Set 3 — challenging · Similar triangles · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 3 דורשת לבחור את הכלי בעצמכם: שטח טרפז דרך $k^2$ , הגובה ליתר, אלכסוני טרפז, שטחים והיקפים יחד, זווית שווה לזווית של המשולש, וסדר שלבים של פתרון שלם.

כשאין מקבילים בשרטוט, חפשו זווית משותפת ועוד זווית שווה אחת. וכשנתונים שטחים, השורש הוא הצעד הראשון.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=6$ , $DB=3$ , ושטח המשולש $ABC$ הוא $45$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 45 \cdot \frac{4}{9} \\ &= 20\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 20 \\ &= 25\end{aligned}

מה שנשאר

$25$ . שתי מלכודות: $k = \frac{6}{3} = 2$ (חלק מול חלק, וגם הפוך), ושטח פי $k$ במקום $k^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . הוכיחו: $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$CD \perp AB$

$\triangle ACD \sim \triangle CBD$

Show the answer and the solution

$\angle ADC = \angle CDB = 90^\circ$ — $CD$ גובה ליתר
$\angle ACD = 90^\circ - \angle A$ — סכום הזוויות במשולש $ACD$ הוא $180°$
$\angle CBD = 90^\circ - \angle A$ — סכום הזוויות במשולש $ABC$ הוא $180°$ , ו- $\angle ACB = 90^\circ$
$\angle ACD = \angle CBD$ — שתיהן שוות ל- $90^\circ - \angle A$
$\triangle ACD \sim \triangle CBD$ — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גובה

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle CBD \\ &= 90^\circ - \angle A\end{aligned}

משלימות ל- $90°$ עם אותה זווית

\triangle ACD \sim \triangle CBD

ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow D$

כאן אין זווית משותפת בין שני המשולשים הקטנים, ולכן מוצאים זווית שווה דרך «שתיהן משלימות את $\angle A$ ל- $90°$ ». המלכודת: לכתוב $\triangle ACD \sim \triangle BCD$ — $C$ הקטן מתאים ל- $B$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=6$ , $DC=9$ ו- $AO=4$ . מצאו את $OC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COD \\ \quad \angle BAO &= \angle DCO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות בין $AB \parallel DC$

\triangle AOB \sim \triangle COD

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{OC}{AO} &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}OC &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

התשובה

$OC=6$ . אלכסוני הטרפז יוצרים שעון חול, והבסיסים הם הצלעות המקבילות שלו. המלכודת: לחשוב שהאלכסונים חוצים זה את זה — זה נכון רק במקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 4

שטחי שני משולשים דומים הם $16$ ו- $36$ , וסכום ההיקפים שלהם הוא $40$ . מצאו את היקף המשולש הגדול.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{36}{16}} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון: שורש

\begin{aligned}P_1 + \frac{3}{2} P_1 &= 40 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2} P_1 \\ &= 40 \ \Rightarrow \ P_1 \\ &= 16\end{aligned}

יחס ההיקפים $k$ ; מסמנים את היקף הקטן

\begin{aligned}P_2 &= 40 - 16 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הגדול

$24$ . בדיקה: $\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ ✓. מי שדילג על השורש כתב $P_1 + \frac{36}{16}P_1 = 40$ וקיבל היקפים לא שלמים — סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . איזו טענה נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle ACD$
$\triangle BAD \sim \triangle BCA$
אין משולשים דומים בשרטוט
$\triangle BAD \sim \triangle BAC$

Show the answer and the solution

Answer: B $\triangle BAD \sim \triangle BCA$

Worked solution:

\angle B = \angle B

זווית משותפת

\angle BAD = \angle BCA

נתון

\triangle BAD \sim \triangle BCA

משפט דמיון ז.ז: $B \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$

הנכונה: $\triangle BAD \sim \triangle BCA$ . הזווית $B$ משותפת, והזווית הנתונה מציבה את $A$ הקטן מול $C$ הגדול. $\triangle BAC$ מציב את $A$ מול $A$ , וזה שגוי: הזוויות $\angle BAD$ ו- $\angle BAC$ אינן שוות.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . נתון $AB=6$ ו- $BC=9$ . מצאו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\triangle BAD \sim \triangle BCA

ז.ז: $\angle B$ משותפת, $\angle BAD = \angle C$ נתון

\frac{BD}{BA} = \frac{BA}{BC}

צלעות מתאימות: $BD \leftrightarrow BA$ , $BA \leftrightarrow BC$

\begin{aligned}BD &= \frac{6^2}{9} \\ &= 4\end{aligned}

כפל בהצלבה

$BD=4$ . הצלע $AB$ מופיעה בשני המשולשים, פעם כצלע של הקטן ופעם של הגדול, ולכן היא מופיעה פעמיים ביחס.

Check the answer on elev

Exercise 7

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=6$ , $OB=4$ , ושטח המשולש $AOC$ הוא $18$ . מצאו את שטח המשולש $BOD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}k &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון, קטן חלקי גדול

\begin{aligned}S_{BOD} &= 18 \cdot \frac{4}{9} \\ &= 8\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

$8$ . $BOD$ הוא הקטן, ולכן $k<1$ והשטח קטן. מי שכפל ב- $\frac{2}{3}$ בלי ריבוע קיבל $12$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $BC=15$ . סדרו את שלבי הפתרון שמוצא את $DE$ .

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ זוויות מתאימות בין מקבילים
$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12}$
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז
$AB = 4 + 8 = 12$
$DE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$

Show the answer and the solution

Answer: $\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ זוויות מתאימות בין מקבילים · $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז · $AB = 4 + 8 = 12$ · $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12}$ · $DE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$

Worked solution:

\text{זוויות} \ \rightarrow \ \text{דמיון} \ \rightarrow \ \text{יחס} \ \rightarrow \ \text{חישוב}

הסדר הקבוע של כל שאלת דמיון

קודם הזוויות, אחר כך הדמיון עם סדר האותיות, ורק אז היחס. יחס שנכתב לפני הדמיון הוא ניחוש, גם כשהוא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), ו- $KL=15$ . מצאו את גובה המלבן $KN$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}\frac{AP}{16} &= \frac{15}{24} \ \Rightarrow \ AP \\ &= 10\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

\begin{aligned}KN &= 16 - 10 \\ &= 6\end{aligned}

גובה המלבן: $AH$ פחות $AP$

$KN=6$ . הפעם הצלע נתונה ומחפשים גובה: היחס נותן את $AP$ , ואז מחסרים. מי שענה $10$ עצר ב- $AP$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

צלעות המשולש $ABC$ הן $6$ , $8$ ו- $10$ . משולש $DEF$ דומה לו, והיקפו $60$ . השלימו.

הצלע הקצרה ביותר ב- $DEF$ : ____ , הצלע הארוכה ביותר: ____

Show the answer and the solution

Answer: הצלע הקצרה ביותר ב- $DEF$ : 15 , הצלע הארוכה ביותר: 25

Worked solution:

\begin{aligned}P_{ABC} &= 6 + 8 + 10 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הקטן

\begin{aligned}k &= \frac{60}{24} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

\begin{aligned}6 \cdot 2.5 &= 15 \\ \quad 10 \cdot 2.5 &= 25\end{aligned}

קצרה מול קצרה, ארוכה מול ארוכה

$15$ ו- $25$ . בדיקה: $15 + 20 + 25 = 60$ ✓. ההיקף נותן את $k$ ישירות, בלי שורש.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev