סדרה 5 — מבחן קצר מעורב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, ואחריהן חמש שאלות תרגול. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות לעשר הראשונות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — סמנו את מה שנראה הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

בגלידרייה 88 טעמים שונים. גליה רוצה גביע עם 33 כדורים בטעמים שונים, והסדר אינו חשוב לה. כמה אפשרויות יש לה?

  1. 2424
  2. 512512
  3. 5656
  4. 336336
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 5656

הפתרון:

8×7×6=3368 \times 7 \times 6 = 336

אם הסדר היה חשוב

3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6

מספר הסדרים של אותם שלושה

336:6=56336 : 6 = 56

התשובה היא 5656. 336336 היא התשובה של מי שספר סדרים — והשאלה אומרת במפורש שהסדר אינו חשוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה מספר משלים את הסדרה: 1,3,7,15,31,__1, 3, 7, 15, 31, \_\_?

  1. 6363
  2. 6464
  3. 4747
  4. 6262
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 6363

הפתרון:

×2+1\times 2 + 1

הכלל

31×2+1=6331 \times 2 + 1 = 63

התשובה היא 6363. אפשר גם דרך ההפרשים: 2,4,8,16,322, 4, 8, 16, 32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=a×b−aa \# b = a \times b - a. מהי תוצאת 4#34 \# 3?

  1. 11
  2. 1212
  3. 99
  4. 88
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 88

הפתרון:

4×3−4=84 \times 3 - 4 = 8

התשובה היא 88. 99 היא התוצאה של 3#43 \# 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שלושה חברים הגיעו למסיבה בתחפושות שונות: רקדן, צפרדע וקוסם. ידוע: איג התחפש לצפרדע, ומי שהגיע על אופניים התחפש לרקדן. אלעד לא הגיע על אופניים. מי התחפש לרקדן?

  1. אלעד
  2. לא ניתן לדעת
  3. בר
  4. איג
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בר

הפתרון:

איג→צפרדע\text{איג} \to \text{צפרדע}
אלעד≠אופניים⇒¬רקדן\text{אלעד} \neq \text{אופניים} \Rightarrow \neg \text{רקדן}
⇒בר\Rightarrow \text{בר}

הנותר היחיד

התשובה היא בר. שתי שלילות מותירות אפשרות אחת — הדרך הרגילה לפתור שאלת השמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האותיות aa ו-bb מייצגות שני מספרים ראשוניים שונים, שניהם גדולים מ-22. מה נכון לגבי a+ba + b?

  1. הוא תמיד אי-זוגי
  2. לא ניתן לדעת
  3. הוא תמיד זוגי
  4. הוא תמיד ראשוני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא תמיד זוגי

הפתרון:

p>2⇒p אי-זוגיp > 2 \Rightarrow p \ \text{אי-זוגי}

כל ראשוני מעל 2 הוא אי-זוגי

אי-זוגי+אי-זוגי=זוגי\text{אי-זוגי} + \text{אי-זוגי} = \text{זוגי}

התשובה היא תמיד זוגי. התנאי ״גדולים מ-22״ הוא כל השאלה: הוא מוציא את הראשוני הזוגי היחיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו המספר בעל מספר המחלקים הקטן ביותר מבין המספרים הבאים?

  1. 8484
  2. 4545
  3. 2929
  4. 9999
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2929

הפתרון:

2929

ראשוני: שני מחלקים בלבד

45=32×545 = 3^{2} \times 5

שישה מחלקים

84=22×3×784 = 2^{2} \times 3 \times 7

שנים עשר

התשובה היא 2929. למספר ראשוני יש בדיוק שני מחלקים — הוא עצמו ו-11 — וזה המינימום האפשרי מעל 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איזו טענה סותרת את ״כל התלמידים בכיתה הגיעו״?

  1. חלק מהתלמידים הגיעו
  2. תלמיד אחד לא הגיע
  3. אף תלמיד לא הגיע
  4. רוב התלמידים הגיעו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב תלמיד אחד לא הגיע

הפתרון:

¬∀=∃¬\neg \forall = \exists \neg

די בדוגמה נגדית אחת

התשובה היא תלמיד אחד לא הגיע. כדי לסתור ״כולם״ די באחד — לא צריך ״אף אחד״, שהיא טענה חזקה הרבה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בטבלת צורות, כל שורה נבנית לפי אותו כלל. אם בשורה הראשונה מספר הצלעות עולה ב-11 בכל צעד, ובשורה השנייה גם, מה יופיע במקום סימן השאלה כשלפניו משולש ולפניו ריבוע?

  1. מחומש
  2. משושה
  3. ריבוע
  4. משולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מחומש

הפתרון:

3,4,?3, 4, ?

מספר הצלעות עולה

55

התשובה היא מחומש. בטבלאות צורות, הכלל הוא כמעט תמיד ספירה — צלעות, קודקודים או חלקים צבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ארבעה ילדים יושבים סביב שולחן מרובע, אחד בכל צד. ידוע שדנה יושבת מול רון, ושיעל יושבת מימין לדנה. מי יושב משמאל לדנה?

  1. רון
  2. יעל
  3. לא ניתן לדעת
  4. הילד הרביעי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הילד הרביעי

הפתרון:

דנה↔רון\text{דנה} \leftrightarrow \text{רון}

מולה

יעל→ימין\text{יעל} \to \text{ימין}
⇒הרביעי→שמאל\Rightarrow \text{הרביעי} \to \text{שמאל}

הנותר היחיד

התשובה היא הילד הרביעי. מול דנה יושב רון, מימינה יעל — נשאר צד אחד וילד אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איזו מהטענות הבאות היא היחידה שאפשר להסיק בוודאות מ״לפחות שני תלמידים בכיתה מרכיבים משקפיים״?

  1. יש תלמיד שאינו מרכיב משקפיים
  2. יש תלמיד אחד לפחות שמרכיב משקפיים
  3. בדיוק שני תלמידים מרכיבים משקפיים
  4. רוב התלמידים מרכיבים משקפיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יש תלמיד אחד לפחות שמרכיב משקפיים

הפתרון:

≥2⇒≥1\geq 2 \Rightarrow \geq 1

טענה חלשה יותר נובעת

התשובה היא יש תלמיד אחד לפחות שמרכיב משקפיים. ״לפחות שניים״ גורר ״לפחות אחד״, אך אינו גורר ״בדיוק שניים״ ואינו אומר דבר על השאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=3a−2ba \# b = 3a - 2b. מהי תוצאת (4#1)#3(4 \# 1) \# 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

4#1=12−2=10\begin{aligned}4 \# 1 &= 12 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

הסוגריים קודם

10#3=30−6=24\begin{aligned}10 \# 3 &= 30 - 6 \\ &= 24\end{aligned}

2424. התוצאה של הסוגריים, 1010, היא המספר הראשון בפעולה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

כדי לסתור את הטענה ״כל המספרים הראשוניים הם אי-זוגיים״ מספיק המספר 22.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

22

ראשוני — ואינו אי-זוגי

נכון. 22 מקיים את התנאי (ראשוני) ולא את המסקנה (אי-זוגי). דוגמה נגדית אחת מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בסדרה 5,8,16,19,38,…5, 8, 16, 19, 38, \ldots הפעולות מתחלפות. השלימו.

האיבר הבא הוא ____, והאיבר שאחריו הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האיבר הבא הוא 41, והאיבר שאחריו הוא 82.

הפתרון:

+3, ×2, +3, ×2+3,\ \times 2,\ +3,\ \times 2

הפעולות

38+3=41 41×2=82\begin{aligned}38 + 3 &= 41 \\ \ 41 \times 2 &= 82\end{aligned}

4141 ו-8282. אחרי ×2\times 2 בא +3+3 — מי שכפל את 3838 קיבל 7676.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ידוע שלפחות שני תלמידים בכיתה מרכיבים משקפיים. מה נובע מזה בוודאות?

  • נובע בוודאות
  • לא בהכרח
  • בדיוק שני תלמידים מרכיבים משקפיים
  • יש בכיתה תלמיד שמרכיב משקפיים
  • יש תלמיד שאינו מרכיב משקפיים
  • לא כל התלמידים בכיתה בלי משקפיים
  • רוב התלמידים מרכיבים משקפיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש בכיתה תלמיד שמרכיב משקפיים — נובע בוודאות · בדיוק שני תלמידים מרכיבים משקפיים — לא בהכרח · רוב התלמידים מרכיבים משקפיים — לא בהכרח · לא כל התלמידים בכיתה בלי משקפיים — נובע בוודאות · יש תלמיד שאינו מרכיב משקפיים — לא בהכרח

הפתרון:

≥2⇒≥1\ge 2 \Rightarrow \ge 1

טענה חלשה יותר נובעת

≥2⇏=2\ge 2 \not\Rightarrow = 2

״לפחות״ אינו ״בדיוק״

מ״לפחות שניים״ נובע רק מה שנכון בכל כיתה כזאת. אולי כולם מרכיבים משקפיים, ואולי רק שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=2a−ba \# b = 2a - b. סדרו את התוצאות מהקטנה לגדולה.

  • 2#32 \# 3
  • 3#23 \# 2
  • 4#14 \# 1
  • 6#26 \# 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2#32 \# 3 · 3#23 \# 2 · 4#14 \# 1 · 6#26 \# 2

הפתרון:

2#3=1 3#2=4 4#1=7 6#2=10\begin{aligned}2 \# 3 &= 1 \\ \ 3 \# 2 &= 4 \\ \ 4 \# 1 &= 7 \\ \ 6 \# 2 &= 10\end{aligned}

מחשבים כל אחת לחוד: 2#3=12 \# 3 = 1 ו-3#2=43 \# 2 = 4 — אותם מספרים, תוצאות שונות, כי הסדר קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת