Solving together · Trigonometric functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: ערכים מתוך נתון אחד, משוואה עם זווית מורכבת, פרמטרים מתוך גרף, תנאי קיום עם פרמטר, ומודל של תופעה מחזורית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה. הפער בין מה שתכננתם לבין השלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — מנתון אחד לכל הערכים

Interactive activity

נתון $\sin\alpha = -0.6$ ו- $180^\circ < \alpha < 270^\circ$ . א. מצאו את $\cos\alpha$ ואת $\tan\alpha$ . ב. הביעו באמצעות מספרים את $\sin(180^\circ - \alpha)$ ואת $\cos(90^\circ - \alpha)$ .

\begin{aligned}\sin\alpha &= -0.6 \\ \qquad 180^\circ < \alpha < 270^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרביע נתון — הוא יחליט על כל סימן.

זהות

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות היסודית. עדיין אין סימן.

סימן

\cos\alpha = -0.8

ברביע השלישי הנקודה משמאל לציר $y$ .

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.6}{-0.8} \\ &= 0.75\end{aligned}

שלילי חלקי שלילי: חיובי, כמו שצריך ברביע השלישי.

\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= -0.6\end{aligned}

שיקוף בציר $y$ שומר על הגובה.

\begin{aligned}\cos(90^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= -0.6\end{aligned}

הזווית המשלימה.

המלכודת של סעיף ב: לחשב זווית במחשבון. הזהויות נותנות את התשובה המדויקת בלי למצוא את $\alpha$ בכלל.

Do the activity on elev

ומה $\cos(-\alpha)$ באותה שאלה?

Show the answer and the solution

$\cos(-\alpha) = \cos\alpha = -0.8$ . שיקוף בציר $x$ לא משנה את ה- $x$ של הנקודה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה עם זווית מורכבת בתחום

Interactive activity

פותרים בתחום, צעד אחרי צעד

פתרו את המשוואה $2\sin(2x + 30^\circ) = \sqrt3$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ .

מה עושים קודם?

מחלקים ב- $2$ : $\sin(2x + 30^\circ) = \frac{\sqrt3}{2}$

Show the answer and the solution

מבודדים את הסינוס, ובודקים ש- $\frac{\sqrt3}{2} \le 1$ .

מחלקים את הזווית ב- $2$ : $2\sin(x + 15^\circ)$

Show the answer and the solution

ה- $2$ שבחוץ והזווית שבפנים הם שני דברים שונים. אי אפשר להכניס אותו לסוגריים.

כותבים $2x + 30^\circ = \sqrt3$

Show the answer and the solution

$\sqrt3$ הוא ערך של סינוס, לא זווית.

\sin(2x + 30^\circ) = \tfrac{\sqrt3}{2}

איך נראה הפתרון הכללי?

$2x + 30^\circ = 60^\circ + 360^\circ k$ או $2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

Show the answer and the solution

כלל הסינוס, על כל הזווית שבסוגריים.

$2x + 30^\circ = \pm 60^\circ + 360^\circ k$

Show the answer and the solution

זה כלל הקוסינוס. $\sin(-60^\circ)$ שלילי.

\begin{aligned}x &= 15^\circ + 180^\circ k \ \ \text{או}\ \ x \\ &= 45^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחסירים $30^\circ$ ומחלקים הכל ב- $2$ .

אילו ערכי $k$ נכנסים?

$k = 0$ ו- $k = 1$ בכל משפחה

Show the answer and the solution

$15^\circ, 195^\circ$ ו- $45^\circ, 225^\circ$ . ב- $k = 2$ עוברים את $360^\circ$ .

רק $k = 0$

Show the answer and the solution

המחזור אחרי החלוקה הוא $180^\circ$ , ולכן בתחום של $360^\circ$ יש שני סיבובים.

\begin{aligned}x &= 15^\circ \\ \ 45^\circ \\ \ 195^\circ \\ \ 225^\circ\end{aligned}

Show the answer and the solution

ארבעה פתרונות: $15^\circ$ , $45^\circ$ , $195^\circ$ , $225^\circ$ .

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים מתוך גרף

הגרף של f — שאלה 3

Interactive activity

בציור הגרף של $f(x) = A\cos(bx) + c$ , כאשר $A > 0$ ו- $b > 0$ . א. מצאו את $A$ , $b$ ו- $c$ . ב. פתרו $f(x) = 5$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ .

f(x) = A\cos(bx) + c

לחצו «להתחיל». קוראים מהגרף שלושה מספרים: הגבוה, הנמוך, והמרחק בין שתי פסגות.

קריאה

\begin{aligned}\max &= 7 \\ \quad \min &= -1\end{aligned}

הפסגות והעמקים.

\begin{aligned}c &= \frac{7 + (-1)}{2} \\ &= 3 \\ \quad A &= \frac{7 - (-1)}{2} \\ &= 4\end{aligned}

קו האמצע והאמפליטודה.

\begin{aligned}\text{מחזור} &= 180^\circ \Rightarrow b \\ &= \frac{360^\circ}{180^\circ} \\ &= 2\end{aligned}

פסגה ב- $0^\circ$ ושוב ב- $180^\circ$ .

\begin{aligned}4\cos(2x) + 3 &= 5 \Rightarrow \cos(2x) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

מבודדים.

\begin{aligned}2x &= \pm 60^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x \\ &= \pm 30^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ\end{aligned}

$k = 0$ נותן $30^\circ$ , ו- $-30^\circ + 180^\circ = 150^\circ$ .

בדיקה בגרף: הישר $y = 5$ חותך את הגל בתחום $0^\circ$ עד $180^\circ$ בדיוק פעמיים.

Do the activity on elev

כמה פתרונות יש ל- $f(x) = 5$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ?

Show the answer and the solution

ארבעה: $30^\circ$ , $150^\circ$ , $210^\circ$ , $330^\circ$ . בתחום יש שני מחזורים, ובכל אחד שני חיתוכים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטר ותנאי קיום

Interactive activity

עבור אילו ערכי m?

נתונה המשוואה $3\cos x = m - 1$ . א. עבור אילו ערכי $m$ יש למשוואה פתרון? ב. עבור אילו ערכי $m$ יש לה בדיוק פתרון אחד בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

איך מתחילים?

מבודדים: $\cos x = \frac{m - 1}{3}$

Show the answer and the solution

את התנאי שמים על מה שהקוסינוס שווה לו.

דורשים $-1 \le m - 1 \le 1$

Show the answer and the solution

שכחתם את $3$ : הקוסינוס שווה ל- $\frac{m-1}{3}$ , לא ל- $m - 1$ .

\cos x = \frac{m - 1}{3}

מה התנאי לקיום?

$-1 \le \frac{m-1}{3} \le 1$

Show the answer and the solution

הקוסינוס כלוא בין $-1$ ל- $1$ , כולל הקצוות.

$-1 < \frac{m-1}{3} < 1$

Show the answer and the solution

ב- $\cos x = 1$ ו- $\cos x = -1$ יש פתרונות: $0^\circ$ ו- $180^\circ$ .

-3 \le m - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le m \le 4

סעיף א.

כמה פתרונות יש ל- $\cos x = a$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

בדיוק אחד לכל $-1 \le a \le 1$

Show the answer and the solution

בחצי העליון של המעגל כל ישר אנכי פוגש את המעגל פעם אחת בלבד: הקוסינוס יורד מ- $1$ ל- $-1$ .

שניים, כמו בכל סיבוב

Show the answer and the solution

הפתרון השני הוא $-\alpha$ — והוא בחצי התחתון, מחוץ לתחום.

-2 \le m \le 4

סעיף ב: אותו תחום בדיוק.

Show the answer and the solution

א. $-2 \le m \le 4$ . ב. גם כן $-2 \le m \le 4$ : בתחום $0^\circ$ עד $180^\circ$ הקוסינוס מקבל כל ערך פעם אחת.

Do the activity on elev

ואם במקום $\cos$ היה $\sin$ — האם גם אז היה פתרון יחיד בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

Show the answer and the solution

לא. $\sin x = a$ עם $0 \le a < 1$ נותן שני פתרונות, $\alpha$ ו- $180^\circ - \alpha$ . פתרון יחיד רק ב- $a = 1$ ( $x = 90^\circ$ ); וב- $a < 0$ אין אף פתרון בתחום.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — גלגל ענק

Interactive activity

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 25 - 22\cos(15t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות. א. מה הגובה הנמוך והגבוה ביותר? ב. כמה זמן נמשך סיבוב? ג. מתי התא מגיע לראשונה לגובה $36$ מטר? ד. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל $36$ מטר?

h(t) = 25 - 22\cos(15t)

לחצו «להתחיל».

\begin{aligned}h_{\min} &= 25 - 22 \\ &= 3 \\ \quad h_{\max} &= 25 + 22 \\ &= 47\end{aligned}

$\cos(15t)$ בין $-1$ ל- $1$ .

\frac{360^\circ}{15} = 24

סיבוב של $24$ דקות.

\begin{aligned}25 - 22\cos(15t) &= 36 \Rightarrow \cos(15t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

מבודדים.

\begin{aligned}15t &= 120^\circ \ \text{או}\ 15t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון.

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או}\ t \\ &= 16\end{aligned}

לראשונה: $t = 8$ .

16 - 8 = 8

בין שני הרגעים התא מעל $36$ מטר.

בסעיף ד משך הזמן הוא הפרש בין שני פתרונות — לא אחד מהם.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתון $\cos\alpha = 0.8$ ו- $270^\circ < \alpha < 360^\circ$ . מהו $\tan\alpha$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -0.75

Worked solution:

\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.64 \\ &= 0.36\end{aligned}

הזהות היסודית

\sin\alpha = -0.6

ברביע הרביעי הגובה שלילי

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.6}{0.8} \\ &= -0.75\end{aligned}

המלכודת: $0.75$ . הקוסינוס חיובי, אבל ברביע הרביעי הסינוס שלילי — ולכן הטנגנס שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה פתרונות יש למשוואה $2\cos(2x - 20^\circ) = 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\cos(2x - 20^\circ) = \tfrac12

בידוד

2x - 20^\circ = \pm 60^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

\begin{aligned}x &= 40^\circ + 180^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= -20^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים הכל ב- $2$

\begin{aligned}x &= 40^\circ \\ \ 220^\circ \\ \ 160^\circ \\ \ 340^\circ\end{aligned}

ב- $-20^\circ$ מתחילים מ- $k = 1$

המלכודת: $3$ , מי שפסל את $-20^\circ$ ושכח לנסות $k = 2$ במשפחה הזאת. ספירת בדיקה: שני מחזורים, שני פתרונות בכל אחד.

Check the answer on elev

Exercise 3

הגרף של $f(x) = A\sin(bx) + c$ , כאשר $A > 0$ ו- $b > 0$ , נע בין $1$ ל- $7$ , והמחזור שלו $90^\circ$ . מהו $b$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}A &= \frac{7 - 1}{2} \\ &= 3 \\ \quad c &= \frac{7 + 1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

\frac{360^\circ}{b} = 90^\circ

המחזור

b = 4

המלכודת: לענות $3$ בגלל האמפליטודה, או $90$ בגלל המחזור. $b$ נקבע רק מהמחזור: $\frac{360^\circ}{b} = 90^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

למשוואה $\sin x = \frac{m + 1}{2}$ יש פתרון לכל $m$ שמקיים $-3 \le m \le 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

-1 \le \frac{m + 1}{2} \le 1

תנאי הקיום

-2 \le m + 1 \le 2

כופלים ב- $2$

-3 \le m \le 1

נכון, והקצוות נכללים: ב- $m = 1$ מקבלים $\sin x = 1$ , וב- $m = -3$ מקבלים $\sin x = -1$ — ולשתיהן יש פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 5

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 30 - 26\cos(10t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות והזווית $10t$ נמדדת במעלות. אחרי כמה דקות מגיע התא לראשונה לגובה $43$ מטר?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}30 - 26\cos(10t) &= 43 \Rightarrow \cos(10t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

בידוד

\begin{aligned}10t &= 120^\circ \ \text{או}\ 10t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון

\begin{aligned}t &= 12 \ \text{או}\ t \\ &= 24\end{aligned}

לראשונה: $t = 12$

המלכודת: $24$ , הפעם השנייה (בירידה), או $6$ — מי שכתב $10t = 60^\circ$ ושכח את המינוס של $-\frac12$ .

Check the answer on elev

1 — מנתון אחד לכל הערכים

2 — משוואה עם זווית מורכבת בתחום

3 — פרמטרים מתוך גרף

4 — פרמטר ותנאי קיום

5 — גלגל ענק

Exercises

Keep practising on elev