Solving together · Similar triangles · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון שאלון 471, אחת לכל תצורה של הפרק: ישר מקביל לצלע, יחס שטחים, שעון חול, מלבן חסום במשולש, וטרפז שמוכיחים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ובכל שלב כתוב שם המשפט. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה כתבו על דף טענה ונימוק, ובכל דמיון — את סדר האותיות. הפער בין מה שכתבתם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — ישר מקביל לצלע

DE \parallel BC

. נתון

AD=6

DB=4

DE=9

ו-

AE=3

Interactive activity

שאלה 1 — מקבילה ושלושה סעיפים

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=4$ , $DE=9$ ו- $AE=3$ . א. הוכיחו $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . ב. מצאו את $BC$ . ג. מצאו את $EC$ .

$BC=15$ , $EC=2$

$BC=6$ , $EC=2$

$BC=15$ , $EC=5$

$BC=13.5$ , $EC=3$

סעיף א: אילו שתי זוויות שוות?

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות בין מקבילים

Show the answer and the solution

כן. זה הזוג הקבוע של התצורה הזאת.

$\angle ADE = \angle ACB$

Show the answer and the solution

$\angle ADE$ נמצאת על הישר $AB$ , ולכן היא מתאימה ל- $\angle ABC$ , לא ל- $\angle ACB$ .

$\angle AED = \angle ABC$

Show the answer and the solution

$\angle AED$ נמצאת על $AC$ , ולכן היא מתאימה ל- $\angle ACB$ .

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$ .

סעיף ב: איזה יחס נותן את $BC$ ?

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{10}{6}$

Show the answer and the solution

כן. $AB = 6 + 4 = 10$ : חלק מול שלם.

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{DB}{AD} = \dfrac{4}{6}$

Show the answer and the solution

$DB$ אינו צלע של אף אחד משני המשולשים. הצלע המתאימה ל- $AD$ היא $AB$ כולה.

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AD}{AB}$

Show the answer and the solution

הפוך: $BC$ במשולש הגדול, ולכן היחס גדול מ- $1$ .

\begin{aligned}BC &= 9 \cdot \frac{10}{6} \\ &= 15\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים דומים.

סעיף ג: איך מגיעים ל- $EC$ ?

מוצאים $AC$ מהדמיון, ומחסרים $AE$

Show the answer and the solution

כן. $EC$ אינו צלע של אף משולש, ולכן קודם $AC$ .

$\dfrac{EC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$

Show the answer and the solution

$EC$ אינו צלע של המשולש $ABC$ . היחס הזה לא נובע מהדמיון.

$EC = DB = 4$

Show the answer and the solution

אין סיבה ש- $EC = DB$ : המשולש אינו שווה-שוקיים.

\begin{aligned}AC &= 3 \cdot \frac{10}{6} \\ &= 5 \ \Rightarrow \ EC \\ &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

$\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$ , ואז חיסור.

Show the answer and the solution

$BC=15$ , $EC=2$ . שתי המלכודות של השאלה: $DB$ במקום $AB$ בסעיף ב, ו- $EC$ ישר מהיחס בסעיף ג. הצלעות שביחס הן תמיד צלעות של המשולשים הדומים עצמם.

Do the activity on elev

בשאלה 1, מהו היחס $\dfrac{AE}{EC}$ ? ולמה הוא שווה ל- $\dfrac{AD}{DB}$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{AE}{EC} = \frac{3}{2}$ ו- $\frac{AD}{DB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . השוויון נובע מהדמיון: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (חלק מול שלם), ומשוויון של «חלק מול שלם» יוצא גם «חלק מול חלק». אבל $DE$ לא משתתף בזה: $\frac{DE}{BC}$ שווה רק לחלק מול שלם.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — יחס השטחים

DE \parallel BC

, ו-

AD:DB = 2:3

. שטח המשולש

ABC

הוא

50

Interactive activity

שאלה 2 — שטח הטרפז שנשאר

\begin{aligned}DE \parallel BC \\ \quad AD : DB &= 2 : 3 \\ \quad S_{ABC} &= 50 \\ \quad S_{DBCE} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הדמיון קודם, אחר כך $k$ מול השלם, ורק אז השטח.

דמיון

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות ( $DE \parallel BC$ ).

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{2+3} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB$ הוא $2+3=5$ חלקים.

שטחים

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{25}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

המשולש הקטן

\begin{aligned}S_{ADE} &= 50 \cdot \frac{4}{25} \\ &= 8\end{aligned}

הטרפז

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 50 - 8 \\ &= 42\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר מהמשולש הגדול.

המלכודת: $k = \frac{2}{3}$ . היחס $2:3$ הוא חלק מול חלק, ואילו $k$ הוא חלק מול שלם.

Do the activity on elev

בשאלה 2, אם היו נותנים $AD:AB = 2:3$ במקום $AD:DB = 2:3$ , מה היה שטח הטרפז?

Show the answer and the solution

אז $k = \frac{2}{3}$ ישירות, $S_{ADE} = 50 \cdot \frac{4}{9} = \frac{200}{9}$ , והטרפז $50 - \frac{200}{9} = \frac{250}{9}$ . הנתון « $AD:DB$ » ו« $AD:AB$ » נראים דומים, ומשנים הכול.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שעון חול

AB

ו-

CD

נחתכים ב-

O

, ו-

AC \parallel DB

. נתון

AO=4

OB=6

CO=6

ו-

AC=8

Interactive activity

שאלה 3 — שני ישרים נחתכים

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=4$ , $OB=6$ , $CO=6$ ו- $AC=8$ . א. הוכיחו $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ . ב. מצאו את $OD$ ואת $BD$ . ג. מצאו את היקף המשולש $BOD$ .

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $27$

$OD=4$ , $BD=8$ , היקף $18$

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $18$

$OD=9$ , $BD=10$ , היקף $25$

סעיף א: מאיפה באות שתי הזוויות השוות?

קודקודיות ב- $O$ , ומתחלפות בין $AC \parallel DB$

Show the answer and the solution

כן. אין כאן זווית משותפת: הזוויות באות מהחיתוך ומהמקבילים.

זווית משותפת ב- $O$ וזוויות מתאימות

Show the answer and the solution

אין למשולשים זווית משותפת: הם משני צדי $O$ . הזוויות ב- $O$ קודקודיות, לא משותפות.

$\angle A = \angle D$ מתחלפות

Show the answer and the solution

$\angle CAO$ מתחלפת עם $\angle DBO$ — שתיהן על הישר $AB$ . $\angle D$ מתחלפת עם $\angle C$ .

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow B$ , $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow D$ .

סעיף ב: מהו יחס הדמיון $k$ , גדול חלקי קטן?

$k = \dfrac{OB}{AO} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

Show the answer and the solution

כן. $OB$ מול $AO$ : זוג צלעות מתאימות ששתיהן נתונות.

$k = \dfrac{CO}{AO} = \dfrac{6}{4}$

Show the answer and the solution

$CO$ ו- $AO$ הן שתי צלעות של אותו משולש. יחס דמיון הוא בין צלעות מתאימות של שני משולשים.

$k = \dfrac{OB}{CO} = 1$

Show the answer and the solution

$OB$ מתאימה ל- $AO$ , לא ל- $CO$ .

\begin{aligned}OD &= \frac{3}{2} \cdot 6 \\ &= 9 \\ \qquad BD &= \frac{3}{2} \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$OD \leftrightarrow CO$ , $BD \leftrightarrow AC$ .

סעיף ג: איך מוצאים את היקף $BOD$ בלי לחבר?

היקף $AOC$ כפול $k$

Show the answer and the solution

כן. יחס ההיקפים הוא $k$ .

היקף $AOC$ כפול $k^2$

Show the answer and the solution

$k^2$ הוא יחס השטחים. היקף הוא אורך.

היקף $AOC$ ועוד $k$

Show the answer and the solution

יחס הוא כפל, לא חיבור.

\begin{aligned}P_{BOD} &= (4 + 6 + 8) \cdot \frac{3}{2} \\ &= 27\end{aligned}

בדיקה: $6 + 9 + 12 = 27$ ✓

Show the answer and the solution

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $27$ . שתי הדרכים להיקף מסכימות, וזו הבדיקה הטובה ביותר. המלכודת בסעיף ב: להשוות שתי צלעות של אותו משולש.

Do the activity on elev

בשאלה 3, מהו יחס השטחים $\dfrac{S_{BOD}}{S_{AOC}}$ ?

Show the answer and the solution

$k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ . שטח הוא היחיד שמקבל ריבוע; ההיקף, כמו שראינו, פי $\frac{3}{2}$ בלבד.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מלבן חסום במשולש

BC=18

, הגובה

AH=12

. המלבן

KLMN

שגובהו

KN=4

;

P

הוא חיתוך

AH

עם

KL

Interactive activity

שאלה 4 — צלע המלבן ושטחו

\begin{aligned}BC &= 18 \\ \quad AH &= 12 \\ \quad KN &= 4 \\ \quad KL &= \ ? \\ \quad S_{KLMN} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגובה של המשולש הקטן הוא לא גובה המלבן.

דמיון

KL \parallel BC \ \Rightarrow \ \triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle AKL = \angle ABC$ מתאימות.

גובה קטן

\begin{aligned}AP &= AH - KN \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}

$AP$ הוא הגובה של $AKL$ מהקודקוד $A$ לצלע $KL$ .

יחס

\begin{aligned}\frac{KL}{BC} &= \frac{AP}{AH} \\ &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון.

צלע

\begin{aligned}KL &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

שטח

\begin{aligned}S_{KLMN} &= 12 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

צלע כפול גובה.

אם השאלה נותנת את $KL$ ומבקשת את הגובה, הולכים הפוך: $AP$ מהיחס, ואז $KN = AH - AP$ .

Do the activity on elev

באותו משולש, מהו גובה המלבן החסום שצלעו העליונה $KL = 6$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{AP}{12} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , ולכן $AP = 4$ , ו- $KN = 12 - 4 =$ 8. מלבן צר וגבוה: $KL$ קטן פירושו $AP$ קטן, כלומר המלבן מטפס גבוה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — טרפז שמוכיחים

AB=15

AC=12

AD=5

AE=4

ו-

BC=18

. ההקבלה של

DE

ל-

BC

אינה נתונה.

Interactive activity

שאלה 5 — מצלעות פרופורציוניות לטרפז

במשולש $ABC$ , $AB=15$ , $AC=12$ ו- $BC=18$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=5$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=4$ . א. הוכיחו ש- $DBCE$ טרפז. ב. מצאו את $DE$ . ג. מצאו את היקף הטרפז $DBCE$ .

$DE=6$ , היקף $42$

$DE=6$ , היקף $51$

$DE=4.5$ , היקף $40.5$

$DE=6$ , היקף $36$

סעיף א: באיזה משפט דמיון מתחילים?

צ.ז.צ: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{3}$ והזווית $A$ משותפת

Show the answer and the solution

כן. ההקבלה עוד לא ידועה, ולכן אין זוויות מתאימות. יש יחסים וזווית כלואה.

ז.ז: $\angle A$ משותפת ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

Show the answer and the solution

זוויות מתאימות שוות רק אם $DE \parallel BC$ , וזה מה שצריך להוכיח. הנימוק מעגלי.

צ.צ.צ

Show the answer and the solution

הצלע השלישית $DE$ אינה נתונה.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ.

סעיף א, המשך: איך מגיעים מהדמיון להקבלה?

$\angle ADE = \angle ABC$ (זוויות מתאימות במשולשים דומים), ולכן $DE \parallel BC$

Show the answer and the solution

כן. זוויות מתאימות שוות מוכיחות הקבלה.

$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3}$ , ולכן $DE \parallel BC$

Show the answer and the solution

יחס של אורכים לא מוכיח הקבלה. מקבילות מוכיחים בזוויות.

$DE < BC$ , ולכן $DE \parallel BC$

Show the answer and the solution

קטע קצר יותר אינו בהכרח מקביל.

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

$DBCE$ טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות.

סעיפים ב ו-ג: מה מחשבים?

$DE = \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ , והיקף $= DB + BC + CE + ED$

Show the answer and the solution

כן. $DB = 15 - 5 = 10$ , $CE = 12 - 4 = 8$ .

$DE = 6$ , והיקף $= AB + BC + CA$

Show the answer and the solution

זה היקף המשולש הגדול ( $45$ ), לא של הטרפז.

$DE = \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ , והיקף $= 15 + 18 + 12 + 6$

Show the answer and the solution

$AB$ ו- $AC$ הן צלעות שלמות של המשולש. השוקיים של הטרפז הן $DB$ ו- $CE$ .

\begin{aligned}P &= 10 + 18 + 8 + 6 \\ &= 42\end{aligned}

Show the answer and the solution

$DE=6$ , היקף $42$ . המלכודת בסעיף א: ז.ז עם «מתאימות» היא הנחה של המסקנה. המלכודת בסעיף ג: היקף עם $AB$ ו- $AC$ במקום $DB$ ו- $CE$ .

Do the activity on elev

בשאלה 5, איזה חלק משטח המשולש $ABC$ הוא שטח הטרפז $DBCE$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{1}{9}$ , ולכן הטרפז הוא $1 - \frac{1}{9} =$ $\frac{8}{9}$ מהשטח. אין צורך בשום מספר של הצלעות: רק $k$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $DE=5$ . מצאו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB = 4 + 8 = 12$

\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BC=15$ . מי שכתב $\frac{BC}{DE} = \frac{DB}{AD} = 2$ קיבל $10$ : $DB$ אינו צלע של אף אחד משני המשולשים.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD:DB = 1:2$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $36$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם: $1 + 2 = 3$ חלקים

\begin{aligned}S_{ADE} &= 36 \cdot \frac{1}{9} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 4 \\ &= 32\end{aligned}

מה שנשאר

$32$ . המלכודת: $k = \frac{1}{2}$ מהיחס $1:2$ . זה חלק מול חלק, ו- $k$ הוא חלק מול שלם.

Check the answer on elev

Exercise 3

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=3$ , $OB=9$ ו- $AC=5$ . מצאו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}\frac{BD}{AC} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}BD &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BD=15$ . $BD$ מול $AC$ (שני המקבילים), $OB$ מול $AO$ . הסדר $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ אומר בדיוק את זה.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ , $BC=20$ והגובה $AH=10$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=4$ . מצאו את $KL$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}AP &= 10 - 4 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\begin{aligned}\frac{KL}{20} &= \frac{6}{10} \ \Rightarrow \ KL \\ &= 12\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

$KL=12$ . הגובה המתאים הוא $AP = AH - KN$ , לא $KN$ . מי שכתב $\frac{KL}{20} = \frac{4}{10}$ קיבל $8$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ , $AB=12$ ו- $AC=9$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=3$ . הוכיחו או הפריכו: $DBCE$ טרפז.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

יחסים שווים, והזווית $A$ כלואה ומשותפת

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות; זוויות מתאימות שוות, ולכן מקבילים

הטענה נכונה: $DBCE$ טרפז, כי $DE \parallel BC$ . המשפט שפותח הוא צ.ז.צ, לא ז.ז — ההקבלה היא המסקנה.

Check the answer on elev

1 — ישר מקביל לצלע

2 — יחס השטחים

3 — שעון חול

4 — מלבן חסום במשולש

5 — טרפז שמוכיחים

Exercises

Keep practising on elev