Angle sum of a polygon

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

איך יודעים מה סכום הזוויות במחומש? לא משננים: מפרקים למשולשים.

מקודקוד אחד מותחים אלכסונים אל כל שאר הקודקודים, והמצולע נחתך למשולשים.

4→24 \rightarrow 2

מרובע — נחתך לשני משולשים, ולכן 2×180=360°2 \times 180 = 360°.

5→35 \rightarrow 3

מחומש — שלושה משולשים, 540°540°.

6→46 \rightarrow 4

משושה — ארבעה משולשים, 720°720°.

הדפוס ברור: מספר המשולשים הוא תמיד שתיים פחות ממספר הצלעות. ומכאן הנוסחה:

S=(n−2)⋅180°S = (n - 2) \cdot 180°

למה מינוס שתיים? כי שני הקודקודים הצמודים לקודקוד שממנו יצאנו אינם יוצרים משולש חדש — הם כבר צלעות של הראשון והאחרון. אין כאן שרירותיות.

מצולע בן 8 צלעות

מהו סכום הזוויות במתומן?

n=8n = 8

שמונה צלעות

(8−2)⋅180(8 - 2) \cdot 180

מציבים

6⋅180=1080°6 \cdot 180 = 1080°

הסכום

מצולע משוכלל

במצולע משוכלל כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות. לכן כדי למצוא זווית אחת — מחלקים את הסכום ב-nn.

זווית במחומש משוכלל

מהי כל זווית במחומש משוכלל?

(5−2)⋅180=540(5 - 2) \cdot 180 = 540

הסכום

540:5=108540 : 5 = 108

מחלקים בחמש זוויות שוות

108°108°

כל זווית

כמה אלכסונים?

מכל קודקוד יוצא אלכסון לכל קודקוד אחר, חוץ ממנו עצמו ומשני שכניו. כלומר n−3n - 3 אלכסונים מכל קודקוד.

אבל כל אלכסון נספר פעמיים, פעם מכל קצה. לכן מחלקים בשתיים:

n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}

כמה אלכסונים יש למחומש?

Show the answer and the solution

5⋅22=5\frac{5 \cdot 2}{2} = 5. מכל קודקוד יוצאים שניים, ויש חמישה קודקודים — אבל כל אלכסון נספר פעמיים.

ומה עם מרובע «שקוע»?

עד כאן כל המצולעים שציירנו היו קמורים — כל הפינות בולטות החוצה. אבל יש מרובעים שבהם פינה אחת נדחפת פנימה, כמו ראש חץ. קוראים להם מרובעים שאינם קמורים.

והשאלה המתבקשת: האם גם שם סכום הזוויות הוא 360°360°? כן — בדיוק אותו סכום, והנימוק לא משתנה כלל.

אותו פירוק, אותו סכום

מרובע שאינו קמור, שבו הזווית השקועה היא 220°220°.

4→24 \rightarrow 2

גם הוא נחתך באלכסון לשני משולשים

2⋅180=360°2 \cdot 180 = 360°

ולכן הסכום זהה

360−220=140360 - 220 = 140

ושלוש הזוויות הנותרות מסתכמות ב-140 בלבד

המפתח: באחד משני האלכסונים של מרובע שקוע — זה שיוצא מהפינה השקועה — החיתוך לשני משולשים עובד כרגיל. הנוסחה (n−2)⋅180(n-2) \cdot 180 אינה שואלת אם המצולע קמור.

במרובע שאינו קמור, זווית אחת היא 200°200°. מהו סכום שלוש הנותרות?

Show the answer and the solution

160°160°. הסכום עדיין 360, ולכן 360−200=160360 - 200 = 160. זווית גדולה מ-180°180° בתוך מצולע היא בדיוק מה שהופך אותו ללא-קמור.

הטעות של הנוסחה.

S=n⋅180S = n \cdot 180
S=(n−2)⋅180S = (n - 2) \cdot 180

המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים, לא ל-nn.

הסכום 540 ולכן כל זווית 540\text{הסכום 540 ולכן כל זווית 540}
540:5=108540 : 5 = 108

הסכום מתחלק בין כל הזוויות — רק במצולע משוכלל הן שוות ומותר לחלק.

מהו סכום הזוויות במרובע?

Show the answer and the solution

360 מעלות. אלכסון אחד מחלק כל מרובע לשני משולשים — פעמיים 180.

ומהו סכום הזוויות במחומש?

Show the answer and the solution

540. שלושה משולשים: 3×1803 \times 180. הנוסחה: מספר הצלעות פחות 2, כפול 180.

Exercises

Exercise 1

מהו סכום הזוויות במרובע (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 360

Worked solution:

(4−2)⋅180(4 - 2) \cdot 180

הנוסחה

=360= 360

שני משולשים

מרובע נחתך בדיוק לשני משולשים.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו סכום הזוויות במחומש (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 540

Worked solution:

(5−2)⋅180(5 - 2) \cdot 180

מציבים

=540= 540

שלושה משולשים

תמיד n−2n - 2 משולשים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו סכום הזוויות במתומן — מצולע בן 8 צלעות (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 1080

Worked solution:

(8−2)⋅180(8 - 2) \cdot 180

מציבים

6⋅180=10806 \cdot 180 = 1080

מחשבים

אין צורך לשנן — הנוסחה עובדת לכל nn.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי כל זווית במחומש משוכלל (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

(5−2)⋅180=540(5 - 2) \cdot 180 = 540

הסכום

540:5=108540 : 5 = 108

מחלקים בחמש

רק במצולע משוכלל מותר לחלק — שם כל הזוויות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 5

למה בנוסחה מופיע n−2n - 2?

  1. כי המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים
  2. כי מחסרים שתי זוויות
  3. זו החלטה שרירותית
  4. כי יש שני קודקודים מיוחדים
Show the answer and the solution

Answer: A כי המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים

Worked solution:

n−2n - 2

מספר המשולשים

×180\times 180

כל אחד תורם 180

שני הקודקודים הצמודים לזה שממנו יצאנו לא יוצרים משולש חדש.

Check the answer on elev

Exercise 6

משושה

מהו סכום הזוויות במשושה?

Show the answer and the solution

Answer: 720

Worked solution:

(6−2)×180=720(6-2) \times 180 = 720

ארבעה משולשים

Check the answer on elev

Exercise 7

במרובע שלוש זוויות: 90, 90 ו-110. מהי הרביעית?

Show the answer and the solution

Answer: 70

Worked solution:

360−290=70360 - 290 = 70

סכום הזוויות במרובע הוא 360° — פעמיים סכום המשולש, כי כל מרובע נחתך באלכסון לשני משולשים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מחומש משוכלל

מצולע משוכלל בעל 5 צלעות — מהי כל זווית?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

540:5=108540 : 5 = 108

הסכום שווה בין חמש זוויות שוות

Check the answer on elev

Exercise 9

בכמה משולשים אפשר לחלק מתומן (8 צלעות) מאלכסוני קודקוד אחד?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

8−2=68 - 2 = 6

ומכאן הנוסחה: 6 כפול 180.

Check the answer on elev

Exercise 10

סכום הזוויות במצולע הוא 900 מעלות. כמה צלעות לו?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

900:180=5900 : 180 = 5

חמישה משולשים

5+2=75 + 2 = 7
Check the answer on elev

Exercise 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

540:5=108540 : 5 = 108
S=n⋅180S = n \cdot 180
Show the answer and the solution

Answer: S=n⋅180S = n \cdot 180 → S=(n−2)⋅180S = (n - 2) \cdot 180

Worked solution:

המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים, לא ל-nn.

Check the answer on elev

Exercise 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 4→24 \rightarrow 2
  • 5→35 \rightarrow 3
  • 6→46 \rightarrow 4
  • מחומש — שלושה משולשים, 540°540°.
  • מרובע — נחתך לשני משולשים, ולכן 2×180=360°2 \times 180 = 360°.
  • משושה — ארבעה משולשים, 720°720°.
Show the answer and the solution

Answer: 4→24 \rightarrow 2 — מרובע — נחתך לשני משולשים, ולכן 2×180=360°2 \times 180 = 360°. · 5→35 \rightarrow 3 — מחומש — שלושה משולשים, 540°540°. · 6→46 \rightarrow 4 — משושה — ארבעה משולשים, 720°720°.

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Exercise 13

במרובע שאינו קמור, זווית אחת היא 200°200°. מהו סכום שלוש הזוויות הנותרות במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 160

Worked solution:

360−200=160360 - 200 = 160

הסכום עדיין 360

היעדר קמירות אינו משנה את סכום הזוויות — הנוסחה (n−2)⋅180(n-2) \cdot 180 אינה שואלת על כך.

Check the answer on elev

Exercise 14

סכום הזוויות במרובע שאינו קמור קטן מ-360°360°.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2⋅180=3602 \cdot 180 = 360

גם הוא נחתך לשני משולשים

הסכום זהה. מה שמשתנה הוא שזווית אחת גדולה מ-180°180° — וזו בדיוק ההגדרה של «אינו קמור».

Check the answer on elev

Exercise 15

במרובע שאינו קמור שלוש הזוויות הן 40°40°, 30°30° ו-70°70°. כמה מעלות ברביעית?

Show the answer and the solution

Answer: 220

Worked solution:

40+30+70=14040 + 30 + 70 = 140

שלוש הידועות

360−140=220360 - 140 = 220

והרביעית

תוצאה מעל 180°180° אינה שגיאה — היא הסימן שהמרובע שקוע באותה פינה.

Check the answer on elev

Exercise 16

מתומן וכל האלכסונים

כמה אלכסונים יש למתומן (8 צלעות)?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

8−3=58 - 3 = 5

מכל קודקוד יוצאים אלכסונים לכל הקודקודים חוץ ממנו ומשני שכניו

8⋅5=408 \cdot 5 = 40

ספירה מכל הקודקודים

40:2=2040 : 2 = 20

כל אלכסון נספר פעמיים — פעם מכל קצה

הנוסחה n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}. הפח: לשכוח לחלק ב-2 ולענות 40.

Check the answer on elev

Exercise 17

מצולע משוכלל בן 12 צלעות

מהי כל זווית במצולע משוכלל בן 12 צלעות (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 150

Worked solution:

(12−2)⋅180=1800(12 - 2) \cdot 180 = 1800

סכום הזוויות

1800:12=1501800 : 12 = 150

12 זוויות שוות

שני שלבים: קודם הסכום, ורק אז מחלקים. הפח: לחלק את 180 ב-12.

Check the answer on elev

Exercise 18

156°
זווית אחת של המצולע: 156°

במצולע משוכלל כל זווית היא 156°156°. כמה צלעות יש לו?

  1. 24
  2. 15
  3. 12
  4. 18
Show the answer and the solution

Answer: B 15

Worked solution:

(n−2)⋅180=156n(n - 2) \cdot 180 = 156n

הסכום בשתי דרכים

180n−360=156n180n - 360 = 156n

פותחים סוגריים

24n=360 ⇒ n=15\begin{aligned}24n &= 360 \ \Rightarrow \ n \\ &= 15\end{aligned}

פותרים

13⋅180=2340=15⋅156\begin{aligned}13 \cdot 180 &= 2340 \\ &= 15 \cdot 156\end{aligned}

בדיקה

הפח: לענות 24 — זה המקדם שנשאר אחרי ההעברה, לא מספר הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 19

מחומש

התאימו כל מצולע למספר האלכסונים שלו

  • משולש
  • מרובע
  • מחומש
  • משושה
  • 00 אלכסונים
  • 22 אלכסונים
  • 55 אלכסונים
  • 99 אלכסונים
Show the answer and the solution

Answer: משולש — 00 אלכסונים · מרובע — 22 אלכסונים · מחומש — 55 אלכסונים · משושה — 99 אלכסונים

Worked solution:

n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}

מכל קודקוד n−3n - 3 אלכסונים, וכל אחד נספר פעמיים

6⋅32=9\frac{6 \cdot 3}{2} = 9

למשל במשושה

למשולש אין אלכסון בכלל: כל שני קודקודים שלו שכנים.

Check the answer on elev

Exercise 20

108°
135°

ככל שלמצולע משוכלל יש יותר צלעות, כל זווית שלו גדולה יותר.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

60, 90, 108, 120, 13560 , \ 90 , \ 108 , \ 120 , \ 135

משולש, ריבוע, מחומש, משושה, מתומן

180−360n180 - \frac{360}{n}

וככל ש-nn גדל, מחסרים פחות

נכון — אבל הזווית לעולם לא מגיעה ל-180°180°. מצולע עם הרבה צלעות נראה כמעט כמו עיגול.

Check the answer on elev

Exercise 21

מצולע בן 10 צלעות

כמה אלכסונים יוצאים מקודקוד אחד של מצולע בן 10 צלעות?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

10−3=710 - 3 = 7

לכל הקודקודים, חוץ ממנו ומשני שכניו

לא 9: אל שני השכנים יוצאות צלעות, לא אלכסונים.

Check the answer on elev

Exercise 22

למצולע יש 14 אלכסונים. כמה צלעות לו?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

n(n−3)2=14\frac{n(n-3)}{2} = 14

הנוסחה

n(n−3)=28n(n-3) = 28

כופלים ב-2

7⋅4=287 \cdot 4 = 28

מחפשים שני מספרים שההפרש ביניהם 3

n=7n = 7, משובע. בדיקה: 7⋅42=14\frac{7 \cdot 4}{2} = 14.

Check the answer on elev

Exercise 23

במשושה יוצאים 3 אלכסונים מכל קודקוד, ויש לו 6 קודקודים. לכן יש לו 3⋅6=183 \cdot 6 = 18 אלכסונים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

6⋅3=186 \cdot 3 = 18

זו ספירה מכל הקודקודים

18:2=918 : 2 = 9

כל אלכסון נספר פעמיים

יש לו 9 אלכסונים. הספירה מכל קודקוד סופרת כל אלכסון פעמיים, פעם מכל קצה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade