מבחן לדוגמא — שליש ראשון

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן לדוגמא — שליש ראשון. 5 שאלות עם סעיפים, 24 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: מבוא להנדסה אנליטית, מקומות גאומטריים, מבוא לאנליזה של פונקציות, והנגזרת של פולינום — עד חקירה מלאה ומשוואת משיק.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו טענה ונימוק לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercises

שאלה 1 — הנדסה אנליטית ומקום גאומטרי

Exercise 1

שרטוט לשאלה 1
AB-4-3-2-101234567-2-112345678xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). א. מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -2 x+x + 6

Worked solution:

M=(−3+52,2+62)=(1,4)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+6}{2}\right) \\ &= (1, 4)\end{aligned}

אמצע הקטע: ממוצע השיעורים

mAB=6−25−(−3)=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6-2}{5-(-3)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הקטע

m1⋅12=−1⇒m1=−2\begin{aligned}m_1 \cdot \frac{1}{2} &= -1 \Rightarrow m_1 \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−1)⇒y=−2x+6\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -2x + 6\end{aligned}

ישר דרך MM בשיפוע −2-2

האנך האמצעי הוא y=−2x+6y = -2x + 6. המלכודת: להעביר את הישר דרך AA או דרך BB במקום דרך האמצע MM, או לקחת שיפוע 22 — הופכי בלי להפוך סימן.

Check the answer on elev

Exercise 2

שרטוט לשאלה 1
ABM-4-3-2-101234567-2-112345678xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). האנך האמצעי לקטע ABAB הוא y=−2x+6y = -2x + 6. ב. הנקודה CC נמצאת על האנך האמצעי ועל ציר ה-xx. מצאו את שיעורי CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: C=C = ( 3 , 0 )

Worked solution:

y=0y = 0

כל נקודה על ציר ה-xx

0=−2x+6⇒x=3\begin{aligned}0 &= -2x + 6 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מציבים במשוואת האנך האמצעי

C(3,0)C(3, 0). המלכודת: להציב x=0x = 0 — כך מקבלים את נקודת החיתוך עם ציר ה-yy, (0,6)(0, 6).

Check the answer on elev

Exercise 3

שרטוט לשאלה 1
ABMC-4-3-2-101234567-2-112345678xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). M(1,4)M(1, 4) אמצע ABAB, והנקודה C(3,0)C(3, 0) על האנך האמצעי לקטע. ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

AB=82+42=80\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

אורך הבסיס, בנוסחת המרחק

CM=22+42=20\begin{aligned}CM &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

CM⊥ABCM \perp AB, ולכן CMCM הוא הגובה לבסיס

S=80⋅202=402=20\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח 2020. המלכודת: לקחת את CACA או CBCB כגובה. הגובה הוא הקטע המאונך לבסיס — כאן CMCM, כי CC על האנך האמצעי.

Check the answer on elev

Exercise 4

שרטוט לשאלה 1, סעיפים ד-ה
ABC-4-20246810-6-4-22468xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). הנקודה C(3,0)C(3, 0) נמצאת על האנך האמצעי לקטע ABAB. ד. מהי משוואת המעגל שמרכזו CC ועובר דרך AA?

  1. (x+3)2+y2=40(x+3)^2 + y^2 = 40
  2. (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = 40
  3. (x−3)2+y2=20(x-3)^2 + y^2 = 20
  4. (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = \sqrt{40}
Show the answer and the solution

Answer: B (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = 40

Worked solution:

R2=CA2=(−3−3)2+(2−0)2=40\begin{aligned}R^2 &= CA^2 \\ &= (-3-3)^2 + (2-0)^2 \\ &= 40\end{aligned}

רדיוס בריבוע, בנוסחת המרחק

(x−3)2+(y−0)2=40(x-3)^2 + (y-0)^2 = 40

מעגל שמרכזו (a,b)(a, b): (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

התשובה הנכונה: (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = 40. המלכודות: (x+3)2(x+3)^2 — סימן הפוך של המרכז; 40\sqrt{40} באגף ימין — שוכחים שבמשוואה מופיע R2R^2; 2020 — הריבוע של CMCM, לא של CACA.

