאונך לציר ה-xx). נסמן ב-xx את שיעור ה-xx של AA (−3<x<3-3 < x < 3). שטח המשולש: S(x)=(3−x)(9−x2)2S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}, והוא מקסימלי כאשר x=−1x = -1. ד. מהו השטח המקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

A(−1,8),B(−1,0)A(-1, 8) ,\quad B(-1, 0)

9−(−1)2=89 - (-1)^2 = 8

S(−1)=(3+1)⋅82=16\begin{aligned}S(-1) &= \frac{(3 + 1) \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

השטח המקסימלי 1616.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפרבולה y=9−x2y = 9 - x^2. CC היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-xx. AA היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-xx, ו-BB היא הנקודה על ציר ה-xx שמתחת ל-AA (ABAB מאונך לציר ה-xx). נסמן ב-xx את שיעור ה-xx של AA (−3<x<3-3 < x < 3). השטח מקסימלי כאשר x=−1x = -1, כלומר A(−1,8)A(-1, 8). ה. הוכיחו או הפריכו: במשולש המקסימלי, AB=2⋅BCAB = 2 \cdot BC.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

AB=8BC=3−(−1)=4\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad BC &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}
8=2⋅48 = 2 \cdot 4

נכון: AB=8AB = 8 ו-BC=4BC = 4. ומכאן גם tan⁡∠ACB=84=2\tan \angle ACB = \frac{8}{4} = 2.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade