Events, Venn diagrams and the rules · Probability · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מטילים קובייה הוגנת. כל התוצאות האפשריות יחד הן מרחב המדגם $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ . מאורע הוא קבוצה של תוצאות מתוך $U$ . נסתכל על שני מאורעות: $A$ — «יצא מספר זוגי», ו- $B$ — «יצא מספר גדול מ-3». לפני כל כלל, הסתכלו איפה כל תוצאה נמצאת בציור.

הטלת קובייה:

A

— זוגי,

B

— גדול מ-3

כל תוצאה נמצאת באזור אחד בלבד. האזור המשותף לשני העיגולים הוא

A \cap B

, והמלבן כולו הוא

U

לפי הציור: אילו תוצאות נמצאות ב- $A \cap B$ , אילו ב- $A \cup B$ ואילו ב- $\bar{A}$ ?

Show the answer and the solution

$A \cap B=\{4,6\}$ — גם זוגי וגם גדול מ-3. $A \cup B=\{2,4,5,6\}$ — לפחות אחד מהשניים. $\bar{A}=\{1,3,5\}$ — כל מה שנמצא מחוץ לעיגול של $A$ .

המילים של הפרק

A \cap B

חיתוך: $A$ וגם $B$

A \cup B

איחוד: $A$ או $B$ , או שניהם

\bar{A}

המאורע המשלים: כל מה שב- $U$ ואינו ב- $A$

A \cap B=\emptyset

מאורעות זרים: אין להם תוצאה משותפת

A \subseteq B

$A$ מוכל ב- $B$ : כל תוצאה של $A$ היא גם תוצאה של $B$

U \ ,\ \emptyset

מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

שלוש דרכים לקבל הסתברות

P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}

ספירה, כשכל התוצאות שוות סיכוי. בקובייה: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

P(A) \approx \frac{k}{n}

שכיחות יחסית: חוזרים על הניסוי $n$ פעמים, ו- $A$ קרה $k$ פעמים

P(A)=\frac{S_A}{S}

יחס שטחים: נקודה נבחרת באקראי בתוך צורה ששטחה $S$ , ו- $S_A$ הוא השטח של האזור של $A$

נקודה נבחרת באקראי על לוח ששטחו 1600 סמ״ר. על הלוח מסומן אזור ששטחו 200 סמ״ר. מה ההסתברות שהנקודה תיפול באזור המסומן?

Show the answer and the solution

$\frac{200}{1600}=\frac{1}{8}$ . ההסתברות היא החלק מהשטח שהאזור תופס. הצורה של האזור לא משנה, רק השטח שלו.

כללי ההסתברות

0 \leq P(A) \leq 1

לכל מאורע

\begin{aligned}P(U) &= 1 \\ \quad P(\emptyset) &= 0\end{aligned}

המאורע הוודאי והמאורע הבלתי אפשרי

A \subseteq B \ \Rightarrow \ P(A) \leq P(B)

מאורע שמכיל יותר תוצאות — הסתברות גדולה יותר או שווה

P(\bar{A})=1-P(A)

המשלים: $A$ ו- $\bar{A}$ יחד הם כל $U$

האיחוד — בלי לספור פעמיים

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

כשהמאורעות זרים, $P(A \cap B)=0$ , והנוסחה מתקצרת ל- $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ . הנוסחה קושרת ארבעה מספרים: כל שלושה מהם נותנים את הרביעי.

שתי שפות בשכבה

בשכבה 200 תלמידים. 120 לומדים ערבית, 70 לומדים צרפתית, ו-40 לומדים את שתי השפות. בוחרים תלמיד באקראי. $A$ — לומד ערבית, $B$ — לומד צרפתית.

\begin{aligned}P(A) &= \frac{120}{200} \\ &= 0.6 \\ \quad P(B) &= \frac{70}{200} \\ &= 0.35 \\ \quad P(A \cap B) &= \frac{40}{200} \\ &= 0.2\end{aligned}

מתרגמים כל מספר להסתברות

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.6+0.35-0.2 \\ &= 0.75\end{aligned}

לפחות אחת משתי השפות

\begin{aligned}P(\overline{A \cup B}) &= 1-0.75 \\ &= 0.25\end{aligned}

אף אחת מהשתיים: המשלים של האיחוד

\begin{aligned}P(A \cap \bar{B}) &= 0.6-0.2 \\ &= 0.4\end{aligned}

ערבית בלבד: מ- $P(A)$ מורידים את החיתוך

$P(A)=0.7$ ו- $P(B)=0.5$ . האם $A$ ו- $B$ יכולים להיות זרים?

Show the answer and the solution

לא. אילו היו זרים, היה יוצא $P(A \cup B)=0.7+0.5=1.2>1$ , וזה בלתי אפשרי. לכן $P(A \cap B) \geq 0.2$ .

בכל שאלה על שני מאורעות, ציירו דיאגרמת ון ומלאו קודם את החיתוך. רק אחר כך ממלאים את מה שנשאר בכל עיגול, ובסוף את מה שמחוץ לשניהם.

שלוש טעויות בכללים.

P(A \cup B)=P(A)+P(B)

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

החיבור הפשוט נכון רק למאורעות זרים. אחרת החיתוך נספר פעמיים.

\begin{aligned}A \cap B &= \emptyset \ \Rightarrow \ B \\ &= \bar{A}\end{aligned}

\begin{aligned}B &= \bar{A} \ \Rightarrow \ A \cap B \\ &= \emptyset\end{aligned}

מאורעות משלימים הם תמיד זרים, אבל זרים אינם תמיד משלימים. בקובייה $\{1\}$ ו- $\{2\}$ זרים, ויחד הם לא כל $U$ .

P(A \cap \bar{B})=P(A)

P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)

« $A$ בלבד» הוא העיגול של $A$ בלי החיתוך.

Exercises

Exercise 1

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מהו $A \cap B$ ?

$\{6\}$
$\{3,9\}$
$\emptyset$
$\{2,3,4,6,8,9,10\}$

Show the answer and the solution

Answer: A $\{6\}$

Worked solution:

\begin{aligned}A &= \{2,4,6,8,10\} \\ \quad B &= \{3,6,9\}\end{aligned}

רושמים את שני המאורעות

A \cap B=\{6\}

המספרים שנמצאים בשניהם

הנכונה: $\{6\}$ . $\{2,3,4,6,8,9,10\}$ הוא האיחוד, ו- $\{3,9\}$ הוא $B$ בלי החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 2

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מה $P(A \cup B)$ ? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

A \cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\}

שבעה קלפים

\begin{aligned}P(A \cup B) &= \frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10} \\ &= \frac{7}{10}\end{aligned}

אותה תשובה בנוסחת האיחוד

$0.8$ היא התשובה של מי שחיבר $\frac{5}{10}+\frac{3}{10}$ ושכח שהקלף 6 נספר פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מה ההסתברות שהמספר אינו זוגי ואינו מתחלק ב-3?

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

\bar{A} \cap \bar{B}=\overline{A \cup B}

לא זה ולא זה: המשלים של האיחוד

1-0.7=0.3

הקלפים $\{1,5,7\}$

«לא זה ולא זה» הוא המשלים של «לפחות אחד». מי שחישב $1-P(A \cap B)$ קיבל את המשלים של «שניהם».

Check the answer on elev

Exercise 4

אם $A$ ו- $B$ מאורעות משלימים, אז הם זרים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}B &= \bar{A} \ \Rightarrow \ A \cap B \\ &= A \cap \bar{A} \\ &= \emptyset\end{aligned}

לתוצאה אי אפשר להיות גם ב- $A$ וגם מחוץ ל- $A$

נכון. המשלים מכיל בדיוק את מה שאינו ב- $A$ , ולכן אין לו שום תוצאה משותפת עם $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

אם $A$ ו- $B$ מאורעות זרים, אז הם משלימים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}A &= \{1\} \\ \ B &= \{2\} \\ \quad A \cap B &= \emptyset\end{aligned}

בקובייה: זרים

A \cup B=\{1,2\} \neq U

אבל יחד הם לא כל מרחב המדגם

לא נכון. משלימים הם זרים וגם יחד מכסים את כל $U$ . זרים אינם חייבים לכסות.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון: $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \cup B)=0.7$ . מצאו את $P(A \cap B)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

\begin{aligned}0.7 &= 0.5+0.4-P(A \cap B) \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \\ &= 0.2\end{aligned}

מבודדים את החיתוך

הנוסחה קושרת ארבעה מספרים. מי שענה $0.9$ חיבר את $P(A)$ ו- $P(B)$ ושכח שהאיחוד נתון.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון: $P(A)=0.6$ ו- $P(B)=0.7$ . מה נכון בוודאות?

$A \subseteq B$
$A$ ו- $B$ זרים
$P(A \cap B) \geq 0.3$
$P(A \cup B)=1.3$

Show the answer and the solution

Answer: C $P(A \cap B) \geq 0.3$

Worked solution:

P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)

נוסחת האיחוד, הפוכה

P(A \cup B) \leq 1 \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \geq 0.6+0.7-1=0.3

הסתברות אינה עולה על 1

הנכונה: $P(A \cap B) \geq 0.3$ . אילו היו זרים, האיחוד היה $1.3>1$ . ו- $A \subseteq B$ אפשרי, אבל לא בטוח.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשכונה 80 משפחות. 36 מחזיקות כלב, 28 מחזיקות חתול, ו-12 מחזיקות גם כלב וגם חתול. בוחרים משפחה באקראי. מה ההסתברות שאין לה כלב ואין לה חתול?

Show the answer and the solution

Answer: 0.35

Worked solution:

36+28-12=52

משפחות עם כלב או חתול — החיתוך נספר פעם אחת

80-52=28

בלי אף אחד מהשניים

\frac{28}{80}=0.35

ההסתברות

מי שחישב $80-36-28=16$ הוריד את 12 המשפחות שבחיתוך פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 9

כדור נוחת בנקודה אקראית במגרש ששטחו 600 מ״ר. בתוך המגרש ארגז חול ששטחו 90 מ״ר. מה ההסתברות שהכדור לא ינחת בארגז החול?

Show the answer and the solution

Answer: 0.85

Worked solution:

\begin{aligned}P(A) &= \frac{90}{600} \\ &= 0.15\end{aligned}

יחס שטחים: ארגז החול מתוך המגרש

\begin{aligned}P(\bar{A}) &= 1-0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}

המשלים

השאלה היא על המשלים. $0.15$ היא ההסתברות לנחות בתוך ארגז החול.

Check the answer on elev

Exercise 10

מטילים קובייה. $A$ — יצא 6, $B$ — יצא מספר זוגי. איזו טענה נכונה?

$A$ ו- $B$ זרים
$A$ ו- $B$ משלימים
$B \subseteq A$ , ולכן $P(B) \leq P(A)$
$A \subseteq B$ , ולכן $P(A) \leq P(B)$

Show the answer and the solution

Answer: D $A \subseteq B$ , ולכן $P(A) \leq P(B)$

Worked solution:

\begin{aligned}A &= \{6\} \\ \quad B &= \{2,4,6\}\end{aligned}

רושמים את המאורעות

A \subseteq B \ \Rightarrow \ \frac{1}{6} \leq \frac{3}{6}

כל תוצאה של $A$ היא גם של $B$

הנכונה: $A \subseteq B$ . $A$ ו- $B$ אינם זרים: ל-6 יש מקום בשניהם.

Check the answer on elev

חזרה — מבקרים במוזיאון

Exercise 11

ההסתברות שמבקר במוזיאון הוא מנוי של המוזיאון גדולה ב- $0.2$ מההסתברות שהוא אינו מנוי. א. בוחרים באקראי מבקר במוזיאון. מה ההסתברות שהוא מנוי?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

\begin{aligned}P(M) &= x \\ \quad P(\bar{M}) &= x-0.2\end{aligned}

נסמן $M$ — המבקר מנוי

x+(x-0.2)=1

מאורע והמשלים שלו: סכום ההסתברויות 1

\begin{aligned}2x &= 1.2 \Rightarrow x \\ &= 0.6\end{aligned}

פותרים

$P(M)=0.6$ ו- $P(\bar{M})=0.4$ , וההפרש ביניהן $0.2$ ✓. המלכודת: לענות $0.2$ — זה ההפרש, לא ההסתברות.

Check the answer on elev

Exercise 12

ההסתברות שמבקר במוזיאון הוא מנוי היא $0.6$ . $45\%$ מהמבקרים מגיעים בסיור מודרך, ו- $25\%$ מהמבקרים אינם מנויים ואינם מגיעים בסיור מודרך. ב. בוחרים באקראי מבקר. מה ההסתברות שהוא מנוי ו/או מגיע בסיור מודרך?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

G

נסמן $G$ — מגיע בסיור מודרך. «ו/או» הוא האיחוד $M \cup G$

P(\bar{M} \cap \bar{G})=0.25

מחוץ לשני העיגולים בדיאגרמת ון

\begin{aligned}P(M \cup G) &= 1-0.25 \\ &= 0.75\end{aligned}

האיחוד הוא המשלים של «אף אחד מהשניים»

$0.75$ . הנתונים $0.6$ ו- $0.45$ לא נחוצים לשאלה הזאת: מה שמחוץ לאיחוד כבר נתון. הם כן נותנים את החיתוך: $0.6+0.45-0.75=0.3$ .

Check the answer on elev

המילים של הפרק

שלוש דרכים לקבל הסתברות

כללי ההסתברות

האיחוד — בלי לספור פעמיים

Exercises

חזרה — מבקרים במוזיאון

Keep practising on elev