Set 3 — challenging

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 3 — מאתגר. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: משוואות עם הזזה בזווית, קריאת פרמטרים מגרף, תנאי קיום עם פרמטר, זהויות וסימטריות, וגלגל ענק.

לפני שעונים כמה פתרונות יש, כתבו את תחום הזווית שבסוגריים. שם רואים כמה סיבובים נכנסים.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה 2cos⁡(x+40∘)=22\cos(x + 40^\circ) = \sqrt2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 275

Worked solution:

cos⁡(x+40∘)=22\cos(x + 40^\circ) = \tfrac{\sqrt2}{2}

בידוד

x+40∘=±45∘+360∘kx + 40^\circ = \pm 45^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

x=5∘+360∘k או x=−85∘+360∘k\begin{aligned}x &= 5^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= -85^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

מחסירים 40∘40^\circ

x=5∘ 275∘\begin{aligned}x &= 5^\circ \\ \ 275^\circ\end{aligned}

במשפחה השנייה k=1k = 1

המלכודת: לפסול את −85∘-85^\circ ולשכוח לנסות k=1k = 1. פתרון שלילי אינו סוף המשפחה — מוסיפים לו 360∘360^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה פתרונות יש למשוואה 4sin⁡2x=34\sin^2 x = 3 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

sin⁡2x=34\sin^2 x = \tfrac34
sin⁡x=32 או sin⁡x=−32\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{\sqrt3}{2} \ \text{או}\ \sin x \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

לשורש שני סימנים — שתי משוואות

x=60∘ 120∘ 240∘ 300∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 120^\circ \\ \ 240^\circ \\ \ 300^\circ\end{aligned}

שני פתרונות לכל משוואה

המלכודת: לענות 22 ולשכוח את sin⁡x=−32\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}. הוצאת שורש מ-sin⁡2x\sin^2 x פותחת שני מקרים.

Check the answer on elev

Exercise 3

הביעו באמצעות sin⁡α\sin\alpha את הביטוי sin⁡(180∘+α)⋅cos⁡(90∘−α)\sin(180^\circ + \alpha) \cdot \cos(90^\circ - \alpha).

  1. sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha
  2. sin⁡2α\sin^2\alpha
  3. −sin⁡2α-\sin^2\alpha
  4. −sin⁡αcos⁡α-\sin\alpha\cos\alpha
Show the answer and the solution

Answer: C −sin⁡2α-\sin^2\alpha

Worked solution:

sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha

חצי סיבוב הופך את הגובה

cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הזווית המשלימה

(−sin⁡α)⋅sin⁡α=−sin⁡2α(-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha = -\sin^2\alpha

התשובה: −sin⁡2α-\sin^2\alpha. מי שבחר −sin⁡αcos⁡α-\sin\alpha\cos\alpha השאיר את cos⁡(90∘−α)\cos(90^\circ - \alpha) כקוסינוס; מי שבחר sin⁡2α\sin^2\alpha איבד את המינוס של חצי הסיבוב.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°360°-4-3-2-1012xy

בציור הגרף של f(x)=Asin⁡(bx)+cf(x) = A\sin(bx) + c, כאשר A>0A > 0 ו-b>0b > 0. מהו bb?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

max⁡=1min⁡=−3\begin{aligned}\max &= 1 \\ \quad \min &= -3\end{aligned}

קוראים מהגרף

A=1−(−3)2=2c=1+(−3)2=−1\begin{aligned}A &= \frac{1 - (-3)}{2} \\ &= 2 \\ \quad c &= \frac{1 + (-3)}{2} \\ &= -1\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

T=120∘T = 120^\circ

מפסגה לפסגה: 30∘30^\circ ו-150∘150^\circ

360∘b=120∘⇒b=3\begin{aligned}\frac{360^\circ}{b} &= 120^\circ \Rightarrow b \\ &= 3\end{aligned}

המלכודת: למדוד ממקסימום למינימום (60∘60^\circ) ולקבל b=6b = 6. זה חצי מחזור. ו-bb אינו האמפליטודה: A=2A = 2, ו-bb נקבע רק מהמחזור.

Check the answer on elev

Exercise 5

עבור אילו ערכי kk יש פתרון למשוואה 4sin⁡(2x)=k−34\sin(2x) = k - 3?

  1. −1<k<7-1 < k < 7
  2. k≤7k \le 7
  3. 2≤k≤42 \le k \le 4
  4. −1≤k≤7-1 \le k \le 7
Show the answer and the solution

Answer: D −1≤k≤7-1 \le k \le 7

Worked solution:

sin⁡(2x)=k−34\sin(2x) = \frac{k - 3}{4}

בידוד

−1≤k−34≤1-1 \le \frac{k - 3}{4} \le 1

תנאי הקיום — הקצוות כלולים

−4≤k−3≤4⇒−1≤k≤7-4 \le k - 3 \le 4 \Rightarrow -1 \le k \le 7

התשובה: −1≤k≤7-1 \le k \le 7. 2≤k≤42 \le k \le 4 שוכח לחלק ב-44; אי-שוויון חזק מפסיד את k=7k = 7, שבו sin⁡(2x)=1\sin(2x) = 1 ויש פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את המשוואה tan⁡(x−30∘)=−1\tan(x - 30^\circ) = -1 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 345

Worked solution:

x−30∘=−45∘+180∘kx - 30^\circ = -45^\circ + 180^\circ k

המחזור של הטנגנס 180∘180^\circ

x=−15∘+180∘kx = -15^\circ + 180^\circ k
x=165∘ 345∘\begin{aligned}x &= 165^\circ \\ \ 345^\circ\end{aligned}

k=1k = 1 ו-k=2k = 2

המלכודת: להוסיף 360∘360^\circ במקום 180∘180^\circ ולמצוא רק 345∘345^\circ — או להחסיר את 30∘30^\circ במקום להוסיף.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: לכל זווית α\alpha מתקיים sin⁡α+cos⁡α≤1\sin\alpha + \cos\alpha \le 1.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

α=45∘\alpha = 45^\circ

דוגמה נגדית

sin⁡45∘+cos⁡45∘=22+22=2\begin{aligned}\sin 45^\circ + \cos 45^\circ &= \tfrac{\sqrt2}{2} + \tfrac{\sqrt2}{2} \\ &= \sqrt2\end{aligned}
2≈1.41>1\sqrt2 \approx 1.41 > 1

הטענה מופרכת

הטענה שגויה. כל אחד מהם לבד לכל היותר 11, אבל הסכום יכול לעבור את 11. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגובה של תא בגלגל ענק הוא h(t)=20−18cos⁡(12t)h(t) = 20 - 18\cos(12t) מטר, כאשר tt בדקות. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל 1111 מטר?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

T=360∘12=30\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{12} \\ &= 30\end{aligned}

סיבוב של 3030 דקות

20−18cos⁡(12t)=11⇒cos⁡(12t)=12\begin{aligned}20 - 18\cos(12t) &= 11 \Rightarrow \cos(12t) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

הרגעים שבהם התא בדיוק בגובה 1111

12t=60∘ 300∘⇒t=5 25\begin{aligned}12t &= 60^\circ \\ \ 300^\circ \Rightarrow t &= 5 \\ \ 25\end{aligned}

בסיבוב הראשון: עולה ב-55, יורד ב-2525

25−5=2025 - 5 = 20

בין שני הרגעים התא גבוה מ-1111 מטר

המלכודת: לענות 55, הרגע שבו התא עובר את 1111 מטר בפעם הראשונה. השאלה שואלת על משך, וזה ההפרש בין שני הרגעים.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את המשוואה cos⁡x=sin⁡50∘\cos x = \sin 50^\circ בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 320

Worked solution:

sin⁡50∘=cos⁡40∘\sin 50^\circ = \cos 40^\circ

cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

cos⁡x=cos⁡40∘⇒x=±40∘+360∘k\begin{aligned}\cos x &= \cos 40^\circ \Rightarrow x \\ &= \pm 40^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

כלל הקוסינוס

x=40∘ 320∘\begin{aligned}x &= 40^\circ \\ \ 320^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 50∘50^\circ או 310∘310^\circ. הזווית 50∘50^\circ שייכת לסינוס — לקוסינוס אותו ערך ב-40∘40^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 10

מיינו: אילו שוויונות נכונים לכל זווית α\alpha?

  • נכון לכל α\alpha
  • לא תמיד נכון
  • cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha
  • cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha
  • sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(360∘+α)=sin⁡α\sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha
Show the answer and the solution

Answer: cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha — נכון לכל α\alpha · sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha — נכון לכל α\alpha · sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha — נכון לכל α\alpha · cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha — לא תמיד נכון · sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha — לא תמיד נכון · sin⁡(360∘+α)=sin⁡α\sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha — נכון לכל α\alpha

Worked solution:

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

שיקוף בציר yy הופך את שיעור ה-xx

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha

שיקוף בציר xx הופך את הגובה

α=30∘: cos⁡150∘=−32≠32\begin{aligned}\alpha &= 30^\circ:\ \cos 150^\circ \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{2} \neq \tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

המלכודת: cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha). בסינוס זה אותו ערך, ובקוסינוס הסימן מתהפך.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade