סדרה 5 — מבחן מסכם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר השאלות הקשות של הפרק. הפעילו שעון: שלושים דקות, בלי מחשבון. בכל שאלה: כתבו את הנתונים בקיצור, ובדקו את התשובה מול כל הנתונים לפני שממשיכים.

אחרי עשר השאלות יש עוד שלוש שאלות אימון בצורה אחרת, בכפתור "עוד סבב". אותן פותרים בלי שעון.

תרגילים

תרגיל 1

ארבעה ילדים — נועם, יעל, טל ורון — רצו במרוץ, בלי תיקו. כתב העיתון המקומי רשם ארבעה משפטים, אבל רק אחד מהם נכון: (1) טל הגיע לפני יעל. (2) נועם לא ניצח. (3) יעל הגיעה לפני נועם. (4) יעל לא הגיעה שנייה. מי הגיע אחרון?

  1. טל
  2. רון
  3. נועם
  4. יעל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א טל

הפתרון:

(2)  נכון⇒(1),(3),(4)  שקריים(2) \;\text{נכון} \Rightarrow (1), (3), (4) \;\text{שקריים}

נניח שנועם לא ניצח. אז יעל שנייה, נועם לפני יעל — כלומר ראשון. סתירה

נועם=1\text{נועם} = 1

לכן (2) שקרי: נועם ניצח, וגם (3) שקרי מאליו

(1)  נכון⇒יעל=2 טל=1  ×\begin{aligned}(1) \;\text{נכון} \Rightarrow \text{יעל} &= 2 \\ \ \text{טל} &= 1 \;\times\end{aligned}

אם (1) הוא המשפט הנכון, (4) שקרי — יעל שנייה, וטל לפניה במקום 1, שכבר של נועם

(4)  נכון: יעל=3 טל=4\begin{aligned}(4) \;\text{נכון}:\ \text{יעל} &= 3 \\ \ \text{טל} &= 4\end{aligned}

(1) שקרי: טל אחרי יעל. יעל לא שנייה — אז שלישית, וטל רביעי

טל הגיע אחרון — ורון שני. מי שבחר בנועם ענה על "מי ניצח". הדרך: בשאלות "רק אחד נכון", מניחים שכל משפט הוא הנכון, ורואים איזו הנחה שורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באי האמיתיים והשקרנים: אסף אמר: "בועז שקרן". בועז אמר: "גיל שקרן". גיל אמר: "אסף ובועז מאותו סוג". מי מהשלושה אמיתי?

  1. רק בועז
  2. רק אסף
  3. אסף וגיל
  4. רק גיל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א רק בועז

הפתרון:

אסף≠בועז\text{אסף} \ne \text{בועז}

אסף אומר שבועז שקרן: אם אסף אמיתי — בועז שקרן; אם אסף שקרן — בועז אמיתי. תמיד מסוגים שונים

גיל שקרן\text{גיל שקרן}

גיל טוען שהם מאותו סוג — שקר. אז גיל שקרן

בועז אמיתי, אסף שקרן\text{בועז אמיתי},\ \text{אסף שקרן}

בועז אמר "גיל שקרן" — נכון, אז בועז אמיתי

רק בועז אמיתי. הצעד המפתח: משפט כמו "X שקרן" אומר ששני האנשים מסוגים שונים — עוד לפני שיודעים מי מהם מי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

561234

משפחה יושבת סביב השולחן שבשרטוט. ראש השולחן והכיסאות הקרובים אליו נחשבים סמוכים (למשל, כיסא 1 סמוך לכיסאות 2 ו-6), וכיסאות 2 ו-3, וגם 5 ו-6, סמוכים זה לזה. "מול" פירושו בצד השני של השולחן: 6 מול 2, 5 מול 3, ו-1 מול 4. סבתא בכיסא 5. בת-אל יושבת בין סבתא לגיא. גיא יושב בראש השולחן. אדם לא יושב ליד סבתא. דבורה לא יושבת ליד סבא. מי יושב בכיסא 3?