Check the answer on elev

Exercise 5

שרטוט לשאלה 1, סעיפים ד-ה
ABC-4-20246810-6-4-22468xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). הנקודה C(3,0)C(3, 0) נמצאת על האנך האמצעי לקטע ABAB, והמעגל שמרכזו CC עובר דרך AA. ה. הוכיחו או הפריכו: המעגל עובר גם דרך BB.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

CA=CBCA = CB

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

CB2=(5−3)2+62=40=R2\begin{aligned}CB^2 &= (5-3)^2 + 6^2 \\ &= 40 \\ &= R^2\end{aligned}

בדיקה בחישוב: BB מקיימת את משוואת המעגל

נכון, ובלי חישוב: האנך האמצעי הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ-AA ומ-BB שווה. המלכודת: לחשוב שצריך למצוא את משוואת המעגל מחדש — המשפט על המקום הגאומטרי כבר נותן את התשובה.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מקומות גאומטריים במשולש

Exercise 6

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. א. הוכיחו כי DB=DIDB = DI.

  • BIBI חוצה את ∠ABC\angle ABC
  • DE∥BCDE \parallel BC

DB=DIDB = DI

Show the answer and the solution
  1. ∠DBI=∠IBC\angle DBI = \angle IBC — נתון — BIBI חוצה זווית
  2. ∠DIB=∠IBC\angle DIB = \angle IBC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  3. ∠DBI=∠DIB\angle DBI = \angle DIB — כלל המעבר
  4. DB=DIDB = DI — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

Worked solution:

∠DBI=∠IBC\angle DBI = \angle IBC

נתון — BIBI חוצה זווית

∠DIB=∠IBC\angle DIB = \angle IBC

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

∠DBI=∠DIB\angle DBI = \angle DIB

כלל המעבר

DB=DIDB = DI

במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

המשולש DBIDBI שווה שוקיים. המלכודת: לכתוב «זוויות מתאימות» — ∠DIB\angle DIB ו-∠IBC\angle IBC נמצאות משני צדי החותך BIBI, ולכן הן מתחלפות.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. הוכח כי DB=DIDB = DI, ובאותה דרך EC=EIEC = EI. ב. נתון AB=9AB = 9, AC=12AC = 12 ו-BC=10BC = 10. חשבו את היקף המשולש ADEADE.

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

PADE=AD+DI+IE+EAP_{ADE} = AD + DI + IE + EA

DE=DI+IEDE = DI + IE

=AD+DB+EC+EA= AD + DB + EC + EA

מחליפים DI=DBDI = DB ו-IE=ECIE = EC

AB+AC=9+12=21\begin{aligned}AB + AC &= 9 + 12 \\ &= 21\end{aligned}

שני זוגות מתחברים לצלעות שלמות

ההיקף 2121, והוא אינו תלוי ב-BCBC. המלכודת: לחפש את ADAD ו-DEDE בנפרד, או להוסיף את BC=10BC = 10 לסכום — הנתון הזה מיותר כאן.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. ג. הנקודה II היא:

  1. מרכז הכובד של המשולש ABCABC
  2. מרכז המעגל החסום במשולש ABCABC
  3. מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABC
  4. נקודת המפגש של הגבהים במשולש ABCABC
Show the answer and the solution

Answer: B מרכז המעגל החסום במשולש ABCABC

Worked solution:

I∈BI: d(I,AB)=d(I,BC)I \in BI: \ d(I, AB) = d(I, BC)

על חוצה זווית כל נקודה במרחק שווה משוקי הזווית

I∈CI: d(I,BC)=d(I,AC)I \in CI: \ d(I, BC) = d(I, AC)

אותו דבר לזווית CC

d(I,AB)=d(I,AC)d(I, AB) = d(I, AC)

ולכן II גם על חוצה הזווית AA — מרכז המעגל החסום

התשובה הנכונה: מרכז המעגל החסום. המלכודת: לבלבל עם מרכז המעגל החוסם — הוא מפגש האנכים האמצעיים, והוא שווה מרחק מהקודקודים ולא מהצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. ד. הוכיחו או הפריכו: אם AB=ACAB = AC, אז הישר AIAI מאונך ל-BCBC.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∠BAI=∠CAI\angle BAI = \angle CAI

AIAI חוצה את ∠A\angle A: שלושת חוצי הזוויות נפגשים ב-II

AB=ACAB = AC

המשולש שווה שוקיים

AI⊥BCAI \perp BC

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה

נכון. המלכודת: לענות «לא» כי בשרטוט AB≠ACAB \neq AC — הטענה עוסקת במקרה שבו הצלעות שוות, והשרטוט אינו חלק מהנתון.

Check the answer on elev

שאלה 3 — חקירת פולינום

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. א. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, ומה קורה בנקודה x=3x = 3?

  1. (−3,0)(-3, 0), (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0)
  2. (0,0)(0, 0) בלבד
  3. (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0); ב-x=3x = 3 הגרף משיק לציר ה-xx
  4. (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0); בשתי הנקודות הגרף חוצה את ציר ה-xx
Show the answer and the solution

Answer: C (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0); ב-x=3x = 3 הגרף משיק לציר ה-xx

Worked solution:

f(x)=x(x2−6x+9)=x(x−3)2\begin{aligned}f(x) &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x(x-3)^2\end{aligned}

מוציאים גורם משותף ומזהים ריבוע

x=0 (ריבוי 1)x=3 (ריבוי 2)\begin{aligned}x &= 0 \ (\text{ריבוי } 1) \\ \quad x &= 3 \ (\text{ריבוי } 2)\end{aligned}

שורש מריבוי זוגי — הגרף נוגע בציר ולא חוצה

התשובה הנכונה: (0,0)(0,0) ו-(3,0)(3,0), וב-x=3x = 3 הגרף משיק לציר. המלכודת: לפתור x2=9x^2 = 9 ולקבל גם x=−3x = -3 — הביטוי הוא (x−3)2(x-3)^2, לא x2−9x^2 - 9.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. ב. תלמיד חיפש את הנקודות החשודות לקיצון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
3x2−12x+9=03x^2 - 12x + 9 = 0
x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0
x=−1 או x=−3\begin{aligned}x &= -1 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: x=−1 או x=−3x = -1 \ \text{או} \ x = -3 → x=1 או x=3x = 1 \ \text{או} \ x = 3

Worked solution:

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

מפרקים: מכפלה 33, סכום 44

x=1 או x=3\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

כל גורם שווה לאפס

השגיאה בשורה האחרונה: מהפירוק (x−1)(x−3)(x-1)(x-3) יוצאים x=1x = 1 ו-x=3x = 3. המלכודת: לקחת את המספרים שבתוך הסוגריים עם הסימן שלהם.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. הנגזרת מתאפסת ב-x=1x = 1 וב-x=3x = 3. ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

מקסימום: ( ____ , ____ ) מינימום: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: ( 1 , 4 ) מינימום: ( 3 , 0 )

Worked solution:

f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3)

הנגזרת מפורקת

x<1:f′>0,1<x<3:f′<0,x>3:f′>0x<1: f'>0, \quad 1<x<3: f'<0, \quad x>3: f'>0

טבלת סימנים של f′f'

f(1)=1−6+9=4f(3)=0\begin{aligned}f(1) &= 1 - 6 + 9 \\ &= 4 \\ \quad f(3) &= 0\end{aligned}

מציבים בפונקציה עצמה

מקסימום (1,4)(1, 4) ומינימום (3,0)(3, 0). המלכודת: להציב את xx בנגזרת במקום בפונקציה — ואז שיעור ה-yy יוצא 00 בשתי הנקודות.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. לפונקציה מקסימום ב-(1,4)(1, 4) ומינימום ב-(3,0)(3, 0). ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-x<4x < 4; יורדת ב-x>4x > 4
  2. יורדת ב-x<1x < 1 וב-x>3x > 3; עולה ב-1<x<31 < x < 3
  3. עולה ב-0<x<10 < x < 1 בלבד
  4. עולה ב-x<1x < 1 וב-x>3x > 3; יורדת ב-1<x<31 < x < 3
Show the answer and the solution

Answer: D עולה ב-x<1x < 1 וב-x>3x > 3; יורדת ב-1<x<31 < x < 3

Worked solution:

f′>0  ⟺  x<1 או x>3f' > 0 \iff x < 1 \ \text{או} \ x > 3

הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים

f′<0  ⟺  1<x<3f' < 0 \iff 1 < x < 3

ושלילית ביניהם

התשובה הנכונה: עולה ב-x<1x<1 וב-x>3x>3, יורדת ב-1<x<31<x<3. המלכודת: לכתוב את התחומים לפי ערכי yy של הקיצון (44) — תחומי עלייה נכתבים תמיד על ציר ה-xx.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. לפונקציה מקסימום ב-(1,4)(1, 4) ומינימום ב-(3,0)(3, 0). ה. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k שלושה פתרונות שונים?

  1. 0≤k≤40 \le k \le 4
  2. 0<k<40 < k < 4
  3. 1<k<31 < k < 3
  4. k>4k > 4
Show the answer and the solution

Answer: B 0<k<40 < k < 4

Worked solution:

y=ky = k

ישר אופקי שחותך את הגרף

0<k<40 < k < 4

בין ערך המינימום לערך המקסימום — שלוש נקודות חיתוך

k=0 או k=4\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= 4\end{aligned}

הישר משיק בקיצון — רק שני פתרונות

התשובה הנכונה: 0<k<40 < k < 4. המלכודות: לכלול את הקצוות — שם הישר משיק לגרף ונותן רק שני פתרונות; או לקחת את שיעורי ה-xx של הקיצון, 11 ו-33.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים.

y=y = ____ xx

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 9 xx

Worked solution:

f′(0)=3⋅0−12⋅0+9=9\begin{aligned}f'(0) &= 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9 \\ &= 9\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−0=9(x−0)⇒y=9x\begin{aligned}y - 0 &= 9(x - 0) \Rightarrow y \\ &= 9x\end{aligned}

ישר דרך (0,0)(0, 0)

המשיק y=9xy = 9x. המלכודת: לחשב f(0)=0f(0) = 0 ולכתוב y=0y = 0 — הערך של הפונקציה אינו השיפוע.

Check the answer on elev

שאלה 4 — משיק ופרמטר

Exercise 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים: aa הוא מספר קבוע

f′(2)=4+af'(2) = 4 + a

שיפוע המשיק ב-x=2x = 2

4+a=6⇒a=2\begin{aligned}4 + a &= 6 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

ישרים מקבילים — שיפועים שווים

a=2a = 2. המלכודת: להשוות את f(2)f(2) ל-66 — המקביל נותן את השיפוע, כלומר את f′(2)f'(2), ולא את ערך הפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. נמצא כי a=2a = 2. ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x=2x = 2.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 6 x+x + -3

Worked solution:

f(2)=4+4+1=9\begin{aligned}f(2) &= 4 + 4 + 1 \\ &= 9\end{aligned}

נקודת ההשקה (2,9)(2, 9)

y−9=6(x−2)⇒y=6x−3\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 6x - 3\end{aligned}

שיפוע 66 דרך נקודת ההשקה

המשיק y=6x−3y = 6x - 3. המלכודת: להעתיק את y=6x−5y = 6x - 5 מהנתון — ישר מקביל בעל אותו שיפוע, אבל הוא אינו עובר בנקודת ההשקה.

Check the answer on elev

Exercise 18

שרטוט לשאלה 4, סעיף ג
APQ-4-3-2-10123-4-2246810xy

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. נמצא כי a=2a = 2 והמשיק הוא y=6x−3y = 6x - 3. ג. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה PP ואת ציר ה-yy בנקודה QQ. חשבו את שטח המשולש OPQOPQ (OO ראשית הצירים).

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

y=0: 6x−3=0⇒P(0.5,0)\begin{aligned}y &= 0: \ 6x - 3 \\ &= 0 \Rightarrow P(0.5, 0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx

x=0: Q(0,−3)x = 0: \ Q(0, -3)

חיתוך עם ציר ה-yy

S=0.5⋅32=0.75\begin{aligned}S &= \frac{0.5 \cdot 3}{2} \\ &= 0.75\end{aligned}

משולש ישר זווית בראשית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 0.750.75. המלכודת: להכניס את −3-3 עם הסימן ולקבל שטח שלילי — אורך צלע הוא תמיד חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 19

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. נמצא כי a=2a = 2. ד. מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק מקביל לציר ה-xx.

( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( -1 , 0 )

Worked solution:

f′(x)=2x+2=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= 2x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

מקביל לציר ה-xx — שיפוע אפס

f(−1)=1−2+1=0\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 2 + 1 \\ &= 0\end{aligned}

שיעור ה-yy מהפונקציה

הנקודה (−1,0)(-1, 0) — זה קדקוד הפרבולה, והיא נוגעת שם בציר ה-xx כי f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2. המלכודת: לפתור f(x)=0f(x) = 0 במקום f′(x)=0f'(x) = 0; כאן זה יוצא במקרה אותו xx, אבל הדרך שגויה.

Check the answer on elev

שאלה 5 — פונקציות: זוגיות, שיטת הקטעים והזזות

Exercise 20

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. א. מצאו את נקודות האפס של הפונקציה. כתבו אותן מהקטנה לגדולה.

x=x = ____ , ____ , ____ , ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = -2 , -1 , 1 , 2

Worked solution:

t=x2: t2−5t+4=0\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה דו-ריבועית: מציבים משתנה עזר

t=1 או t=4\begin{aligned}t &= 1 \ \text{או} \ t \\ &= 4\end{aligned}

פירוק: (t−1)(t−4)(t-1)(t-4)

x2=1⇒x=±1x2=4⇒x=±2\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1 \\ \quad x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל-xx

ארבע נקודות אפס: −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. המלכודת: לעצור ב-t=1,4t = 1, 4 ולכתוב שני פתרונות בלבד — כל ערך חיובי של tt נותן שני ערכים של xx.

Check the answer on elev

Exercise 21

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. ב. הוכיחו או הפריכו: gg היא פונקציה זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

g(−x)=(−x)4−5(−x)2+4g(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 4

מציבים −x-x

=x4−5x2+4=g(x)= x^4 - 5x^2 + 4 = g(x)

חזקה זוגית מבטלת את המינוס

נכון: g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) לכל xx, והגרף סימטרי לציר ה-yy. המלכודת: להסתפק בבדיקה של מספר אחד, כמו g(−1)=g(1)g(-1) = g(1) — זוגיות צריך להוכיח לכל xx; רק הפרכה מסתפקת בדוגמה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 22

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. נקודות האפס שלה −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. ג. פתרו בשיטת הקטעים את אי-השוויון g(x)<0g(x) < 0.

  1. x<−2x < -2 או x>2x > 2
  2. −1<x<1-1 < x < 1
  3. −2<x<−1-2 < x < -1 או 1<x<21 < x < 2
  4. −2<x<2-2 < x < 2
Show the answer and the solution

Answer: C −2<x<−1-2 < x < -1 או 1<x<21 < x < 2

Worked solution:

g(x)=(x+2)(x+1)(x−1)(x−2)g(x) = (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)

פירוק לגורמים ליניאריים

x>2: g>0x > 2: \ g > 0

מקדם מוביל חיובי — הקטע הימני חיובי

+ ∣ − ∣ + ∣ − ∣ ++ \ | \ - \ | \ + \ | \ - \ | \ +

ארבעה שורשים פשוטים: הסימן מתחלף בכל אחד

התשובה הנכונה: −2<x<−1-2<x<-1 או 1<x<21<x<2. המלכודת: −2<x<2-2 < x < 2 — להתייחס רק לשורשים הקיצוניים כאילו זו פרבולה, ולשכוח שהסימן מתחלף גם ב-±1\pm 1.

Check the answer on elev

Exercise 23

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. נקודות האפס שלה −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. ד. התאימו לכל פונקציה את נקודות האפס שלה.

  • g(x−1)g(x-1)
  • g(x+1)g(x+1)
  • g(2x)g(2x)
  • g(x)−4g(x) - 4
  • −1, 0, 2, 3-1, \ 0, \ 2, \ 3
  • −3, −2, 0, 1-3, \ -2, \ 0, \ 1
  • ±12, ±1\pm \frac{1}{2}, \ \pm 1
  • 0, ±50, \ \pm \sqrt{5}
Show the answer and the solution

Answer: g(x−1)g(x-1) — −1, 0, 2, 3-1, \ 0, \ 2, \ 3 · g(x+1)g(x+1) — −3, −2, 0, 1-3, \ -2, \ 0, \ 1 · g(2x)g(2x) — ±12, ±1\pm \frac{1}{2}, \ \pm 1 · g(x)−4g(x) - 4 — 0, ±50, \ \pm \sqrt{5}

Worked solution:

g(x−1)=0  ⟺  x−1∈{−2,−1,1,2}g(x-1) = 0 \iff x - 1 \in \{-2, -1, 1, 2\}

הזזה ימינה ב-11: מוסיפים 11 לכל שורש

g(2x)=0  ⟺  2x∈{−2,−1,1,2}g(2x) = 0 \iff 2x \in \{-2, -1, 1, 2\}

כיווץ אופקי: מחלקים כל שורש ב-22

g(x)−4=x4−5x2=x2(x2−5)\begin{aligned}g(x) - 4 &= x^4 - 5x^2 \\ &= x^2(x^2 - 5)\end{aligned}

הזזה למטה משנה את הצורה: פותרים מחדש

המלכודת: להזיז את g(x−1)g(x-1) שמאלה — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. ו-g(x)−4g(x)-4 מזיזה למטה, ולכן נקודות האפס שלה אינן הזזה של הקודמות.

Check the answer on elev

Exercise 24

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. ה. מצאו את ערך המינימום של הפונקציה.

Show the answer and the solution

Answer: -2.25

Worked solution:

g′(x)=4x3−10x=2x(2x2−5)\begin{aligned}g'(x) &= 4x^3 - 10x \\ &= 2x(2x^2 - 5)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף

x=0x2=52\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x^2 &= \frac{5}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

g=(52)2−5⋅52+4=−94\begin{aligned}g &= \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 4 \\ &= -\frac{9}{4}\end{aligned}

ב-x=±2.5x = \pm\sqrt{2.5} — שני מינימומים באותו גובה

ערך המינימום −2.25-2.25, והוא מתקבל פעמיים בגלל הזוגיות. המלכודת: לתת את g(0)=4g(0) = 4 — ב-x=0x = 0 יש מקסימום מקומי, לא מינימום.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade