מבחן תרגול 5 · סדרות ודפוסים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן, מכל חלקי הפרק. הפעילו שעון: חמש עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו והמשיכו.

אחרי עשר השאלות באות עוד שלוש שאלות אימון, בצורה אחרת. עליהן — בלי שעון.

תרגילים

תרגיל 1

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 2, 5, 14, 41, \ldots$ ?

$122$
$68$
$95$
$123$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $122$

הפתרון:

1, 3, 9, 27

ההפרשים מוכפלים ב- $3$

41 + 81 = 122

41 \times 3 - 1 = 122

הכלל: פי $3$ פחות $1$

התשובה היא $122$ . $68$ חוזר על ההפרש $27$ , $123$ כופל ושוכח את החיסור, ו- $95$ מכפיל את ההפרש ב- $2$ במקום ב- $3$ ( $41 + 54$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 12, 4, 10, 8, 8, 16, \ldots$ ?

$4$
$12$
$6$
$32$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $6$

הפתרון:

2, 4, 8, 16

המקומות האי-זוגיים: כפול $2$

12, 10, 8

המקומות הזוגיים: פחות $2$

8 - 2 = 6

המקום השמיני זוגי

התשובה היא $6$ . $32$ ממשיך את הסדרה האי-זוגית, $4$ מחסר $2$ פעמיים, ו- $12$ מוסיף $4$ מתוך בלבול בין הסדרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 4, 10, 20, 35, \ldots$ ?

$55$
$50$
$56$
$70$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $56$

הפתרון:

3, 6, 10, 15

ההפרשים

3, 4, 5

הפרשי ההפרשים — גדלים ב- $1$

15 + 6 = 21

ההפרש הבא

35 + 21 = 56

התשובה היא $56$ . $50$ חוזר על ההפרש $15$ , $55$ מוסיף $20$ (הפרשים שגדלים ב- $5$ ), ו- $70$ מכפיל ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בתבנית שבציור בונים שתי שורות של ריבועים מגפרורים. באיזה מבנה יש בדיוק $102$ גפרורים?

אין מבנה כזה
$25$
$17$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $20$

הפתרון:

7, 12, 17

שלושת המבנים הראשונים — $5n + 2$

102 - 2 = 100

בלי הקיר השמאלי

100 : 5 = 20

התשובה היא מבנה $20$ . $17$ מחלק את $102$ בשישה, ו- $25$ מחלק את $100$ בארבעה. ״אין מבנה כזה״ נבחר כששוכחים את שני הגפרורים של הקיר ובודקים אם $102$ מתחלק ב- $5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה $3, 7, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 0, \ldots$ כל איבר (מהשלישי והלאה) הוא ההפרש בין שני האיברים שלפניו — הגדול פחות הקטן. מהו האיבר ה- $100$ ?

$3$
$0$
לא ניתן לדעת
$1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $1$

הפתרון:

1, 1, 0, 1, 1, 0, \ldots

מהאיבר השביעי מתחיל מחזור של $3$

100 - 6 = 94

מקומות מהשביעי והלאה

94 = 31 \times 3 + 1

שארית $1$ : הראשון במחזור — $1$

התשובה היא $1$ . $0$ מתקבל כשסופרים $100 - 7 = 93$ מקומות — טעות של אחד, שמעבירה לסוף המחזור. $3$ מתקבל כשמחלקים את $100$ ב- $3$ מתחילת הסדרה, אבל ששת האיברים הראשונים אינם חוזרים. ו״לא ניתן לדעת״ שגוי: הכלל קובע כל איבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בונים מגפרורים רשת של ריבועים: במבנה $1$ ריבוע אחד ( $4$ גפרורים), במבנה $2$ רשת של $2$ על $2$ ( $12$ גפרורים), במבנה $3$ רשת של $3$ על $3$ ( $24$ גפרורים). כמה גפרורים במבנה $5$ ?

$60$
$48$
$100$
$40$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $60$

הפתרון:

4, 12, 24

ההפרשים $8, 12$

24 + 16 = 40

מבנה $4$

40 + 20 = 60

מבנה $5$

6 \times 5 \times 2 = 60

בדיקה: $6$ שורות של $5$ גפרורים אופקיים, ועוד אותו מספר אנכיים

התשובה היא $60$ . $100$ סופר $4$ גפרורים לכל אחד מ- $25$ הריבועים — כאילו אין צלעות משותפות. $40$ הוא המבנה הרביעי, ו- $48$ חוזר על ההפרש $12$ פעמיים ( $24 + 12 + 12$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

צפרדע מתחילה בנקודה $0$ . הקפיצה הראשונה שלה $5$ מטר קדימה, השנייה $3$ מטר אחורה, וכך לסירוגין. אחרי כמה קפיצות תגיע בפעם הראשונה לנקודה $20$ או מעבר לה?

$17$
$10$
$20$
$18$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $17$

הפתרון:

2, 4, 6, \ldots

אחרי כל זוג קפיצות היא מתקדמת $2$

16

אחרי $16$ קפיצות — בנקודה $16$

16 + 5 = 21

הקפיצה ה- $17$ מעבירה אותה את $20$

התשובה היא $17$ . $20$ מחשב $20 : 2 \times 2$ ושוכח שקפיצה קדימה עוברת את הקו לפני הנסיגה. $10$ סופר זוגות, ו- $18$ מוסיף קפיצה מיותרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שורה	A	B	C	D
1	1	2	3	4
2	8	7	6	5
3	9	10	11	12
4	16	15	14	13

כותבים את המספרים בטבלה של $4$ עמודות ״כמו נחש״: שורה ראשונה משמאל לימין, השנייה מימין לשמאל, וכך הלאה (ראו טבלה). באיזו עמודה ייכתב המספר $2026$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $B$

הפתרון:

2026 = 506 \times 4 + 2

$506$ שורות מלאות, ו- $2026$ הוא השני בשורה ה- $507$

507

שורה אי-זוגית — נכתבת משמאל לימין, כמו השורה הראשונה

B

המקום השני משמאל

התשובה היא $B$ . $C$ מתקבל כששוכחים שהשורה אי-זוגית וכותבים אותה מימין לשמאל. $A$ ו- $D$ מתקבלים מטעות בשארית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בתבנית הבתים שבציור (בית ראשון — $6$ גפרורים, וכל בית נוסף — $5$ ), אחת הטענות אינה נכונה. איזו?

אין מבנה שמשתמש בדיוק ב- $100$ גפרורים
בכל מעבר למבנה הבא מוסיפים $5$ גפרורים
המבנה ה- $20$ משתמש בפי $2$ גפרורים מהמבנה ה- $10$
במבנה ה- $10$ יש $51$ גפרורים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג המבנה ה- $20$ משתמש בפי $2$ גפרורים מהמבנה ה- $10$

הפתרון:

5 \times 10 + 1 = 51

המבנה ה- $10$

5 \times 20 + 1 = 101

המבנה ה- $20$

2 \times 51 = 102 \neq 101

הקיר הראשון נספר רק פעם אחת

99 = 19 \times 5 + 4

$100$ אינו $5n + 1$

התשובה: המבנה ה- $20$ אינו פי $2$ מהמבנה ה- $10$ — $101$ ולא $102$ . הכפלה כפולה גם את הקיר הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה $1, 2, 4, 7, 11, 16, \ldots$ ההפרשים הם $1, 2, 3, 4, \ldots$ מהו האיבר ה- $50$ ?

$99$
$1226$
$1276$
$1225$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $1226$

הפתרון:

49

בין הראשון לחמישים — $49$ הפרשים

1 + 2 + \ldots + 49 = 1225

חיבור בזוגות: $49 \times 50 : 2$

1 + 1225 = 1226

ועוד האיבר הראשון

התשובה היא $1226$ . $1276$ מחבר $50$ הפרשים, $1225$ שוכח את האיבר הראשון, ו- $99$ מתייחס לסדרה כאילו ההפרש קבוע $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

סדרו את המבנים לפי מספר הגפרורים, מהקטן לגדול.

מבנה $10$ בשורת משולשים, $2n + 1$ גפרורים
מבנה $3$ בשתי שורות של ריבועים, $5n + 2$ גפרורים
מבנה $5$ בתבנית הבתים, $5n + 1$ גפרורים
מבנה $7$ בשורת ריבועים, $3n + 1$ גפרורים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מבנה $3$ בשתי שורות של ריבועים, $5n + 2$ גפרורים · מבנה $10$ בשורת משולשים, $2n + 1$ גפרורים · מבנה $7$ בשורת ריבועים, $3n + 1$ גפרורים · מבנה $5$ בתבנית הבתים, $5n + 1$ גפרורים

הפתרון:

5 \times 3 + 2 = 17

שתי שורות של ריבועים

2 \times 10 + 1 = 21

משולשים

3 \times 7 + 1 = 22

ריבועים

5 \times 5 + 1 = 26

בתים

$17 < 21 < 22 < 26$ . המלכודת: לסדר לפי מספר המבנה — מבנה $10$ אינו בהכרח הגדול; מה שקובע הוא כמה גפרורים נוספים בכל שלב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בסדרה $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ — מהו ההפרש בין האיבר ה- $20$ לאיבר ה- $19$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39

הפתרון:

3, 5, 7, 9, \ldots

ההפרשים הם המספרים האי-זוגיים

\begin{aligned}20 \times 20 - 19 \times 19 &= 400 - 361 \\ &= 39\end{aligned}

בדיקה ישירה

$39$ — וגם $19 + 20$ . המלכודת: $2 \times 20 = 40$ ; ההפרש בין ריבוע לקודמו הוא סכום שני הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נועה חיפשה את הספרה ה- $50$ אחרי הנקודה ב- $0.142857142857\ldots$ (הספרות $142857$ חוזרות). שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

0.\overline{142857}

50 = 6 \times 8 + 2

50 \to 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $50 \to 2$ → $50 \to 4$

הפתרון:

50 = 6 \times 8 + 2

מחזור של $6$ ספרות; שארית $2$

1,\ 4

המקום השני במחזור הוא $4$

הספרה ה- $50$ היא $4$ . נועה כתבה את השארית עצמה כתשובה — אבל השארית אומרת רק איזה מקום במחזור, והספרה במקום השני היא $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev