צורות — מה משתנה כשמשנים צלע · מרובעים, משולשים ומעגל · מבחן כניסה לכיתה ז׳ (לתלמידי ו׳)

הגיאומטריה של המבחן אינה מבקשת נוסחאות שלא הכרתם.

היא בודקת שני דברים: מה קורה לשטח כשצלע משתנה, ומתי הנתונים לא מספיקים. שתי היכולות האלה מכריעות יותר שאלות מכל נוסחה.

הנוסחאות, וכמה יש

S = a \times b

מלבן

S = \frac{b \times h}{2}

משולש

S = \pi r^{2}

עיגול

P = 2\pi r

היקף מעגל

זה כמעט הכול. במבחן מניחים $\pi = 3.14$ , ולכן החישוב נשאר כפל וחילוק — הקושי אינו בו.

מה קורה לשטח כשמכפילים צלע

צלע אחת גדלה פי $3$ , והשנייה נשארת: השטח גדל פי $3$ .

צלע אחת פי $3$ , והשנייה קטנה פי $2$ : השטח גדל פי $\frac{3}{2}$ .

השטח מרגיש את מכפלת השינויים — בדיוק כמו אחוזים ברצף.

המלכודת: לחבר את השינויים במקום להכפיל אותם.

\times 3,\ \times 2 \Rightarrow \times 5

\times 3 \times 2 = \times 6

שטח הוא מכפלה, ולכן השינויים מוכפלים.

\times 3,\ : 2 \Rightarrow \times 1

\times 3 : 2 = \times 1.5

גם כשצלע אחת קטנה — מכפילים ומחלקים, לא מחסירים.

צלע ריבוע מתקצרת ב- $10\%$ . באיזה אחוז יורד השטח?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $19\%$ . שתי הצלעות מתקצרות, ולכן השטח מוכפל ב- $0.9 \times 0.9 = 0.81$ — כלומר נשארים $81\%$ , וירדו $19\%$ . מי שענה $10\%$ או $20\%$ שכח שהריבוע מתכווץ בשני הכיוונים.

מעגל בתוך ריבוע

צירוף שחוזר במבחן: מעגל חסום בריבוע.

הקשר היחיד שצריך: קוטר המעגל שווה לצלע הריבוע. הרדיוס הוא חצי הצלע.

השטח שבפינות הוא הפרש בין שני שטחים מוכרים. ריבוע ששטחו $100$ : הצלע $\sqrt{100} = 10$ .

מתי אי אפשר לדעת

היקף אינו קובע שטח, ושטח אינו קובע היקף.

לכן ״לא ניתן לדעת בוודאות״ היא תשובה נכונה, כשנתון רק אחד מהשניים והשאלה שואלת על השני.

מבין כל המלבנים בעלי אותו היקף, הריבוע הוא בעל השטח הגדול ביותר. זו עובדה שמכריעה כמה שאלות של השוואה בלי חישוב אף פעם.

שטח פנים ונפח

לתיבה יש שני גדלים שונים לגמרי.

הנפח: אורך כפול רוחב כפול גובה. שטח הפנים: סכום השטחים של שש הפאות.

\begin{aligned}V &= a \times b \times c \\ \quad S &= 2(ab + bc + ac)\end{aligned}

נפח ושטח פנים של תיבה

הם לא גדלים באותו קצב. המבחן בודק את זה, לרוב דרך המנה ביניהם.

לקובייה שמקצועה $2$ , מהי המנה של שטח הפנים חלקי הנפח?