  1. דבורה
  2. לא ניתן לדעת
  3. סבא
  4. אדם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אדם

הפתרון:

גיא=1 בת-אל=6\begin{aligned}\text{גיא} &= 1 \\ \ \text{בת-אל} &= 6\end{aligned}

בין 5 לראש השולחן: מכיסא 4 אין כיסא שסמוך לו וגם ל-5; מכיסא 1 — כיסא 6

{2,3,4}=סבא, אדם, דבורה\{2, 3, 4\} = \text{סבא, אדם, דבורה}

אדם לא ליד סבתא: לא בכיסא 4

סבא=3  ×\text{סבא} = 3 \;\times

אז דבורה צריכה כיסא שאינו 2 ואינו 4 — אין

סבא=2  או  4⇒אדם=3\begin{aligned}\text{סבא} &= 2 \;\text{או}\; 4 \Rightarrow \text{אדם} \\ &= 3\end{aligned}

בשני המקרים דבורה בקצה השני, ואדם באמצע

בכיסא 3 יושב אדם. יש שני סידורים — סבא ודבורה מתחלפים בין 2 ל-4 — ולכן על כיסא 2 באמת אי אפשר לדעת. אבל על כיסא 3 אפשר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

12345678

שמונה חברים יושבים סביב שולחן עגול עם שמונה כיסאות ממוספרים. אורי בכיסא 1, ובלה מולו. גדעון יושב ליד אורי, ודנה מול גדעון. הדר לא יושבת ליד אורי, לא ליד גדעון ולא ליד דנה. ורד לא יושבת ליד בלה. איזה משפט נכון בוודאות?

  1. זיו יושב מול הדר
  2. חן יושבת בכיסא 8
  3. הדר יושבת ליד בלה
  4. ורד יושבת ליד גדעון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הדר יושבת ליד בלה

הפתרון:

בלה=5 גדעון=2  או  8\begin{aligned}\text{בלה} &= 5 \\ \ \text{גדעון} &= 2 \;\text{או}\; 8\end{aligned}

מול 1 נמצא 5

גדעון=2⇒דנה=6 הדר=4\begin{aligned}\text{גדעון} &= 2 \Rightarrow \text{דנה} \\ &= 6 \\ \ \text{הדר} &= 4\end{aligned}

הדר לא ב-2, 8 (ליד אורי), 1, 3 (ליד גדעון), 5, 7 (ליד דנה)

גדעון=8⇒דנה=4 הדר=6\begin{aligned}\text{גדעון} &= 8 \Rightarrow \text{דנה} \\ &= 4 \\ \ \text{הדר} &= 6\end{aligned}

תמונת המראה

4,6  ליד  54, 6 \;\text{ליד}\; 5

בשני המקרים הדר צמודה לכיסא 5, של בלה

התשובה היא הדר יושבת ליד בלה. יש שנים-עשר סידורים שמתאימים — אבל הדר תמיד בכיסא 4 או 6, ושניהם צמודים לבלה. שאר המשפטים נכונים רק בחלק מהסידורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

משחקיםנקודות
אדומה35
כחולה33
ירוקה33
צהובה3?

ארבע קבוצות — אדומה, כחולה, ירוקה וצהובה — שיחקו בטורניר. כל קבוצה שיחקה פעם אחת נגד כל אחת מהאחרות. על ניצחון מקבלים 2 נקודות, על תיקו נקודה אחת, ועל הפסד 0. בסוף הטורניר היו לאדומה 5 נקודות, ולכחולה ולירוקה 3 נקודות כל אחת. איזה משפט נכון בוודאות?

  1. הכחולה והירוקה סיימו בתיקו
  2. בדיוק שני משחקים הסתיימו בתיקו
  3. האדומה ניצחה את הכחולה
  4. הצהובה לא ניצחה אף משחק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הצהובה לא ניצחה אף משחק

הפתרון:

66

ארבע קבוצות, כל זוג פעם אחת: 6 משחקים

6×2=126 \times 2 = 12

בכל משחק מתחלקות בדיוק 2 נקודות — בניצחון או בתיקו

12−5−3−3=112 - 5 - 3 - 3 = 1

לצהובה נקודה אחת: תיקו אחד, בלי ניצחון

התשובה היא הצהובה לא ניצחה אף משחק — ניצחון היה נותן לה לפחות 2 נקודות. שלושת המשפטים האחרים נכונים רק בחלק מחמשת הטורנירים שמתאימים לנקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

9101112
עומר
מאיה
נעמה
רועי

ארבעה ילדים — עומר, מאיה, נעמה ורועי — בני 9, 10, 11 ו-12, וגרים בקומות 1 עד 4 של אותו בניין, כל אחד בקומה אחרת. מי שגר בקומה 3 מבוגר ממאיה בשנתיים. סכום הקומות של עומר ומאיה הוא 5. בן ה-12 גר מתחת לנעמה. עומר אינו בן 9. נעמה לא גרה בקומה 4. רועי צעיר מעומר. הרמזים משאירים שני פתרונות. איזה רמז, אם נוסיף אותו, יקבע פתרון אחד?

  1. עומר בן 12
  2. נעמה אינה בת 12
  3. מאיה גרה בקומה 4
  4. רועי גר מעל נעמה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד רועי גר מעל נעמה

הפתרון:

(עומר,מאיה)=(1,4)(\text{עומר}, \text{מאיה}) = (1, 4)

סכום 5: (1,4)(1,4), (2,3)(2,3), (3,2)(3,2) או (4,1)(4,1) — בודקים כל אחד מול שאר הרמזים

מאיה=9 עומר=12\begin{aligned}\text{מאיה} &= 9 \\ \ \text{עומר} &= 12\end{aligned}

בקומה 3 גר מי שמבוגר ממאיה בשנתיים; בן 12 מתחת לנעמה — עומר בקומה 1

נעמה, רועי=23\begin{aligned}\text{נעמה, רועי} &= 2 \\ 3\end{aligned}

שני הפתרונות: נעמה ורועי מתחלפים בין קומה 2 לקומה 3

רועי>נעמה\text{רועי} > \text{נעמה}

רק הרמז הזה מבדיל ביניהם

התשובה היא "רועי גר מעל נעמה". שלושת הרמזים האחרים כבר נכונים בשני הפתרונות — הם לא מוסיפים מידע, ולכן לא מכריעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גננת מכינה עוגות יום הולדת. לילד שנולד בחורף — עוגת שוקולד עם נרות כחולים, אלא אם הוא בן 6 או יותר — ואז נרות זהב. לילד שנולד בקיץ — עוגת גבינה עם נרות אדומים, אלא אם הוא כבר קיבל עוגה השנה או שהוא אלרגי לחלב — ואז עוגת פירות עם נרות אדומים. איזו עוגה ייתכן שהכינה הגננת?

  1. עוגת גבינה לילד קיץ שאלרגי לחלב
  2. עוגת פירות לילד קיץ שלא קיבל עוגה השנה ואינו אלרגי
  3. עוגת פירות לילד קיץ שאינו אלרגי לחלב
  4. עוגת שוקולד עם נרות כחולים לילד חורף בן 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עוגת פירות לילד קיץ שאינו אלרגי לחלב

הפתרון:

חורף, 6⇒זהב\text{חורף, 6} \Rightarrow \text{זהב}

לא נרות כחולים

קיץ, אלרגי⇒פירות\text{קיץ, אלרגי} \Rightarrow \text{פירות}

לא גבינה

פירות⇐קיבל עוגה  או  אלרגי\text{פירות} \Leftarrow \text{קיבל עוגה} \;\text{או}\; \text{אלרגי}

ילד שאינו אלרגי יכול לקבל פירות — אם כבר קיבל עוגה השנה

התשובה היא עוגת פירות לילד קיץ שאינו אלרגי — הוא כבר קיבל עוגה השנה. האפשרות "עוגת פירות לילד קיץ שלא קיבל עוגה השנה ואינו אלרגי" נראית דומה, אבל שם שני התנאים של ה"אלא אם" לא מתקיימים, והילד היה מקבל גבינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ידוע: "אם נועה באה למסיבה, גם דן בא". "אם דן בא למסיבה, אלון לא בא". בסוף, אלון בא למסיבה. מה נכון בוודאות?

  1. נועה באה ודן לא
  2. נועה לא באה
  3. נועה באה
  4. דן בא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נועה לא באה

הפתרון:

אלון בא⇒דן לא בא\text{אלון בא} \Rightarrow \text{דן לא בא}

ההפוך-השלילי של הכלל השני

דן לא בא⇒נועה לא באה\text{דן לא בא} \Rightarrow \text{נועה לא באה}

ההפוך-השלילי של הכלל הראשון

התשובה היא נועה לא באה. הולכים בשרשרת אחורה, ובכל חוליה משתמשים בהפוך-השלילי. "נועה באה ודן לא" סותר ישירות את הכלל הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

יש שני כלים בלי סימונים: אחד של 3 ליטרים ואחד של 5 ליטרים, וברז מים. כל פעולה היא אחת מאלה: למלא כלי מהברז עד הסוף, לרוקן כלי, או לשפוך מכלי לכלי עד שהראשון מתרוקן או שהשני מתמלא. מה המספר הקטן ביותר של פעולות שבסופן יהיו בדיוק 4 ליטרים באחד הכלים?

  1. 5
  2. 4
  3. 6
  4. 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 6

הפתרון:

(0,5)→(3,2)(0, 5) \to (3, 2)

ממלאים את ה-5, ושופכים ממנו ל-3: נשארים 2 ליטרים

(0,2)→(2,0)(0, 2) \to (2, 0)

מרוקנים את ה-3, ומעבירים אליו את ה-2

(2,5)→(3,4)(2, 5) \to (3, 4)

ממלאים שוב את ה-5, ומשלימים את ה-3 בליטר אחד

66

שש פעולות, ובכלי הגדול 4 ליטרים

התשובה היא 6. הדרך השנייה — להתחיל במילוי ה-3 — ארוכה יותר: 8 פעולות. בדיקה של כל הצירופים מראה שבפחות משש פעולות אי אפשר להגיע ל-4 ליטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

4?913

בריבוע הקסם שבציור כתובים מספרים שלמים שונים (לא דווקא 1 עד 9), והסכום בכל שורה, בכל עמודה ובשני האלכסונים שווה. איזה מספר צריך לבוא במקום סימן השאלה?

  1. 18
  2. 14
  3. 10
  4. 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 18

הפתרון:

3×9=273 \times 9 = 27

בכל ריבוע קסם 3 על 3, סכום קו הוא פי 3 מהמספר שבמרכז

27−9−13=527 - 9 - 13 = 5

העמודה האמצעית: למעלה 5

27−4−5=1827 - 4 - 5 = 18

השורה העליונה

במקום סימן השאלה 18. העובדה ש"סכום קו = 3 × המרכז" נכונה לכל ריבוע קסם 3 על 3 — לא רק ל-1 עד 9. מי שענה 14 חישב את הפינה שמול ה-4 באלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ארבע קבוצות שיחקו בטורניר: כל קבוצה פעם אחת נגד כל אחת מהאחרות. על ניצחון 2 נקודות, על תיקו נקודה לכל קבוצה, ועל הפסד 0. כמה נקודות קיבלו כל הקבוצות יחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

4×32=6\frac{4 \times 3}{2} = 6

כל משחק נספר פעם אחת, לא פעמיים

6×2=126 \times 2 = 12

בכל משחק מתחלקות בדיוק 2 נקודות, בניצחון או בתיקו

יחד 12 נקודות, מה שלא יקרה במשחקים. המלכודת: לספור 4×3=124 \times 3 = 12 משחקים. כך כל משחק נספר פעמיים, והתשובה יוצאת 24.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ידוע: "אם נועה באה למסיבה, דן בא" ו"אם דן בא, אלון לא בא". הטענה: אם אלון לא בא, אז נועה באה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

נועה מביאה את דן, ודן מרחיק את אלון\text{נועה מביאה את דן, ודן מרחיק את אלון}

שרשרת: נועה מביאה את דן, ודן מרחיק את אלון

אלון לא בא — לא בהכרח נועה באה\text{אלון לא בא — לא בהכרח נועה באה}

זה ההפוך: אולי אף אחד מהם לא בא

הטענה לא נכונה: אם אף אחד לא בא, אלון לא בא ונועה לא באה, ושני הכללים נשמרים. המלכודת: ללכת בשרשרת אחורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

באי האמיתיים והשקרנים, שלושה תושבים אמרו כל אחד את אותו משפט: "בדיוק אחד מאיתנו אמיתי". בדקו כל מספר של אמיתיים: האם הוא מתאים?

מספר האמיתייםמתאים?
00____
11____
22____
33____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 00: כן · 11: לא · 22: לא · 33: לא

הפתרון:

11

האמיתי אומר אמת. אבל אז שני השקרנים אומרים משפט נכון: סתירה

2, 32,\ 3

האמיתיים אומרים "בדיוק אחד", וזה שקרי: סתירה

00

כולם שקרנים, והמשפט "בדיוק אחד אמיתי" אכן שקרי ✓

רק 0 מתאים: שלושתם שקרנים. המלכודת: לבדוק רק את מי שאומר אמת. גם המשפט של השקרנים חייב להתאים להם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת