מבחן לדוגמא — שליש שני

Exercise 1

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל-$B$, ו-$PC$ משיק למעגל בנקודה $C$. א. הוכיחו כי $\triangle PCB \sim \triangle PAC$.

• $PC$ משיק למעגל ב-$C$
• $P$, $B$ ו-$A$ על ישר אחד

$\triangle PCB \sim \triangle PAC$

Exercise 2

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל-$B$, ו-$PC$ משיק למעגל בנקודה $C$. הוכח כי $\triangle PCB \sim \triangle PAC$. ב. נתון $PB = 4$ ו-$PC = 6$. מצאו את אורך הקוטר $AB$.

Exercise 3

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל-$B$, ו-$PC$ משיק למעגל בנקודה $C$. נתון $PB = 4$, $PC = 6$, ונמצא $PA = 9$. ג. מהו היחס בין שטח $\triangle PCB$ לשטח $\triangle PAC$?

1. A$\frac{4}{9}$
2. B$\frac{2}{3}$
3. C$\frac{16}{81}$
4. D$\frac{4}{5}$

Exercise 4

במעגל שמרכזו $O$ הקטע $AB$ הוא קוטר. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הקוטר מעבר ל-$B$, ו-$PC$ משיק למעגל בנקודה $C$. נתון $PB = 4$, $PC = 6$, $PA = 9$ ו-$AB = 5$. ד. חשבו את אורך המיתר $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Exercise 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$, $AC = 9$ ו-$BC = 10$. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ($D$ על $BC$). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל-$AB$, והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$. א. חשבו את $BD$.

Exercise 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$, $AC = 9$ ו-$BC = 10$. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ($D$ על $BC$). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל-$AB$, והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$. ב. הוכיחו כי $\triangle CDE \sim \triangle CBA$.

• $DE \parallel AB$
• $D$ על $BC$ ו-$E$ על $AC$

$\triangle CDE \sim \triangle CBA$

Exercise 7

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$, $AC = 9$ ו-$BC = 10$. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ($D$ על $BC$). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל-$AB$, והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$. נמצא $BD = 4$, והוכח כי $\triangle CDE \sim \triangle CBA$. ג. חשבו את $DE$.

Exercise 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$, $AC = 9$ ו-$BC = 10$. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ($D$ על $BC$). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל-$AB$, והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$. ד. הוכיחו או הפריכו: המשולש $ADE$ שווה שוקיים.

Exercise 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$, $AC = 9$ ו-$BC = 10$. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ($D$ על $BC$). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל-$AB$, והוא חותך את $AC$ בנקודה $E$. הוכח כי $\triangle CDE \sim \triangle CBA$ ביחס דמיון $\frac{3}{5}$. ה. מהו היחס בין שטח המרובע $ABDE$ לשטח המשולש $ABC$?

1. A$\frac{2}{5}$
2. B$\frac{9}{25}$
3. C$\frac{16}{25}$
4. D$\frac{4}{25}$

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$, ו-$a$ פרמטר. א. הנגזרת מתאפסת ב-$x = 0$ וב-$x = 3$. מה יש לפונקציה בנקודות האלה?

1. Aב-$x = 0$ אין קיצון, ב-$x = 3$ מינימום
2. Bבשתי הנקודות אין קיצון
3. Cב-$x = 0$ מקסימום, ב-$x = 3$ מינימום
4. Dב-$x = 0$ מינימום, ב-$x = 3$ מקסימום

Exercise 11

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$, ו-$a$ פרמטר. לפונקציה מינימום ב-$x = 3$. ב. מצאו את $a$ שעבורו נקודת המינימום נמצאת על ציר ה-$x$.

Exercise 12

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$, ו-$a$ פרמטר. הציבו $a = 27$. ג. בכמה נקודות חותך או משיק גרף הפונקציה לציר ה-$x$?

1. Aבאף נקודה
2. Bבנקודה אחת
3. Cבשתי נקודות
4. Dבארבע נקודות

Exercise 13

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$, ו-$a$ פרמטר. הציבו $a = 27$. ד. $F$ היא פונקציה קדומה של $f$, וגרפה עובר בנקודה $(0, 2)$. חשבו את $F(1)$.

Exercise 14

נתונה הפונקציה $f(x) = x^4 - 4x^3 + a$, ו-$a$ פרמטר. ה. הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של $a$ יש לפונקציה נקודת קיצון אחת בדיוק.

Exercise 15

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$. במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו-$B$ על ציר ה-$x$, והקודקודים $C$ ו-$D$ על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$. שיעור ה-$x$ של $C$ הוא $t$, ו-$t > 0$. א. הביעו באמצעות $t$ את שטח המלבן.

1. A$S(t) = 2t + 2(12 - t^2)$
2. B$S(t) = t(12 - t^2)$
3. C$S(t) = 2t(12 - t^2)$
4. D$S(t) = 2t(12 - t)^2$

Exercise 16

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$. במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו-$B$ על ציר ה-$x$, והקודקודים $C$ ו-$D$ על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$. שיעור ה-$x$ של $C$ הוא $t$, ו-$t > 0$. שטח המלבן הוא $S(t) = 2t(12 - t^2)$. ב. מצאו את $t$ שעבורו שטח המלבן מקסימלי.

Exercise 17

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$. במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו-$B$ על ציר ה-$x$, והקודקודים $C$ ו-$D$ על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$. שיעור ה-$x$ של $C$ הוא $t$, ו-$t > 0$. השטח מקסימלי כאשר $t = 2$. ג. מהו השטח המקסימלי?

Exercise 18

נתונה הפרבולה $y = 12 - x^2$. במלבן $ABCD$ הקודקודים $A$ ו-$B$ על ציר ה-$x$, והקודקודים $C$ ו-$D$ על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$. שיעור ה-$x$ של $C$ הוא $t$, ו-$t > 0$. השטח הוא $S(t) = 2t(12 - t^2)$, ולפונקציה מקסימום ב-$t = 2$. ד. נוסף תנאי: $0 < t \le 1.5$. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי עכשיו?

Exercise 19

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$. א. מהו המחזור של הפונקציה?

1. A$360^\circ$
2. B$180^\circ$
3. C$90^\circ$
4. D$720^\circ$

Exercise 20

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$. ב. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה, ומהו הערך הקטן ביותר?

הגדול ביותר: ____ הקטן ביותר: ____

Exercise 21

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$. ג. פתרו את המשוואה $f(x) = 0$ בתחום הנתון. כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

$x =$ ____° , ____° , ____° , ____°

Exercise 22

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sin(2x) + 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$. ד. לאילו מהמשוואות יש פתרון?

• יש פתרון
• אין פתרון

• $f(x) = -1.5$
• $f(x) = -1$
• $f(x) = -3$
• $f(x) = 2.5$
• $f(x) = 3$
• $f(x) = 4$

Exercise 23

הזווית $\alpha$ נמצאת ברביע השני ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), ו-$\sin\alpha = 0.6$. הנקודה $P$ על מעגל היחידה מתאימה לזווית $\alpha$. א. חשבו את $\cos\alpha$.

Exercise 24

הזווית $\alpha$ נמצאת ברביע השני ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), ו-$\sin\alpha = 0.6$. הנקודה $P$ על מעגל היחידה מתאימה לזווית $\alpha$. נמצא $\cos\alpha = -0.8$. ב. חשבו את $\tan\alpha$.

Exercise 25

הזווית $\alpha$ נמצאת ברביע השני ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), ו-$\sin\alpha = 0.6$. הנקודה $P$ על מעגל היחידה מתאימה לזווית $\alpha$. נמצא $\cos\alpha = -0.8$. ג. מהו $\cos(90^\circ - \alpha)$?

1. A$0.6$
2. B$-0.8$
3. C$0.8$
4. D$-0.6$