סדרה 4 — מעגל של שקרנים, מראה ומכונה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, ברמה של החלק "חשיבה" ומעליה. הפעילו שעון: עשרים וחמש דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

אחרי עשר השאלות יש עוד שלוש שאלות אימון בצורה אחרת, בכפתור "עוד סבב". אותן פותרים בלי שעון.

תרגילים

תרגיל 1

אחד מארבעה חברים החביא את המפתחות של המורה. אביה: "בן או גאיה החביאו". בן: "זו לא אביה". גאיה: "זה לא דור". דור: "אני החבאתי". ידוע שבדיוק שניים אומרים אמת. מי החביא את המפתחות?

  1. אביה
  2. גאיה
  3. דור
  4. בן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג דור

הפתרון:

גאיה↔דור\text{גאיה} \leftrightarrow \text{דור}

משפטים הפוכים: בדיוק אחד מהם נכון

11

לכן גם בין אביה לבן — בדיוק אחד אומר אמת

בן או גאיה⇒2\text{בן או גאיה} \Rightarrow 2

אם בן או גאיה החביאו, גם אביה וגם בן צודקים — יותר מדי

אביה⇒0, דור⇒1\text{אביה} \Rightarrow 0,\ \text{דור} \Rightarrow 1

אם אביה החביאה — שניהם טועים. נשאר דור

התשובה היא דור — והוא דווקא אמר אמת. מי שחיפש "את השקרן" כדי למצוא את האשם התבלבל: כאן האשם הודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

123456

שישה ילדים יושבים סביב מדורה. כל אחד מהם הוא דובר אמת (תמיד אומר אמת) או שקרן (תמיד משקר). כל אחד מהשישה אמר: "הילד שיושב משמאלי הוא שקרן". כמה שקרנים יושבים סביב המדורה?

  1. 4
  2. 2
  3. 3
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3

הפתרון:

אמת⇒משמאלו שקרן\text{אמת} \Rightarrow \text{משמאלו שקרן}

דובר אמת אומר אמת

שקרן⇒משמאלו דובר אמת\text{שקרן} \Rightarrow \text{משמאלו דובר אמת}

שקרן משקר — אז משמאלו דובר אמת

אמת, שקר, אמת, שקר, …\text{אמת, שקר, אמת, שקר, …}

הסוגים מתחלפים סביב המדורה

6:2=36 : 2 = 3

שישה ילדים לסירוגין

יש 3 שקרנים. אי אפשר לדעת מי הם — אבל כמה, כן. מי שענה "לא ניתן לדעת" ענה על שאלה אחרת. (ואם היו חמישה ילדים? אז אין שום סידור אפשרי — חמש לא מתחלק לזוגות.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

123456

שישה חברים יושבים סביב שולחן עגול עם שישה כיסאות ממוספרים. אור בכיסא 1. בתאל לא יושבת ליד אור ולא מולו. גבע יושב מול בתאל. דפנה יושבת ליד גבע. הראל לא יושב ליד דפנה. איזה משפט נכון בוודאות?

  1. ורד יושבת מול אור
  2. בתאל יושבת בכיסא 3
  3. הראל יושב בכיסא 2
  4. דפנה יושבת ליד בתאל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ורד יושבת מול אור

הפתרון:

בתאל=3  או  5\text{בתאל} = 3 \;\text{או}\; 5

לא 2, 6 (ליד אור) ולא 4 (מול)

גבע=6  או  2\text{גבע} = 6 \;\text{או}\; 2

מול בתאל

דפנה=5  או  3\text{דפנה} = 5 \;\text{או}\; 3

ליד גבע, והכיסא הפנוי היחיד שם

הראל=2  או  6 ורד=4\begin{aligned}\text{הראל} &= 2 \;\text{או}\; 6 \\ \ \text{ורד} &= 4\end{aligned}

הראל לא ליד דפנה — אז לוורד נשאר תמיד כיסא 4, מול אור

התשובה היא ורד יושבת מול אור. יש שני סידורים — אחד תמונת מראה של השני — ובשניהם ורד בכיסא 4. בתאל בכיסא 3 רק באחד מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

על מדף עומדים חמישה גביעים, במקומות 1 עד 5 מימין לשמאל: גביע זהב, כסף, ארד, זכוכית ועץ. גביע הארד באמצע. גביע הזהב לא עומד ליד גביע הכסף, והוא לא במקום 1. גביע הזכוכית עומד מימין לגביע העץ (לא בהכרח צמוד). איזה משפט נכון בוודאות?

  1. גביעי הזהב והכסף עומדים משני צדי הארד
  2. אם גביע הכסף במקום 1, גביע העץ במקום 5
  3. גביע הזכוכית עומד ליד גביע הארד
  4. גביע הזהב עומד בקצה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גביעי הזהב והכסף עומדים משני צדי הארד

הפתרון:

{1,2}, {4,5}\{1, 2\},\ \{4, 5\}

הארד באמצע מחלק את המדף לשני זוגות של מקומות צמודים

זהב, כסף  לא באותו צד\text{זהב, כסף} \;\text{לא באותו צד}

באותו צד הם היו צמודים

כסף, זכוכית, ארד, עץ, זהב\text{כסף, זכוכית, ארד, עץ, זהב}

סידור שמפיל את "הזכוכית ליד הארד" ואת "העץ במקום 5"

התשובה היא הזהב והכסף משני צדי הארד. כל צד של המדף הוא זוג מקומות צמודים — ושני גביעים שאסור להם לעמוד זה ליד זה חייבים להתפצל. יש שישה סידורים אפשריים, ורק המשפט הזה נכון בכולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ציורשחמטכדורסלראשוןשלישיחמישי
ליאם
מעיין
נבו

ליאם, מעיין ונבו הולכים כל אחד לחוג אחר — ציור, שחמט או כדורסל — וכל חוג ביום אחר: ראשון, שלישי או חמישי. חוג השחמט לא ביום ראשון. ליאם לא משחק כדורסל, והחוג שלו לא ביום חמישי. ביום שלישי יש חוג ציור. מעיין לא מציירת. החוג של נבו לא ביום ראשון. מי הולך לחוג ביום ראשון?

  1. לא ניתן לדעת
  2. מעיין
  3. ליאם
  4. נבו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מעיין

הפתרון:

ראשון≠שחמט, ציור\text{ראשון} \ne \text{שחמט, ציור}

שחמט לא בראשון, וציור בשלישי

ראשון=כדורסל\text{ראשון} = \text{כדורסל}

נשאר הכדורסל

ראשון≠ליאם, נבו\text{ראשון} \ne \text{ליאם, נבו}

ליאם לא משחק כדורסל; החוג של נבו לא בראשון

מעיין\text{מעיין}

מעיין משחקת כדורסל ביום ראשון

ביום ראשון הולכת מעיין, לכדורסל. הדרך: לחבר קודם יום לחוג (שם יש שלושה רמזים), ורק אחר כך את האנשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

עוז, פנינה וצליל הם בני 9, 10 ו-11, ולכל אחד אופניים בצבע אחר: אדומים, כחולים או שחורים. בעל האופניים השחורים מבוגר מפנינה. לעוז אין אופניים כחולים. צליל אינו בן 9. לבן ה-10 אין אופניים אדומים. מה צבע האופניים של צליל?

  1. לא ניתן לדעת
  2. כחולים
  3. שחורים
  4. אדומים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא ניתן לדעת

הפתרון:

שחורים≠פנינה, פנינה≠11\text{שחורים} \ne \text{פנינה},\ \text{פנינה} \ne 11

בעל השחורים מבוגר ממנה

עוז: 9, אדומים; פנינה: 10, כחולים; צליל: 11, שחורים\text{עוז: 9, אדומים; פנינה: 10, כחולים; צליל: 11, שחורים}

סידור שמתאים לכל הרמזים

עוז: 10, שחורים; פנינה: 9, אדומים; צליל: 11, כחולים\text{עוז: 10, שחורים; פנינה: 9, אדומים; צליל: 11, כחולים}

גם הסידור הזה מתאים — ולצליל צבע אחר. יש אפילו סידור שבו לצליל אופניים אדומים

התשובה היא לא ניתן לדעת. הרמזים משאירים כמה פתרונות, ובהם לצליל צבעים שונים. מי שבחר צבע מסוים מצא פתרון אחד ולא חיפש את השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מכונה מקבלת מספר שלם וחיובי. אם המספר זוגי — היא מחלקת אותו ב-2, אלא אם הוא גדול מ-50, ואז היא מחסרת ממנו 50. אם המספר אי-זוגי — היא מוסיפה לו 1. מכניסים מספר, ואת התוצאה מכניסים שוב למכונה. איזה מהמספרים הבאים ייתן בסוף 7?

  1. 28
  2. 14
  3. 12
  4. 15
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 28

הפתרון:

28→14→728 \to 14 \to 7

זוגי ולא גדול מ-50: מחלקים ב-2, פעמיים

14→7→814 \to 7 \to 8

אחרי מעבר אחד מתקבל 7 — אבל יש מעבר שני

15→16→8,12→6→315 \to 16 \to 8,\quad 12 \to 6 \to 3

האחרים

התשובה היא 28. 14 הוא המלכודת: הוא נותן 7 אחרי מעבר אחד, ואז המכונה הופכת את ה-7 ל-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה השלילה של המשפט "בכל כיתה בבית הספר יש תלמיד שמשחק כדורגל"?

  1. בכל כיתה יש תלמיד שלא משחק כדורגל
  2. בשום כיתה אין תלמיד שמשחק כדורגל
  3. יש כיתה שבה אף תלמיד לא משחק כדורגל
  4. יש כיתה שבה יש תלמיד שלא משחק כדורגל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יש כיתה שבה אף תלמיד לא משחק כדורגל

הפתרון:

בכל כיתה→יש כיתה\text{בכל כיתה} \to \text{יש כיתה}

השלילה של "בכל" היא "יש לפחות אחת ש..."

יש תלמיד→אף תלמיד לא\text{יש תלמיד} \to \text{אף תלמיד לא}

והשלילה של "יש" היא "אף אחד לא"

התשובה היא "יש כיתה שבה אף תלמיד לא משחק כדורגל". מספיקה כיתה אחת כזאת כדי שהמשפט יהיה שקרי. "בשום כיתה" מגזים — הוא הופך את שני החלקים יותר מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בחפיסת קלפים יש ארבע צורות — לב, יהלום, תלתן ועלה — 13 קלפים מכל צורה. כמה קלפים צריך לשלוף בעיניים עצומות כדי להיות בטוחים שיש שלושה קלפים מאותה צורה?

  1. 9
  2. 5
  3. 8
  4. 13
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 9

הפתרון:

4×2=84 \times 2 = 8

המזל הגרוע: שני קלפים מכל צורה, ואין שלושה

8+1=98 + 1 = 9

הקלף התשיעי משלים שלושה בצורה כלשהי

התשובה היא 9. התשובה 5 מתאימה ל"שניים מאותה צורה" — ו-13 היא מספר הקלפים בצורה, שלא משנה כאן כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

דנה ראתה במראה שעון מחוגים בלי מספרים, והשעה במראה נראתה 3:40. מה השעה האמיתית?

  1. 3:40
  2. 8:40
  3. 8:20
  4. 9:20
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 8:20

הפתרון:

12:00−3:4012:00 - 3:40

המראה הופכת ימין ושמאל: מחוג הדקות שנראה במראה על 8 (40 דקות) מצביע באמת על 4 (20 דקות)

=8:20= 8:20

השעה האמיתית ועוד השעה במראה הן תמיד 12 שעות

8:20+3:40=12:008:20 + 3:40 = 12:00

בדיקה

השעה האמיתית 8:20. מי שענה 8:40 הפך רק את מחוג השעות ושכח שגם מחוג הדקות מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו לכל משפט את השלילה שלו.

  • כל הדלתות נעולות
  • יש דלת נעולה
  • אם יורד גשם, נשארים בבית
  • דני גבוה וגם מהיר
  • אף דלת אינה נעולה
  • דני לא גבוה, או לא מהיר
  • יורד גשם ולא נשארים בבית
  • יש דלת שאינה נעולה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כל הדלתות נעולות — יש דלת שאינה נעולה · יש דלת נעולה — אף דלת אינה נעולה · אם יורד גשם, נשארים בבית — יורד גשם ולא נשארים בבית · דני גבוה וגם מהיר — דני לא גבוה, או לא מהיר

הפתרון:

השלילה של כל: יש אחד שלא\text{השלילה של כל: יש אחד שלא}

מספיק דלת אחת פתוחה

השלילה של אם גשם אז בית: גשם ולא בית\text{השלילה של אם גשם אז בית: גשם ולא בית}

הכלל נשבר רק כשיורד גשם ולא נשארים

השלילה של גם וגם: לא זה, או לא זה\text{השלילה של גם וגם: לא זה, או לא זה}

מספיק שאחד מהשניים לא נכון

שלילה נכונה בדיוק כשהמשפט שקרי. המלכודת: "אם יורד גשם, לא נשארים בבית" הוא כלל חדש, לא השלילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בחפיסה 52 קלפים: 13 מכל צורה — לב, יהלום, תלתן ועלה. כמה קלפים צריך לשלוף בעיניים עצומות כדי להיות בטוחים שיש לפחות לב אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

3×13=393 \times 13 = 39

במזל הגרוע ביותר יוצאות קודם כל שלוש הצורות האחרות

39+1=4039 + 1 = 40

הקלף הבא חייב להיות לב

צריך 40. המלכודת: לענות 5. זו התשובה ל"שני קלפים מאותה צורה", לא ל"לב" דווקא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מכונה: מספר זוגי — היא מחלקת ב-2. מספר אי-זוגי — היא מוסיפה 1. נועה הכניסה 13, ואת כל תוצאה הכניסה שוב. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

13→1413 \to 14
14→714 \to 7
7→87 \to 8
8→38 \to 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8→38 \to 3 → 8→48 \to 4

הפתרון:

8:2=48 : 2 = 4

8 זוגי, ולכן מחלקים ב-2

הטעות בשורה האחרונה: 8 זוגי, ולכן התוצאה 4. המלכודת: לא לבדוק מחדש כל מספר. בכל כניסה בודקים שוב: זוגי או אי-זוגי?

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת