Independent events · Probability · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בנתב״ג מגרילים יעדים לשתי טיסות. לטיסה הראשונה יש 5 יעדים אפשריים, ולטיסה השנייה 7, ושתי ההגרלות לא משפיעות זו על זו. כל משבצת בלוח היא צירוף אחד של שני יעדים. לחצו והסתכלו איך השורה והעמודה נחתכות.

נסמן $A$ — ארה״ב בטיסה הראשונה, $B$ — דובאי בטיסה השנייה. לפי הלוח, מה $P(A)$ ומה $P(A \mid B)$ ?

Show the answer and the solution

$P(A)=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}$ , ו- $P(A \mid B)=\frac{1}{5}$ : משבצת אחת מתוך חמש בעמודה של דובאי. שוות: הידיעה על $B$ לא שינתה את $A$ .

ההגדרה ושלושה מבחנים

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים אם הידיעה שאחד מהם קרה לא משנה את ההסתברות של השני. יש שלוש דרכים שקולות לבדוק זאת, כאשר $0<P(B)<1$ :

P(A \mid B)=P(A)

הידיעה $B$ לא משנה את $A$

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

כלל הכפל, בלי תנאי

P(A \mid B)=P(A \mid \bar{B})

ל- $A$ אותה הסתברות כש- $B$ קרה וכש- $B$ לא קרה

למה שלושת המבחנים אומרים אותו דבר

Interactive activity

מעבר בין המבחנים

מתחילים מהמבחן הראשון, ומציבים בו את ההגדרה של הסתברות מותנית.

\begin{aligned}P(A \mid B) &= P(A) \iff \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &= P(A)\end{aligned}

כופלים ב- $P(B)$ , ומקבלים את המבחן השני.

\iff P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

אל המבחן השלישי: לפי נוסחת ההסתברות השלמה, $P(A)$ הוא ממוצע משוקלל של $P(A \mid B)$ ושל $P(A \mid \bar{B})$ .

P(A)=P(B) \cdot P(A \mid B)+P(\bar{B}) \cdot P(A \mid \bar{B})

ממוצע משוקלל של שני מספרים, עם משקלות חיוביים, שווה לאחד מהם רק כששני המספרים שווים.

\begin{aligned}P(A) &= P(A \mid B) \iff P(A \mid \bar{B}) \\ &= P(A \mid B)\end{aligned}

שלושת המבחנים שקולים: מספיק לבדוק אחד מהם.

Do the activity on elev

$P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ ו- $P(A \cap B)=0.2$ . האם $A$ ו- $B$ בלתי תלויים?

Show the answer and the solution

$0.4 \cdot 0.5=0.2=P(A \cap B)$ , ולכן כן. וכמו שההוכחה אומרת, גם $P(A \mid B)=\frac{0.2}{0.5}=0.4=P(A)$ .

אי-תלות בטבלה דו-ממדית

איך מגיעים לבית הספר? 200 תלמידים

	באוטובוס	לא באוטובוס	סה״כ
בנים	54	36	90
בנות	66	44	110
סה״כ	120	80	200

האם אופן ההגעה תלוי במין?

בוחרים תלמיד באקראי. $A$ — מגיע באוטובוס, $B$ — בן.

\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{54}{90} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין הבנים

\begin{aligned}P(A \mid \bar{B}) &= \frac{66}{110} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין הבנות: המבחן השלישי מתקיים

\begin{aligned}P(A) &= \frac{120}{200} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין כל התלמידים: גם המבחן הראשון

\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{54}{200} \\ &= 0.27 \\ &= 0.6 \cdot 0.45\end{aligned}

והמבחן השני, עם $P(B)=\frac{90}{200}=0.45$

זרים אינם בלתי תלויים

זה הבלבול הנפוץ ביותר בפרק. זרים פירושו שהמאורעות אינם יכולים לקרות יחד. אז אם $A$ קרה, $B$ בוודאות לא קרה: הידיעה שינתה הכול. לכן מאורעות זרים שהסתברויותיהם חיוביות הם תמיד תלויים: $P(A \cap B)=0$ , אבל $P(A) \cdot P(B)>0$ .

ניסויים חוזרים בלתי תלויים

כשחוזרים על ניסוי והחזרות לא משפיעות זו על זו, כופלים לאורך המסלול. את «לפחות פעם אחת» מחשבים דרך המשלים, «אף פעם לא».

מבחן עם שלוש שאלות

במבחן שלוש שאלות. מיכל פותרת כל שאלה נכון בהסתברות 0.8, ואין קשר בין השאלות.

0.8^3=0.512

שלוש תשובות נכונות: מסלול אחד

0.2^3=0.008

אף תשובה נכונה

1-0.008=0.992

לפחות תשובה נכונה אחת: המשלים

3 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2=0.384

בדיוק שתיים: שלושה מסלולים, בכל אחד המכפלה $0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2$

מה ההסתברות שמיכל תפתור נכון בדיוק שאלה אחת?

Show the answer and the solution

$3 \cdot 0.8 \cdot 0.2^2=0.096$ . בדיקה: $0.512+0.384+0.096+0.008=1$ ✓

כדי להוכיח אי-תלות, מספיק מבחן אחד שמתקיים. כדי להראות תלות, מספיק מבחן אחד שאינו מתקיים.

שלוש טעויות באי-תלות.

P(A \cap B)=0.1 \cdot 0.3

P(A \cap B)=0

כאן $A$ ו- $B$ זרים, עם $P(A)=0.1$ ו- $P(B)=0.3$ : אין להם תוצאה משותפת. כלל המכפלה $P(A) \cdot P(B)$ שמור למאורעות בלתי תלויים.

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)

המכפלה הפשוטה נכונה רק במאורעות בלתי תלויים. בכל מקרה אחר כופלים בהסתברות המותנית, כמו בעץ בלי החזרה.

0.8+0.8+0.8=2.4

1-0.2^3=0.992

חיבור הסתברויות של מאורעות שאינם זרים סופר פעמיים, ואפילו עובר את 1. «לפחות פעם אחת» מחשבים דרך המשלים.

Exercises

Exercise 1

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.3$ ו- $P(B)=0.6$ . מה $P(A \cap B)$ ?

$0.18$
$0$
$0.9$
$0.5$

Show the answer and the solution

Answer: A $0.18$

Worked solution:

\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B) \\ &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

המבחן השני, כנתון

הנכונה: $0.18$ . $0.9$ הוא סכום ולא מכפלה. $0$ נכון למאורעות זרים, לא לבלתי תלויים.

Check the answer on elev

Exercise 2

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.3$ ו- $P(B)=0.6$ . מה $P(A \cup B)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

אי-תלות

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3+0.6-0.18 \\ &= 0.72\end{aligned}

נוסחת האיחוד

אי-תלות אינה זרות: החיתוך הוא $0.18$ , לא $0$ . מי שענה $0.9$ שכח להחסיר אותו.

Check the answer on elev

Exercise 3

$P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \cap B)=0.25$ . המאורעות $A$ ו- $B$ בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

המכפלה

0.2 \neq 0.25

המבחן השני אינו מתקיים

לא נכון: המאורעות תלויים. $P(A \mid B)=\frac{0.25}{0.4}=0.625 \neq 0.5$ — הידיעה על $B$ מעלה את ההסתברות של $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

אם $A$ ו- $B$ זרים, ו- $P(A)>0$ ו- $P(B)>0$ , אז $A$ ו- $B$ תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(A \cap B)=0

זרים

P(A) \cdot P(B)>0

מכפלה של שני מספרים חיוביים

P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)

המבחן השני אינו מתקיים

נכון. אם $A$ קרה, $B$ בוודאות לא קרה: $P(B \mid A)=0 \neq P(B)$ . זרים ובלתי תלויים הם כמעט הפכים.

Check the answer on elev

Exercise 5

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.4$ ו- $P(A \cup B)=0.7$ . מצאו את $P(B)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

0.7=0.4+p-0.4p

נסמן $p=P(B)$ . נוסחת האיחוד, עם $P(A \cap B)=0.4p$

\begin{aligned}0.3 &= 0.6p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים

מי שענה $0.3$ השתמש בנוסחה של מאורעות זרים, $0.7-0.4$ . כאן החיתוך הוא $0.4p$ , ולא $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

	חטיבת ביניים	חטיבה עליונה	סה״כ
בחוג רובוטיקה	48	32	80
לא בחוג	192	128	320
סה״כ	240	160	400

בחטיבה 400 תלמידים. הטבלה מראה כמה מהם משתתפים בחוג רובוטיקה. נסמן $R$ — משתתף בחוג, $M$ — לומד בחטיבת הביניים. האם $R$ ו- $M$ בלתי תלויים?

לא: בחטיבת הביניים יותר משתתפים, 48 מול 32
כן: $P(R \mid M)=P(R \mid \bar{M})=0.2$
אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה בנים יש בחוג
לא: $P(R \cap M)=0.12 \neq 0.2$

Show the answer and the solution

Answer: B כן: $P(R \mid M)=P(R \mid \bar{M})=0.2$

Worked solution:

\begin{aligned}P(R \mid M) &= \frac{48}{240} \\ &= 0.2\end{aligned}

בחטיבת הביניים

\begin{aligned}P(R \mid \bar{M}) &= \frac{32}{160} \\ &= 0.2\end{aligned}

בחטיבה העליונה: אותו שיעור

\begin{aligned}P(R \cap M) &= \frac{48}{400} \\ &= 0.12 \\ &= 0.2 \cdot 0.6\end{aligned}

גם המבחן השני מתקיים

הנכונה: כן. 48 מול 32 משווה מספרים, אבל בחטיבת הביניים יש גם יותר תלמידים. $0.12$ צריך להשוות ל- $P(R) \cdot P(M)=0.2 \cdot 0.6$ , ולא ל- $0.2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מטילים מטבע הוגן ארבע פעמים. מה ההסתברות שלפחות פעם אחת יצא «עץ»?

Show the answer and the solution

Answer: 0.9375

Worked solution:

\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

אף פעם לא «עץ»: ארבע פעמים «פלי»

\begin{aligned}1-\frac{1}{16} &= \frac{15}{16} \\ &= 0.9375\end{aligned}

המשלים

ארבע ההטלות בלתי תלויות, ולכן כופלים. $4 \cdot \frac{1}{2}=2$ אינו הסתברות.

Check the answer on elev

Exercise 8

במבחן שלושה תרגילים. עמית פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.9, את השני בהסתברות 0.8 ואת השלישי בהסתברות 0.5, ואין קשר בין התרגילים. מה ההסתברות שעמית יפתור נכון את שלושת התרגילים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.36

Worked solution:

0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.36

אי-תלות: כופלים

מסלול אחד בעץ של שלושה שלבים. אין צורך בעץ המלא.

Check the answer on elev

Exercise 9

במבחן שלושה תרגילים. עמית פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.9, את השני בהסתברות 0.8 ואת השלישי בהסתברות 0.5, ואין קשר בין התרגילים. מה ההסתברות שעמית יפתור נכון בדיוק שני תרגילים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.49

Worked solution:

0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.36

הראשון והשני נכונים, השלישי לא

0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.5=0.09

הראשון והשלישי נכונים, השני לא

0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.04

השני והשלישי נכונים, הראשון לא

0.36+0.09+0.04=0.49

שלושה מסלולים זרים

כאן ההסתברויות שונות, ולכן כל מסלול מחושב לבד. $3 \cdot 0.36$ מניח שכל המסלולים שווים — ואינם.

Check the answer on elev

Exercise 10

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.2$ ו- $P(B)=0.5$ . השלימו.

$P(A \mid B)=$ ____ ; $P(A \mid \bar{B})=$ ____ ; $P(\bar{A} \cap \bar{B})=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $P(A \mid B)=$ 0.2 ; $P(A \mid \bar{B})=$ 0.2 ; $P(\bar{A} \cap \bar{B})=$ 0.4

Worked solution:

\begin{aligned}P(A \mid B) &= P(A) \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן הראשון

\begin{aligned}P(A \mid \bar{B}) &= P(A \mid B) \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן השלישי

\begin{aligned}P(\bar{A} \cap \bar{B}) &= 0.8 \cdot 0.5 \\ &= 0.4\end{aligned}

גם $\bar{A}$ ו- $\bar{B}$ בלתי תלויים

כשמאורעות בלתי תלויים, גם המשלימים שלהם בלתי תלויים. בדיקה: $P(A \cup B)=0.2+0.5-0.1=0.6$ , והמשלים שלו $0.4$ ✓

Check the answer on elev

ההגדרה ושלושה מבחנים

למה שלושת המבחנים אומרים אותו דבר

אי-תלות בטבלה דו-ממדית

זרים אינם בלתי תלויים

ניסויים חוזרים בלתי תלויים

Exercises

Keep practising on elev