סוגי מרובעים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מרובע: ארבע צלעות וארבע זוויות.

במבחן לא שואלים רק ״איך קוראים לצורה״. שואלים מה נכון עליה תמיד — ומה נכון רק לפעמים.

סכום הזוויות במרובע

אלכסון אחד מחלק כל מרובע לשני משולשים.

בכל משולש 180°180°. לכן בכל מרובע — גם במרובע קעור — 2×180°=360°2 \times 180° = 360°.

α+β+γ+δ=360°\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°

סכום הזוויות בכל מרובע

במרובע שלוש זוויות: 90°90°, 80°80° ו-100°100°. מהי הזווית הרביעית?

להציג את התשובה והפתרון

90°90°. 90+80+100=27090 + 80 + 100 = 270, ו-360−270=90360 - 270 = 90.

המשפחה של המרובעים

מקבילית — שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות
מלבן — מקבילית שכל זוויותיה ישרות
מעוין — מקבילית שכל צלעותיה שוות
ריבוע — גם מלבן וגם מעוין
טרפז — זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות
דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

במקבילית הצלעות הנגדיות שוות, והזוויות הנגדיות שוות.

שתי זוויות סמוכות משלימות זו את זו ל-180°180°. והאלכסונים חוצים זה את זה — כל אחד נחתך באמצע.

מלבן, מעוין וריבוע הם מקביליות: האלכסונים שלהם חוצים זה את זה. כל אחד מוסיף תכונה משלו.

AC=BDAC = BD

מלבן: האלכסונים שווים

AC⊥BDAC \perp BD

מעוין: האלכסונים מאונכים

AC=BD AC⊥BD\begin{aligned}AC &= BD \\ \ AC \perp BD\end{aligned}

ריבוע: גם וגם

בטרפז יש זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות. הן נקראות בסיסים.

המילה ״בלבד״ היא ההגדרה כולה: שני זוגות מקבילים כבר יוצרים מקבילית.

בדלתון האלכסונים מאונכים, ושתי הזוויות שבין הצלעות השונות שוות זו לזו.

מי הוא גם מי

כל ריבוע הוא מלבן, וכל ריבוע הוא מעוין. כל מלבן וכל מעוין הם מקביליות.

ההפך לא נכון: מלבן 6×26 \times 2 אינו ריבוע. מעוין עם זוויות 60°60° ו-120°120° אינו ריבוע.

האם כל מעוין הוא מלבן?

להציג את התשובה והפתרון

לא. במעוין כל הצלעות שוות, אבל הזוויות לא חייבות להיות ישרות. רק מעוין שזוויותיו ישרות הוא מלבן — ואז הוא ריבוע.

המלכודת: לתת לצורה תכונה של קרובת משפחה.

AC=BDAC = BD
AO=OCAO = OC

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, אבל הם שווים רק במלבן.

∠A=∠B\angle A = \angle B
∠A+∠B=180°\angle A + \angle B = 180°

במקבילית זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°. רק הזוויות הנגדיות שוות.

במבחן המילה ״תמיד״ היא הכול. כדי לפסול טענה מספיקה דוגמה אחת שבה היא לא נכונה. והריבוע הוא מלכודת: יש לו כל התכונות, ולכן הוא אף פעם לא מוכיח שטענה נכונה לכל המרובעים.

תרגילים

תרגיל 1

75°95°110°?

במרובע שלוש זוויות: 75°75°, 95°95° ו-110°110°. מהי הזווית הרביעית (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

75+95+110=28075 + 95 + 110 = 280
360−280=80360 - 280 = 80

התשובה היא 80°80°. סכום הזוויות בכל מרובע הוא 360°360°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לאיזה מרובע יש זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות?

  1. דלתון
  2. מעוין
  3. מקבילית
  4. טרפז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד טרפז

הפתרון:

AB∥CD, AD∦BCAB \parallel CD , \ AD \nparallel BC

בטרפז: זוג אחד מקביל, והזוג השני לא

התשובה היא טרפז. במקבילית ובמעוין יש שני זוגות של צלעות מקבילות, ובדלתון בדרך כלל אין אף זוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כל מלבן הוא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

6≠26 \neq 2

מלבן 6 על 2: הצלעות לא שוות, ולכן אינו ריבוע

לא נכון. מלבן שאורכו 66 ורוחבו 22 אינו ריבוע. ההפך נכון: כל ריבוע הוא מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

התאימו כל מרובע לתכונה של האלכסונים שלו

  • מקבילית
  • מלבן
  • ריבוע
  • דלתון
  • האלכסונים חוצים זה את זה
  • האלכסונים חוצים זה את זה ושווים
  • האלכסונים חוצים זה את זה, שווים ומאונכים
  • האלכסונים מאונכים, ורק אחד מהם חוצה את השני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקבילית — האלכסונים חוצים זה את זה · מלבן — האלכסונים חוצים זה את זה ושווים · ריבוע — האלכסונים חוצים זה את זה, שווים ומאונכים · דלתון — האלכסונים מאונכים, ורק אחד מהם חוצה את השני

הפתרון:

מקבילית→מלבן→ריבוע\text{מקבילית} \to \text{מלבן} \to \text{ריבוע}

כל שלב מוסיף תכונה לאלכסונים

כל צורה במשפחה מוסיפה תכונה: מקבילית, ואז מלבן (שווים), ואז ריבוע (גם מאונכים). הדלתון אינו מקבילית, ולכן אלכסוניו אינם חוצים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

64°?ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון ∠A=64°\angle A = 64°. מהי ∠B\angle B (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 116

הפתרון:

∠A+∠B=180°\angle A + \angle B = 180°

זוויות סמוכות במקבילית

180−64=116180 - 64 = 116

התשובה היא 116°116°. ∠B\angle B סמוכה ל-∠A\angle A, ולכן משלימה ל-180°180°. רק הזווית הנגדית, ∠C\angle C, שווה ל-64°64°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDO

האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, והם שווים זה לזה. מהו המרובע בהכרח?

  1. טרפז
  2. מלבן
  3. ריבוע
  4. מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מלבן

הפתרון:

AO=OC BO=OD\begin{aligned}AO &= OC \\ \ BO &= OD\end{aligned}

חוצים זה את זה: מקבילית

AC=BDAC = BD

ושווים: מלבן

התשובה היא מלבן. ריבוע צריך גם אלכסונים מאונכים — וזה לא נתון. מי שענה ״ריבוע״ הוסיף תכונה שאין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD

בכל מקבילית, שתי זוויות סמוכות משלימות זו את זו ל-180°180°.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A+∠B=180°\angle A + \angle B = 180°

סמוכות משלימות

70+110=18070 + 110 = 180

למשל: 70°70° ו-110°110°

נכון. זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180°180°. הזוויות הנגדיות הן אלה שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDO

באילו מרובעים האלכסונים תמיד מאונכים זה לזה?

  • תמיד מאונכים
  • לא תמיד
  • דלתון
  • טרפז
  • מלבן
  • מעוין
  • מקבילית
  • ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מעוין — תמיד מאונכים · ריבוע — תמיד מאונכים · דלתון — תמיד מאונכים · מלבן — לא תמיד · מקבילית — לא תמיד · טרפז — לא תמיד

הפתרון:

AC⊥BDAC \perp BD

במעוין, בריבוע ובדלתון

מעוין, ריבוע ודלתון: אלכסונים מאונכים תמיד. במלבן הם שווים, אבל מאונכים רק כשהמלבן הוא ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

75°60°?ABCD

בטרפז ABCDABCD הבסיסים מקבילים: AB∥CDAB \parallel CD. נתון ∠A=75°\angle A = 75° ו-∠B=60°\angle B = 60°. מהי ∠C\angle C (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

∠B+∠C=180°\angle B + \angle C = 180°

הן על אותה שוק, בין שני הבסיסים

180−60=120180 - 60 = 120

התשובה היא 120°120°. בטרפז, שתי הזוויות שעל אותה שוק משלימות ל-180°180°. ∠A\angle A נמצאת על השוק השנייה — היא לא משתתפת בחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו מהכללי אל המיוחד: כל צורה ברשימה היא גם כל מה שלפניה.

  • מלבן
  • מקבילית
  • מרובע
  • ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מרובע · מקבילית · מלבן · ריבוע

הפתרון:

מרובע⊃מקבילית⊃מלבן⊃ריבוע\text{מרובע} \supset \text{מקבילית} \supset \text{מלבן} \supset \text{ריבוע}

כל שלב מוסיף תכונה

מקבילית היא מרובע עם שני זוגות מקבילים. מלבן — מקבילית עם זוויות ישרות. ריבוע — מלבן עם צלעות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת