Set 5 — towards the bagrut · Quadratic function · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים כמו בבחינה: חקירה מלאה של פרבולה עם השאלה «לאילו ערכי $k$ », פרבולה וישר עם שטח, וסילון מים. כל סעיף הוא תרגיל אחד, והסעיפים נשענים זה על זה.

בסעיף «לאילו ערכים של $k$ » מסרטטים קודם: הישר $y = k$ אופקי, והתשובה תלויה רק במקום שלו ביחס לקדקוד. אין מה לפתור.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

עם ציר $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; עם ציר $x$ : $x_1 =$ ____ (הקטן), $x_2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר $y$ : $(0,$ 5 $)$ ; עם ציר $x$ : $x_1 =$ -1 (הקטן), $x_2 =$ 5

Worked solution:

f(0) = 5

ציר $y$ : מציבים $x = 0$

\begin{aligned}-x^2 + 4x + 5 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x - 5 \\ &= 0\end{aligned}

ציר $x$ : מציבים $y = 0$ וכופלים ב- $-1$

\begin{aligned}(x - 5)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

השורשים

שלוש נקודות: $(0,\,5)$ , $(-1,\,0)$ ו- $(5,\,0)$ . המספר $5$ מופיע פעמיים, בשני תפקידים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ . ב. מצאו את קדקוד הפרבולה.

קדקוד: $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: קדקוד: $($ 2 $,$ 9 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-4}{2 \cdot (-1)} \\ &= 2\end{aligned}

נוסחת הקדקוד, או אמצע השורשים $\frac{-1 + 5}{2}$

\begin{aligned}y_V &= -4 + 8 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים

$V(2,\,9)$ הוא מקסימום, כי $a = -1 < 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ . ג. מהו תחום העלייה של הפונקציה?

$x < 2$
$x > 2$
$y < 9$
$-1 < x < 5$

Show the answer and the solution

Answer: A $x < 2$

Worked solution:

\begin{aligned}a &= -1 < 0 \\ \qquad x_V &= 2\end{aligned}

פתוחה כלפי מטה: עולה עד הקדקוד

הנכונה: $x < 2$ . $-1 < x < 5$ הוא תחום החיוביות, שאלה אחרת. בפרבולה שפתוחה כלפי מטה העלייה היא לפני הקדקוד.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ , ובשרטוט הגרף שלה. ד. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ שני פתרונות?

$-1 < k < 5$
$k > 0$
$k > 9$
$k < 9$

Show the answer and the solution

Answer: D $k < 9$

Worked solution:

\begin{aligned}y_V &= 9 \\ \qquad a < 0\end{aligned}

המקסימום $9$

k < 9

ישר אופקי מתחת לקדקוד חוצה את הפרבולה פעמיים

הנכונה: $k < 9$ . $-1 < k < 5$ מערבב את השורשים עם ערכי $k$ : השורשים הם ערכי $x$ , ו- $k$ הוא גובה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ , ובשרטוט הגרף שלה. ה. לאיזה ערך של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ פתרון אחד בדיוק?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}k &= y_V \\ &= 9\end{aligned}

הישר המקווקו $y = 9$ נוגע בפרבולה בקדקוד בלבד

\begin{aligned}-x^2 + 4x + 5 &= 9 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x + 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

אימות באלגברה: שורש אחד

ולכל $k > 9$ אין פתרון: הפרבולה לא עולה מעל $9$ . שלושת המקרים, מהשרטוט.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונות הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ והישר $g(x) = -x + 5$ . א. מצאו את שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

$x_1 =$ ____ (הקטן), $x_2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x_1 =$ 0 (הקטן), $x_2 =$ 5

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 6x + 5 &= -x + 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 5x \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים: ה- $5$ מצטמצם

\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

גורם משותף

A(0,\,5) ,\qquad B(5,\,0)

מציבים בישר

מי שחילק ב- $x$ איבד את הפתרון $x = 0$ . מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונות הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ והישר $g(x) = -x + 5$ , הנחתכים ב- $A(0,\,5)$ וב- $B(5,\,0)$ . ב. לאילו ערכי $x$ הפרבולה נמצאת מתחת לישר?

$x < 0$ או $x > 5$
$0 < x < 5$
$1 < x < 5$
$x < 5$

Show the answer and the solution

Answer: B $0 < x < 5$

Worked solution:

f(x) < g(x) \ \Leftrightarrow \ x^2 - 5x < 0

מעבירים לאגף אחד

x(x - 5) < 0 \ \Rightarrow \ 0 < x < 5

שלילי בין השורשים, כי המקדם של $x^2$ חיובי

\begin{aligned}f(2) &= -3 < g(2) \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בשרטוט

הנכונה: $0 < x < 5$ . $1 < x < 5$ הוא תחום השליליות של $f$ עצמה, מתחת לציר ה- $x$ : שאלה אחרת. כאן משווים לישר, לא לציר.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונות הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ והישר $g(x) = -x + 5$ , הנחתכים ב- $A(0,\,5)$ וב- $B(5,\,0)$ . ג. $O$ היא ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש $AOB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12.5

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= 5 \\ \qquad OB &= 5\end{aligned}

$A$ על ציר ה- $y$ , $B$ על ציר ה- $x$

\angle AOB = 90^\circ

הצירים מאונכים: משולש ישר זווית

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

הפרבולה לא משתתפת בסעיף הזה: השטח הוא של המשולש שבין הישר לצירים. הניצבים נקראים ישירות מהנקודות.

Check the answer on elev

Exercise 9

סילון מים יוצא מממטרה שעל הקרקע. הגובה של המים במטרים, במרחק אופקי $x$ מטרים מהממטרה, הוא $h(x) = -x^2 + 6x$ . א. מהו הגובה הגדול ביותר של הסילון (במטרים)?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2 \cdot (-1)} \\ &= 3\end{aligned}

המרחק שבו הסילון הכי גבוה

\begin{aligned}h(3) &= -9 + 18 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה המקסימלי

כאן $x$ הוא מרחק, לא זמן, אבל הכלי זהה: הקדקוד. $9$ מטר בגובה, במרחק $3$ מטר מהממטרה.

Check the answer on elev

Exercise 10

סילון מים יוצא מממטרה שעל הקרקע. הגובה של המים במטרים, במרחק אופקי $x$ מטרים מהממטרה, הוא $h(x) = -x^2 + 6x$ . ב. באיזה מרחק מהממטרה המים פוגעים בקרקע?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}-x^2 + 6x &= 0 \ \Rightarrow \ x(6 - x) \\ &= 0\end{aligned}

הקרקע: גובה אפס

\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= 6\end{aligned}

$x = 0$ הוא הממטרה עצמה

המים נוחתים במרחק $6$ מטר: פי שניים מ- $3$ , המרחק של הגובה המקסימלי. הסימטריה של הפרבולה, שוב.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev